第二十七章 相似 单元复习
一、选择题
1．已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为(A)
A．3 B．2 C．4 D．5
2．(乌鲁木齐质检)在比例尺为1∶500 000的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7 cm，则它的实际长度约为(C)
A．0.585 km B．5.85 km C．58.5 km D．585 km
3．如图，点E是 ABCD的边AD上的一点，且＝，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则 ABCD的周长为(C)
A．21 B．28 C．34 D．42
4．(兰州期末)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果△OA′B′与△OAB关于点O位似，且△OA′B′的面积等于△OAB面积的，则点B′的坐标为(D)
A．(，1) B．(，1)或(－，－1)
C．(3，2) D．(3，2)或(－3，－2)
5．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为(C)
A．2a B．a C．3a D．a
6．(甘肃张掖期末)已知三角形ABC与三角形EFM的相似比为2，且这两个三角形面积的和为25，则三角形ABC的面积为(D)
A．5 B．21 C．15 D．20
7．如图，在直角坐标系xOy中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB并延长到C，连接CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为(B)
A． B． C．(，2) D．(，2)
8．(甘肃庆阳质检)如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是(A)
A．△AFD B．△FED C．△AED D．不能确定
9．(兰州质检)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为(C)
A．25 B．30 C．35 D．40
10．(西宁期末)如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为(B)
A．10° B．20° C．40° D．无法确定
二、填空题
11．若＝＝(a≠c)，则＝____．
12．(新疆克拉玛依质检)如图，一个矩形广场的长为90 m，宽为60 m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2 m，那么每条纵向小路的宽为__0.8__m.
13．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，若使△ABE∽△ACD，已经知道的条件有__∠A＝∠A__，还需要添加的条件是__∠AEB＝∠ADC__或__AD∶AC__＝__AE∶AB(答案不唯一)__．
14．(甘肃临夏质检)如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，EC＝2DE，若AC与BE相交于点F，AF＝6，则FC的长为__4__．
15．(银川质检)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是__(－1，2)或(1，－2)__．
16．(宁夏固原质检)如图，电线杆上的路灯距离地面8 m，身高1.6 m的小明(AB)站在距离电线杆的底部(点O)20 m的A处，则小明的影子AM长为__5__ m．
17．(呼和浩特质检)如图，已知a∥b∥c，AC∶CO∶OF＝2∶1∶4，BE＝35，那么BD＝__10__．
18．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－2，1)，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′.若点A′恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为__y＝－__．
三、解答题
19．如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，在BA延长线上取点D，作∠DFE＝30°，交AC于E，且F为BC中点．求证：△DFE∽△FCE.
【解析】∵∠BFD＝180°－∠DFE－∠CFE＝150°－∠CFE，
∠CEF＝180°－∠C－∠CFE＝150°－∠CFE，∴∠BFD＝∠CEF.又∵∠B＝∠C，
∴△BFD∽△CEF，∴＝.∵F为BC中点，∴BF＝CF，∴＝.
又∵∠C＝∠DFE＝30°，∴△DFE∽△FCE.
20．(甘肃陇南期中)如图在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，4)，B(6，0).
(1)以原点O为位似中心，在点O的异侧画出△OAB的位似图形△OA1B1，使它与△OAB的相似比是1∶2；
(2)写出点A1，B1的坐标；
(3)若△OAB关于点O的位似图形△OA2B2中，点A的对应点A2的坐标为(－3，－6)，则△OA2B2与△OAB的相似比为__________．
【解析】(1)如图：
(2)A1(－1，－2)，B1(－3，0).
(3)∵A(2，4)，点A的对应点A2的坐标为(－3，－6)，∴△OA2B2与△OAB的相似比为：3∶2.
答案：3∶2
21.(内蒙古赤峰期末)小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝21米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼的高度．(根据光的反射定律，反射角等于入射角)
【解析】根据题意得∠AEB＝∠CED，
∵Rt△AEB∽Rt△CED，
∴＝，即＝，
解得：AB＝13.44.
答：教学楼的高度为13.44 m．
22.(宁夏吴忠期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD.
(1)求证：△ABE∽△ACD；
(2)若BD＝1，CD＝2，求的值．
【解析】(1)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE.
∴∠AEB＝∠ADC.
∴△ABE∽△ACD.
(2)∵△ABE∽△ACD，
∴＝.
∵BE＝BD＝1，CD＝2，
∴＝.
23.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：△ABE∽△DFA；
(2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DFA；
(2)∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，
∵AB＝6，∴AE＝＝＝2，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，
∵△ABE∽△DFA，∴＝，
∴DF＝＝＝.
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一、选择题
1．已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为( )
A．3 B．2 C．4 D．5
2．(乌鲁木齐质检)在比例尺为1∶500 000的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7 cm，则它的实际长度约为( )
A．0.585 km B．5.85 km C．58.5 km D．585 km
3．如图，点E是 ABCD的边AD上的一点，且＝，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则 ABCD的周长为( )
A．21 B．28 C．34 D．42
4．(兰州期末)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果△OA′B′与△OAB关于点O位似，且△OA′B′的面积等于△OAB面积的，则点B′的坐标为( )
A．(，1) B．(，1)或(－，－1)
C．(3，2) D．(3，2)或(－3，－2)
5．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为( )
A．2a B．a C．3a D．a
6．(甘肃张掖期末)已知三角形ABC与三角形EFM的相似比为2，且这两个三角形面积的和为25，则三角形ABC的面积为( )
A．5 B．21 C．15 D．20
7．如图，在直角坐标系xOy中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB并延长到C，连接CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为( )
A． B． C．(，2) D．(，2)
8．(甘肃庆阳质检)如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是( )
A．△AFD B．△FED C．△AED D．不能确定
9．(兰州质检)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为( )
A．25 B．30 C．35 D．40
10．(西宁期末)如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为( )
A．10° B．20° C．40° D．无法确定
二、填空题
11．若＝＝(a≠c)，则＝__ __．
12．(新疆克拉玛依质检)如图，一个矩形广场的长为90 m，宽为60 m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2 m，那么每条纵向小路的宽为__ __m.
13．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，若使△ABE∽△ACD，已经知道的条件有__ __，还需要添加的条件是__ __或__ __＝__ __．
14．(甘肃临夏质检)如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，EC＝2DE，若AC与BE相交于点F，AF＝6，则FC的长为__ __．
15．(银川质检)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是__ __．
16．(宁夏固原质检)如图，电线杆上的路灯距离地面8 m，身高1.6 m的小明(AB)站在距离电线杆的底部(点O)20 m的A处，则小明的影子AM长为__ __ m．
17．(呼和浩特质检)如图，已知a∥b∥c，AC∶CO∶OF＝2∶1∶4，BE＝35，那么BD＝__ __．
18．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－2，1)，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′.若点A′恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为__ __．
三、解答题
19．如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，在BA延长线上取点D，作∠DFE＝30°，交AC于E，且F为BC中点．求证：△DFE∽△FCE.
20．(甘肃陇南期中)如图在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，4)，B(6，0).
(1)以原点O为位似中心，在点O的异侧画出△OAB的位似图形△OA1B1，使它与△OAB的相似比是1∶2；
(2)写出点A1，B1的坐标；
(3)若△OAB关于点O的位似图形△OA2B2中，点A的对应点A2的坐标为(－3，－6)，则△OA2B2与△OAB的相似比为__________．
21.(内蒙古赤峰期末)小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝21米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼的高度．(根据光的反射定律，反射角等于入射角)
22.(宁夏吴忠期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD.
(1)求证：△ABE∽△ACD；
(2)若BD＝1，CD＝2，求的值．
23.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：△ABE∽△DFA；
(2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
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