27．3 位 似
第1课时
教材认知
1．位似图形：两个多边形不仅__相似__，而且对应顶点的连线__相交于一点__，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做__位似中心__．
2．位似图形的性质：(1)位似图形是__相似__图形，各对应点到位似中心的距离的比等于__相似比__；(2)每组对应点连线__相交于一点__；(3)对应边互相__平行__(或在同一条直线上).
微点拨
1．位似图形是特殊的相似图形．
2．一般地，位似可以看作是图形的一种位置和大小的变化，位似不改变图形的形状，利用位似可以将一个图形放大或缩小．
基础必会
1．在下列图形中，不是位似图形的是(D)
2．(兰州质检)下列关于位似图形的四个表述中：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
正确的有(B)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(乌鲁木齐质检)如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD＝1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为(C)
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
4．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，若OE＝AE，则S四边形EFGH∶S四边形ABCD的值是(B)
A． B． C． D．
5．(西宁质检)如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝9，则S△A′B′C′＝____．
6．(宁夏吴忠质检)如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为__1∶2__．
7.如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置．如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比．
【解析】连接AD，CF交于点O，则点O即为所求；∵OC＝3.6 cm，OF＝
2.4 cm，
∴OC∶OF＝3∶2，∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2.
能力提升
1．(教材拓展题)如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA∶OA1＝1∶3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是(D)
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9
2．(甘肃庆阳质检)在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是(A)
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR
C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
3．如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均为格点，点D为AB的中点，以点D为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，得到△A′B′C′，则BB′＝__或__．
4．(内蒙古赤峰质检)如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为a∶b，则＝____．
5.(素养提升)图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点A，B，C均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
(1)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；
(2)在图②中△ABC的AB边上确定一点E，使AE＝2BE；
(3)在图③中画出△BMN，使得△BMN与△ABC是位似图形，且点B为位似中心，点M，N分别在AB，BC边上，相似比为.
【解析】(1)如图①所示，AD即为所求；
(2)如图②所示，点E即为所求；
(3)如图③所示，△BMN即为所求．
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第2课时
教材认知
1．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么(1)位似图形的对应点在位似中心同侧时，对应点的坐标比等于__ __；(2)位似图形的对应点在位似中心异侧时，对应点的坐标比等于__ __．
2．图形变换包括：__ __、轴对称、旋转和__ __．
微点拨
关于原点位似作图的步骤
(1)描点：根据原图形关键点的坐标与相似比确定所作图形对应的坐标，进行描点；
(2)连线：按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
基础必会
1．(甘肃金昌模拟)以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的后得到△A′B′O，若B点坐标为(4，－6)，则B′的坐标为( )
A．(2，－3) B．(－2，3)
C．(2，－3)或(－2，3) D．(2，－3)或(－2，－3)
2.如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标( )
A．(－1，－1) B．(－，－1)
C．(－1，－) D．(－2，－1)
3．(甘肃天水质检)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2∶1，则线段DF的长度为( )
A． B．2 C．4 D．2
4．(乌鲁木齐质检)如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(1，0)，则点E的坐标为( )
A．(2，0) B．(1，1) C．(，) D．(2，2)
5．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A(2，3)，则点A1的坐标是__ __．
6．(甘肃白银质检)如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB＝1.5，则DE＝__ __．
7.(西宁质检)如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出△AOB的位似△CDE，则位似中心的坐标为__ __．
8.(宁夏中考)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1).
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC以点O为位似中心，相似比为1∶2的△A2B2C2.
能力提升
1．(兰州期中)在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为( )
A．(2m，2n) B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C． D．或
2．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为 __．
3．(教材拓展题)(甘肃定阳期中)如图，已知矩形ABCD和矩形BEFG是位似图形，点O是位似中心，若点D的坐标为(1，2)，点F的坐标为(4，4)，则点G的坐标是__ __．
4．(素养提升)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是__ __．
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第1课时
教材认知
1．位似图形：两个多边形不仅__ __，而且对应顶点的连线__ __，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做__ __．
2．位似图形的性质：(1)位似图形是__ __图形，各对应点到位似中心的距离的比等于__ __；(2)每组对应点连线__ __；(3)对应边互相__ __(或在同一条直线上).
微点拨
1．位似图形是特殊的相似图形．
2．一般地，位似可以看作是图形的一种位置和大小的变化，位似不改变图形的形状，利用位似可以将一个图形放大或缩小．
基础必会
1．在下列图形中，不是位似图形的是( )
2．(兰州质检)下列关于位似图形的四个表述中：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(乌鲁木齐质检)如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD＝1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
4．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，若OE＝AE，则S四边形EFGH∶S四边形ABCD的值是( )
A． B． C． D．
5．(西宁质检)如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝9，则S△A′B′C′＝__ __．
6．(宁夏吴忠质检)如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为__ __．
7.如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置．如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比．
能力提升
1．(教材拓展题)如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA∶OA1＝1∶3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9
2．(甘肃庆阳质检)在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( )
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR
C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
3．如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均为格点，点D为AB的中点，以点D为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，得到△A′B′C′，则BB′＝__ __．
4．(内蒙古赤峰质检)如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为a∶b，则＝__ __．
5.(素养提升)图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点A，B，C均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
(1)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；
(2)在图②中△ABC的AB边上确定一点E，使AE＝2BE；
(3)在图③中画出△BMN，使得△BMN与△ABC是位似图形，且点B为位似中心，点M，N分别在AB，BC边上，相似比为.
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第2课时
教材认知
1．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么(1)位似图形的对应点在位似中心同侧时，对应点的坐标比等于__k__；(2)位似图形的对应点在位似中心异侧时，对应点的坐标比等于__－k__．
2．图形变换包括：__平移__、轴对称、旋转和__位似__．
微点拨
关于原点位似作图的步骤
(1)描点：根据原图形关键点的坐标与相似比确定所作图形对应的坐标，进行描点；
(2)连线：按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
基础必会
1．(甘肃金昌模拟)以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的后得到△A′B′O，若B点坐标为(4，－6)，则B′的坐标为(C)
A．(2，－3) B．(－2，3)
C．(2，－3)或(－2，3) D．(2，－3)或(－2，－3)
2.如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标(B)
A．(－1，－1) B．(－，－1)
C．(－1，－) D．(－2，－1)
3．(甘肃天水质检)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2∶1，则线段DF的长度为(D)
A． B．2 C．4 D．2
4．(乌鲁木齐质检)如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(1，0)，则点E的坐标为(D)
A．(2，0) B．(1，1) C．(，) D．(2，2)
5．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A(2，3)，则点A1的坐标是__(，2)__．
6．(甘肃白银质检)如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB＝1.5，则DE＝__4.5__．
7.(西宁质检)如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出△AOB的位似△CDE，则位似中心的坐标为__(2，2)__．
8.(宁夏中考)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1).
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC以点O为位似中心，相似比为1∶2的△A2B2C2.
【解析】(1)由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，
C(1，1)，则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1(1，－3)，
B1(4，－1)，C1(1，－1)，
连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1.
如图所示，△A1B1C1为所求；
(2)由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧，
则A2(2，6)，B2(8，2)，C2(2，2)，连接各点，得△A2B2C2.
第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧，则A2(－2，－6)，B2(－8，－2)，C2(－2，
－2)，
连接各点，得△A2B2C2.
综上所述：如图所示，△A2B2C2为所求．
能力提升
1．(兰州期中)在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(B)
A．(2m，2n) B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C． D．或
2．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为__．
3．(教材拓展题)(甘肃定阳期中)如图，已知矩形ABCD和矩形BEFG是位似图形，点O是位似中心，若点D的坐标为(1，2)，点F的坐标为(4，4)，则点G的坐标是__(2，4)__．
4．(素养提升)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是__(4，8)或(－4，－8)__．
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