27.2.3 相似三角形应用举例
第2课时
教材认知
求不能直接测量的物体宽度(用皮尺或刻度尺测量)的常用方法：
方法一：如图(1)，要求线段AB的长度，可先测量线段AC，DC及DE的长度，再说明△ABC∽△DEC，最后利用相似三角形的性质得到比例式求解即可．
方法二：如图(2)，要求线段AB(或CB)的长度，可先测量线段AC，DC及BE的长度，再说明△ADC∽△AEB，最后利用相似三角形的性质得到比例式求解即可．
微点拨
构造相似三角形测宽度的三点注意
(1)在构造的三角形中，被测对象必须是其中一个三角形的一边；
(2)注意“所构造的三角形除被测对象外其余的对应边易测量”的原则；
(3)构造的方法较多，一般构造包括所求宽在内的两个三角形相似．
基础必会
1．(甘肃武威质检)如图，若AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙角1.4 m，梯上点D距离墙1.2 m，BD长0.5 m，则梯子的长为(C)
A．3.2 m B．4 m C．3.5 m D．4.2 m
2．(西宁期末)如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝8 m，则池塘的宽DE为(C)
A．32 m B．36 m C．48 m D．56 m
3．(兰州质检)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E.如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为__7__米．
4．(教材拓展题)如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10 cm，＝＝，则容器的内径是__15__cm.
5．(宁夏吴忠质检)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使得AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，则两岸间的大致距离AB为__100__米．
6.(呼和浩特期末)如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？(不计宣传栏的厚度).
【解析】如图，延长AF交ED于点G，
∵BC∥ED，∴△ABC∽△ADE，
∴＝，又BC＝10米，AF＝3，FG＝12米，
∴AG＝AF＋FG＝15(米)，
即＝，
∴DE＝50，50÷2＝25，25＋1＝26(棵)，
答：DE处共有26棵树．
能力提升
1．(新疆哈密质检)相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定．如图，一根电线杆钢索系在离地面4米处，另一根电线杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面(A)
A．2.4米 B．8米
C．3米 D．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面的距离
2．(内蒙古包头一模)一把剪刀如图所示，AB＝2BC，BD＝2BE，当手握的地方EC张开3 cm时，剪刀的尖端A，D两点的距离为__6__ cm.
3.(素养提升)如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
【解析】∵四边形EGHF为正方形，∴BC∥EF，
设正方形零件的边长为x mm，
则KD＝EF＝x，AK＝80－x，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，∴＝，
∴＝，解得：x＝48.
答：正方形零件的边长为48 mm.
PAGE 27.2.3 相似三角形应用举例
第1课时
教材认知
测量物体的高度的方法：
测量方法 利用影子 利用标杆 利用反光镜
图示
相似三角形 △ABC∽△__DCE_ △ABE∽△__ACD_ △EDA∽△__ECB_
物体的高度 AB＝____ DC＝____ BC＝____
微点拨
测量物体高度的步骤
(1)画出示意图，利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角形；
(2)测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外一组对应边的长度；
(3)利用相似三角形的性质列出比例式，解出未知量，检验得答案．
基础必会
1．泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长、标杆的高度、金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的(D)
A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似
2．如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25 m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14 cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70 cm，则电线杆的高是(A)
A．5 m B．6 m C．125 m D．4 m
3．(兰州质检)已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为1.6 m，并测得BC＝2.2 m，CA＝0.8 m，那么树DB的高度是(A)
A．6 m B．5.6 m C．5.4 m D．4.4 m
4．(甘肃庆阳期末)如图，一个高为1 m的油筒内有油，一根木棒长1.2 m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长0.36 m，则桶内油的高度为(D)
A．0.28 m B．0.385 m C．0.4 m D．0.3 m
5．(乌鲁木齐期中)阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC＝8.7米，窗口高AB＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC为(A)
A．4米 B．3.8米 C．3.6米 D．3.4米
6．(西宁质检)如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处(DE∥AB)，那么小管口径DE的长是____毫米．
7．如图，利用镜子M的反射(入射角等于反射角)，来测量旗杆CD的高度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6 m，量得BM∶DM＝2∶11，则旗杆的高度为__8.8__m.
8.如图，一位同学想利用树影测量树(AB)的高度，他在某一时刻测得高为1米的竹竿直立时影长为0.9米，此时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上(有一部分影子落在墙上CD处)，他先测得落在墙上的影子(CD)高为1.2米，又测得地面部分的影长(BD)为2.7米，则他测得的树高应为多少米？
【解析】如图，过点C作CE⊥AB于点E，
则四边形BDCE是矩形，
所以，CE＝BD＝2.7米，BE＝CD＝1.2米，
由题意得，＝，
所以，AE＝＝3米，
即树高AB＝AE＋BE＝3＋1.2＝4.2米．
能力提升
1．一个三角形木架三边长分别是75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有(B)
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
2．(新疆昌吉质检)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边DF＝50 cm，EF＝30 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝20 m，则树高AB为(D)
A．12 m B．13.5 m C．15 m D．16.5 m
3．(宁夏石嘴山质检)某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕定点O旋转到DC位置，已知栏杆AB的长为3.5 m，OA的长为3 m，C点到AB的距离为0.3 m．支柱OE的高为0.5 m，则栏杆D端离地面的距离为__2.3__m__．
4．(素养提升)如图，有一个广告牌OE，小明站在距广告牌OE 10米远的A处观察广告牌顶端，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则广告牌OE的高度为__2.5__米．
PAGE27.2.3 相似三角形应用举例
第1课时
教材认知
测量物体的高度的方法：
测量方法 利用影子 利用标杆 利用反光镜
图示
相似三角形 △ABC∽△__ _ △ABE∽△__ _ △EDA∽△__ _
物体的高度 AB＝__ __ DC＝__ __ BC＝__ __
微点拨
测量物体高度的步骤
(1)画出示意图，利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角形；
(2)测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外一组对应边的长度；
(3)利用相似三角形的性质列出比例式，解出未知量，检验得答案．
基础必会
1．泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长、标杆的高度、金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的( )
A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似
2．如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25 m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14 cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70 cm，则电线杆的高是( )
A．5 m B．6 m C．125 m D．4 m
3．(兰州质检)已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为1.6 m，并测得BC＝2.2 m，CA＝0.8 m，那么树DB的高度是( )
A．6 m B．5.6 m C．5.4 m D．4.4 m
4．(甘肃庆阳期末)如图，一个高为1 m的油筒内有油，一根木棒长1.2 m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长0.36 m，则桶内油的高度为( )
A．0.28 m B．0.385 m C．0.4 m D．0.3 m
5．(乌鲁木齐期中)阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC＝8.7米，窗口高AB＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC为( )
A．4米 B．3.8米 C．3.6米 D．3.4米
6．(西宁质检)如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处(DE∥AB)，那么小管口径DE的长是__ __毫米．
7．如图，利用镜子M的反射(入射角等于反射角)，来测量旗杆CD的高度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6 m，量得BM∶DM＝2∶11，则旗杆的高度为__ __m.
8.如图，一位同学想利用树影测量树(AB)的高度，他在某一时刻测得高为1米的竹竿直立时影长为0.9米，此时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上(有一部分影子落在墙上CD处)，他先测得落在墙上的影子(CD)高为1.2米，又测得地面部分的影长(BD)为2.7米，则他测得的树高应为多少米？
能力提升
1．一个三角形木架三边长分别是75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有( )
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
2．(新疆昌吉质检)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边DF＝50 cm，EF＝30 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝20 m，则树高AB为( )
A．12 m B．13.5 m C．15 m D．16.5 m
3．(宁夏石嘴山质检)某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕定点O旋转到DC位置，已知栏杆AB的长为3.5 m，OA的长为3 m，C点到AB的距离为0.3 m．支柱OE的高为0.5 m，则栏杆D端离地面的距离为__ __ __．
4．(素养提升)如图，有一个广告牌OE，小明站在距广告牌OE 10米远的A处观察广告牌顶端，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则广告牌OE的高度为__ __米．
PAGE27.2.3 相似三角形应用举例
第2课时
教材认知
求不能直接测量的物体宽度(用皮尺或刻度尺测量)的常用方法：
方法一：如图(1)，要求线段AB的长度，可先测量线段AC，DC及DE的长度，再说明△ABC∽△DEC，最后利用相似三角形的性质得到比例式求解即可．
方法二：如图(2)，要求线段AB(或CB)的长度，可先测量线段AC，DC及BE的长度，再说明△ADC∽△AEB，最后利用相似三角形的性质得到比例式求解即可．
微点拨
构造相似三角形测宽度的三点注意
(1)在构造的三角形中，被测对象必须是其中一个三角形的一边；
(2)注意“所构造的三角形除被测对象外其余的对应边易测量”的原则；
(3)构造的方法较多，一般构造包括所求宽在内的两个三角形相似．
基础必会
1．(甘肃武威质检)如图，若AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙角1.4 m，梯上点D距离墙1.2 m，BD长0.5 m，则梯子的长为( )
A．3.2 m B．4 m C．3.5 m D．4.2 m
2．(西宁期末)如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝8 m，则池塘的宽DE为( )
A．32 m B．36 m C．48 m D．56 m
3．(兰州质检)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E.如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为__ __米．
4．(教材拓展题)如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10 cm，＝＝，则容器的内径是__ __cm.
5．(宁夏吴忠质检)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使得AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，则两岸间的大致距离AB为__ __米．
6.(呼和浩特期末)如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？(不计宣传栏的厚度).
能力提升
1．(新疆哈密质检)相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定．如图，一根电线杆钢索系在离地面4米处，另一根电线杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面( )
A．2.4米 B．8米
C．3米 D．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面的距离
2．(内蒙古包头一模)一把剪刀如图所示，AB＝2BC，BD＝2BE，当手握的地方EC张开3 cm时，剪刀的尖端A，D两点的距离为__ __ cm.
3.(素养提升)如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
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