27.2.1 相似三角形的判定
第3课时
教材认知
1．利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角__ __的两个三角形相似．
2．直角三角形相似的判定：(1)有一个锐角__ __的两个直角三角形相似；
(2)两组直角边__ __的两个直角三角形相似；
(3)斜边和一条直角边__ __的两个直角三角形相似．
3．直角三角形斜边上的高分成的两个直角三角形都与__ __相似．
微点拨
直角三角形相似的判定的两种思路
(1)找角：只需要找到直角三角形的一锐角对应相等；
(2)找边：找两直角边的比相等或找一直角边和一斜边的比对应相等．
基础必会
1．(赤峰中考)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是( )
3．(甘肃武威质检)已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．(兰州期末)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，AD＝3，BD＝2，则CD的长为( )
A．2 B．3 C． D．
5．(甘肃酒泉期末)如图，AD是∠BAC的平分线，AD⊥BD，AC⊥DC，若AB＝8，AC＝6，则AD的长为( )
A．4 B．7 C．10 D．4
6．如图，已知在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝__ __．
7．(西宁期末)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且∠AED＝∠B.如果AB＝12，AE＝6，EC＝2，那么AD的长等于__ __．
8．(宁夏中卫期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD平分∠ABC，AD∥BC，则AD的长是__ __．
9.(内蒙古包头质检)如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE.
能力提升
1．(乌鲁木齐期中)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D，则有下列说法：①AC·BC＝AB·CD，②AC2＝AD·DB，③BC2＝BD·BA，④CD2＝AD·DB.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为( )
A．2 B．3 C．2 D．5
3．如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补．若AC＝1.5，BC＝2，则OC＝__ __．
4．(内蒙古巴彦淖尔期末)已知∠ACB＝90°，将△ABC按如图的位置放在直角坐标系中，若点A(0，2)，点C(1，0)，点B的横坐标为4，则点B的纵坐标为__ __．
5.(素养提升)已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.连接BD，AE⊥BD，垂足为E.
(1)求证：△ABE∽△DBC；
(2)求线段AE的长．
PAGE27．2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时
教材认知
1．相似三角形：
(1)定义：三角分别__ __、三边__ __的两个三角形．
(2)性质：相似三角形的对应角__ __，对应边__ __．
2．平行线分线段成比例：
(1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__ __．
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段__ __．
3．判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与__ __相似．
微点拨
1．表示两个三角形相似时，要注意对应顶点必须写在对应位置上．
2．相似比是有顺序的，全等三角形是相似比为1的相似三角形．
3．应用平行线分线段成比例的基本事实时，一定要注意对应．一要看清平行线组，二要找准平行线组截得的对应线段，否则就会产生错误．
基础必会
1．(新疆吐鲁番质检)如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为( )
A． B． C． D．
3．(乌鲁木齐期末)如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若BG＝3，CG＝2，CE＝6，则的值是( )
A． B． C． D．4
4．(甘肃白银期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在边AB，CD上，且EF∥BC.若AE＝1，BE＝2，CD＝4，则CF＝__ __．
5．如图，AB∥CD∥EF.若＝，BD＝5，则DF＝__ __．
6．(甘肃张掖质检)如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有__ __对．
7．(西宁质检)如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF交于点O.已知DE＝3，EF＝6，AB＝4.
(1)求AC的长；
(2)若BE∶CF＝1∶3，求OB∶AB.
能力提升
1．(新疆塔城期中)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为( )
A． B． C． D．
2．(宁夏固原质检)如图，△ABC中，DE∥BC，AB＝5，AC＝3，若BD＝AE，则AD的长为__ __．
3．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF，写出图中任意一对相似三角形：__ __．
4．已知三个边长分别为2 cm，3 cm，5 cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为__ __ __.
5．(素养提升)(内蒙古通辽期末)如图，AB∥EF∥CD.
(1)若AB＝10，CD＝15，AE∶ED＝2∶3，求EF的长．
(2)若AB＝a，CD＝b，AE∶ED＝k，求EF的长．
PAGE 27.2.1 相似三角形的判定
第3课时
教材认知
1．利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角__分别相等__的两个三角形相似．
2．直角三角形相似的判定：(1)有一个锐角__相等__的两个直角三角形相似；
(2)两组直角边__成比例__的两个直角三角形相似；
(3)斜边和一条直角边__成比例__的两个直角三角形相似．
3．直角三角形斜边上的高分成的两个直角三角形都与__原三角形__相似．
微点拨
直角三角形相似的判定的两种思路
(1)找角：只需要找到直角三角形的一锐角对应相等；
(2)找边：找两直角边的比相等或找一直角边和一斜边的比对应相等．
基础必会
1．(赤峰中考)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是(A)
3．(甘肃武威质检)已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有(D)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．(兰州期末)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，AD＝3，BD＝2，则CD的长为(C)
A．2 B．3 C． D．
5．(甘肃酒泉期末)如图，AD是∠BAC的平分线，AD⊥BD，AC⊥DC，若AB＝8，AC＝6，则AD的长为(A)
A．4 B．7 C．10 D．4
6．如图，已知在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝____．
7．(西宁期末)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且∠AED＝∠B.如果AB＝12，AE＝6，EC＝2，那么AD的长等于__4__．
8．(宁夏中卫期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD平分∠ABC，AD∥BC，则AD的长是__5__．
9.(内蒙古包头质检)如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE.
【证明】∵∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠A＋∠AFE＋∠AEF＝180°，∴∠AFE＋∠AEF＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE.
能力提升
1．(乌鲁木齐期中)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D，则有下列说法：①AC·BC＝AB·CD，②AC2＝AD·DB，③BC2＝BD·BA，④CD2＝AD·DB.其中正确的有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为(C)
A．2 B．3 C．2 D．5
3．如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补．若AC＝1.5，BC＝2，则OC＝____．
4．(内蒙古巴彦淖尔期末)已知∠ACB＝90°，将△ABC按如图的位置放在直角坐标系中，若点A(0，2)，点C(1，0)，点B的横坐标为4，则点B的纵坐标为____．
5.(素养提升)已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.连接BD，AE⊥BD，垂足为E.
(1)求证：△ABE∽△DBC；
(2)求线段AE的长．
【解析】(1)∵AB＝AD＝25，∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC，
∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠C＝90°，∴△ABE∽△DBC；
(2)∵AB＝AD，AE⊥BD，∴BE＝DE，∴BD＝2BE.
由△ABE∽△DBC，得＝.
∵AB＝AD＝25，BC＝32，
∴＝，解得BE＝20，
∴AE＝＝＝15.
PAGE 27.2.1 相似三角形的判定
第2课时
教材认知
1．利用三边判定三角形相似的定理：三边__成比例__的两个三角形相似．
2．利用两边和夹角判定三角形相似的定理：两边__成比例__且夹角__相等__的两个三角形相似．
微点拨
利用三边对应成比例判断三角形相似的“三步骤”
基础必会
1．(兰州质检)有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形(A)
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断
2．(内蒙古包头质检)图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是(B)
3．(银川质检)对于△ABC与△DEF，可由∠A＝∠D和下列某一个条件推得△ABC∽△DEF，这个条件是(D)
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是(C)
5．(西宁期末)如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD·AB，则(C)
A．△ADC∽△CBD B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△ACB D．无法判断
6．已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′中的第三边长应该是__2__．
7．(呼和浩特质检)如图，已知AB＝8，∠A＝50°，A′B′＝4，A′C′＝3.当AC＝__6__，∠A′＝__50°__时，△ABC ∽△A′B′C′.
8．(甘肃庆阳质检)如图，BD平分∠ABC，且AB＝2，BC＝3，则当BD＝____时，△ABD∽△DBC.
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC·BE.求证：△BCD∽△BDE.
【证明】∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBD，
∵BD2＝BC·BE，∴＝，
∴△BCD∽△BDE.
能力提升
1．(乌鲁木齐期末)如图，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，＝，下列结论正确的是(B)
A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA
2．(兰州期中)如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，且CF＝CD，则有下列结论：①∠BAE＝30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF，④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(兰州期中)如图，已知正方形ABCD的边长是1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当BQ＝__0或__时，△ADP与△QCP相似．
4．(素养提升)如图，在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝16 cm，点P从A出发，以每秒2 cm的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3 cm的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动．那么，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
【解析】设运动了t s，
根据题意得：AP＝2t cm，CQ＝3t cm，则AQ＝AC－CQ＝16－3t(cm).
当△APQ ∽△ABC时，＝，即＝，解得：t＝；
当△APQ∽△ACB时，＝，即＝，解得：t＝4.
故当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是 s或4 s．
PAGE27.2.1 相似三角形的判定
第2课时
教材认知
1．利用三边判定三角形相似的定理：三边__ __的两个三角形相似．
2．利用两边和夹角判定三角形相似的定理：两边__ __且夹角__ __的两个三角形相似．
微点拨
利用三边对应成比例判断三角形相似的“三步骤”
基础必会
1．(兰州质检)有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形( )
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断
2．(内蒙古包头质检)图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是( )
3．(银川质检)对于△ABC与△DEF，可由∠A＝∠D和下列某一个条件推得△ABC∽△DEF，这个条件是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是( )
5．(西宁期末)如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD·AB，则( )
A．△ADC∽△CBD B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△ACB D．无法判断
6．已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′中的第三边长应该是__ __．
7．(呼和浩特质检)如图，已知AB＝8，∠A＝50°，A′B′＝4，A′C′＝3.当AC＝__ __，∠A′＝__ __时，△ABC ∽△A′B′C′.
8．(甘肃庆阳质检)如图，BD平分∠ABC，且AB＝2，BC＝3，则当BD＝__ __时，△ABD∽△DBC.
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC·BE.求证：△BCD∽△BDE.
能力提升
1．(乌鲁木齐期末)如图，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，＝，下列结论正确的是( )
A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA
2．(兰州期中)如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，且CF＝CD，则有下列结论：①∠BAE＝30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF，④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(兰州期中)如图，已知正方形ABCD的边长是1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当BQ＝__ __时，△ADP与△QCP相似．
4．(素养提升)如图，在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝16 cm，点P从A出发，以每秒2 cm的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3 cm的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动．那么，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
PAGE27．2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时
教材认知
1．相似三角形：
(1)定义：三角分别__相等__、三边__成比例__的两个三角形．
(2)性质：相似三角形的对应角__相等__，对应边__成比例__．
2．平行线分线段成比例：
(1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__成比例__．
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段__成比例__．
3．判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与__原三角形__相似．
微点拨
1．表示两个三角形相似时，要注意对应顶点必须写在对应位置上．
2．相似比是有顺序的，全等三角形是相似比为1的相似三角形．
3．应用平行线分线段成比例的基本事实时，一定要注意对应．一要看清平行线组，二要找准平行线组截得的对应线段，否则就会产生错误．
基础必会
1．(新疆吐鲁番质检)如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是(C)
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为(A)
A． B． C． D．
3．(乌鲁木齐期末)如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若BG＝3，CG＝2，CE＝6，则的值是(C)
A． B． C． D．4
4．(甘肃白银期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在边AB，CD上，且EF∥BC.若AE＝1，BE＝2，CD＝4，则CF＝____．
5．如图，AB∥CD∥EF.若＝，BD＝5，则DF＝__10__．
6．(甘肃张掖质检)如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有__3__对．
7．(西宁质检)如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF交于点O.已知DE＝3，EF＝6，AB＝4.
(1)求AC的长；
(2)若BE∶CF＝1∶3，求OB∶AB.
【解析】(1)∵l1∥l2∥l3，∴＝，
即＝，解得，AC＝12；
(2)∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，
∵AB＝4，AC＝12，∴BC＝8，∴OB＝2，∴＝＝.
能力提升
1．(新疆塔城期中)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为(C)
A． B． C． D．
2．(宁夏固原质检)如图，△ABC中，DE∥BC，AB＝5，AC＝3，若BD＝AE，则AD的长为____．
3．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF，写出图中任意一对相似三角形：__△ADF∽△ECF或△EBA∽△ECF或△ADF∽△EBA(任意写一对即可)__．
4．已知三个边长分别为2 cm，3 cm，5 cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为__3.75__cm2__.
5．(素养提升)(内蒙古通辽期末)如图，AB∥EF∥CD.
(1)若AB＝10，CD＝15，AE∶ED＝2∶3，求EF的长．
(2)若AB＝a，CD＝b，AE∶ED＝k，求EF的长．
【解析】(1)过点A作AN∥BC交CD于N，交EF于M，如图，
∵AB∥EF∥DC，
∴四边形AMFB、四边形MNCF都为平行四边形，
∴AB＝MF＝NC＝10，∴DN＝CD－CN＝15－10＝5，
∵EM∥DN，∴＝＝，
∴EM＝×5＝2，∴EF＝EM＋MF＝2＋10＝12；
(2)∵四边形AMFB、四边形MNCF都为平行四边形，∴AB＝MF＝NC＝a，
∴DN＝CD－CN＝b－a，
∵EM∥DN，∴＝＝，
∴EM＝DN＝(b－a)，
∴EF＝EM＋MF＝(b－a)＋a＝.
PAGE
