高中数学人教A版（2019）必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1平面向量的概念同步练习 （word版含解析）

必修第二册 6.1 平面向量的概念 同步练习
一、单选题
1．已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
2．如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．若为任一非零向量，的模为1，下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
4．已知向量，为非零向量，则“向量，的夹角为180°”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
6．下列说法错误的是（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
7．在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题正确的是
A．若都是单位向量，则
B．两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同
C．向量与是两个平行向量
D．若，则四点是平行四边形的四个顶点
9．下列各量中是向量的是（ ）
A．时间 B．速度 C．面积 D．长度
10．以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度
11．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ）
A．①② B．② C．②③ D．③④
二、填空题
13．______的向量叫做零向量，记作______；______的向量叫做单位向量，零向量与单位向量的关系是______（选填“共线”“相等”或“无关”）。
14．已知平面内不同的四点A，B，C，D，且，则“直线”是“”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“ 既不充分也不必要”或“充要”）
15．已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，则______.
16．设点O在的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且，则___________
17．设非零向量与的夹角是，且，则的最小值是______.
三、解答题
18．如图，点O是的对角线的交点，且，分别写出和折线MPQRST中与相等的向量.
19．如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．
（1）试用，表示向量；
（2）设，，求证：是定值．
20．已知点是锐角三角形的外心，，，.若，求的值.
21．如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据向量相等、向量共线的定义或性质，结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】
A：若为非零向量，为零向量时，有但不成立，错误；
B：时，，不一定相等，错误；
C：若为零向量时，，不一定有，错误；
D：说明，同向，即，正确.
故选：D
2．B
根据向量相等即模长相等，方向相同，结合中位线性质，即得结果.
【详解】
向量相等即模长相等，方向相同.
依题意，是三角形的中位线，故，，即.
因此与都是和相等的向量．
故选：B.
3．B
根据向量的定义依次判断即可.
【详解】
①中，的大小不能确定，故①错误；
②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误；
③中，为任一非零向量，则，故③正确；
④中，由题，故④错误.
故选：B．
4．A
判断命题“若向量，的夹角为180°，则”和命题“若，则向量，的夹角为180°”的真假即可得解.
【详解】
因向量，为非零向量，则当向量，的夹角为180°时，与方向相反，即成立，
当时，与方向相同或者方向相反，即向量，的夹角为0°或者180°，可以不为180°，
所以“向量，的夹角为180°”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．C
由图形一一列出可得答案.
【详解】
如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为：
，共8个．
故选：C．
6．D
向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.
【详解】
A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；
B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；
C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；
D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.
本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.
7．C
根据向量的线性运算可得选项．
【详解】
，
故选：C.
8．C
利用单位向量的定义可判断A；利用向量相等的定义可判断B；利用平行向量的定义可判断C；利用向量相等的定义可判断D.
【详解】
对于A，单位长度为的向量为单位向量，
都是单位向量，但方向可能不同，故A不正确；
对于B，模相等，方向相同的向量为相等向量，故B不正确；
对于C，向量与为相反向量，所以两个为平行向量，故C正确；
对于D，，若四点在同一条直线上，
不能构成平行四边形，故D不正确；
故选：C
本题考查了向量的基本概念，需理解单位向量、相等向量、共线向量的概念，属于基础题.
9．B
根据向量的概念进行判断即可.
【详解】
解：既有大小，又有方向的量叫做向量；
时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．
而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．
故选：．
此题是个基础题，本题的考点是向量的概念，纯粹考查了定义的内容．注意数学知识与实际生活之间的联系．
10．D
根据向量的定义判断．
【详解】
表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，
故选：D．
11．C
根据相反向量的定义即可判断A；由向量不能比较大小即可判断B；根据共线向量的定义即可判断C；当时，即可判断D.
【详解】
解：因为，则向量互为相反向量，所以，故①正确；
因为向量不能比较大小，故②错误；
若，则向量方向相同，故③正确；
当时，向量的方向不能确定，故④错误.
所以正确说法的个数是2个.
故选：C.
12．B
利用向量的有关概念判断.
【详解】
①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；
②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；
③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；
④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故错误.
故选：B
13． 模为 模为 共线
根据零向量、单位向量、共线向量的概念进行填空即可.
【详解】
模为的向量叫做零向量，记为；模为的向量叫做单位向量，零向量与单位向量共线，
故答案为：模为；；模为；共线.
14．既不充分也不必要
利用画图先证明充分性再证明必要性可得出答案
【详解】
解：根据题意如图所示：先证明充分性
平行四边形ABCD中，且，但是，故由“直线”不能得出“”；
再证明必要性：
当平面内不同的四点A、B、C、D在同一直线上，当时，有，但是不能得出“直线”.
故“直线”是“”的既不充分又不必要条件.
故答案为：既不充分又不必要条件
15．－3
先根据向量共线把用和表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．
【详解】
解：因为非零向量、、两两不平行，且，，
，
，解得
故答案为：．
本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.
16．2
由向量的加法法则，把转化为，从而易得结论．
【详解】
∵点D，E分别为边AC，BC的中点，∴，，
∴．
故答案为：2．
本题考查求向量的模，向量关键是利用向量加法法则，把转化为．
17．
根据向量的模的平方等于向量的平方，得到，，由二次函数的最值求解方法可得答案.
【详解】
∵，∴，∴，∴.
∵，最小值为，∴的最小值为.
故答案为：.
本题考查向量的模的相关问题，关键在于运用向量的模的平方等于向量的平方，将所求的表达式转化为关于的二次函数，属于中档题.
18．与相等的向量有：；与相等的向量有：；
与相等的向量有：.
根据相等向量的定义直接求解即可.
【详解】
解：与相等的向量有：；
与相等的向量有：；
与相等的向量有：.
本题考查了相等向量的定义，属于基础题.
19．（1）；（2）证明见解析．
（1）由向量共线定理即可求出；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），由，，可得，最后结合（1）的结论可得，问题得以证明．
【详解】
（1）由A，M，D三点共线可得存在实数m（）使得：，
又，故，
由C，M，B三点共线可得存在实数n（）使得：，
又，故，
由题意，，不共线，则：
，解得，
故；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），
由，，则：，
由（1）知，，则：，即，
所以，
所以是定值．
关键点睛：本题考查平面向量综合，解题关键是理解并能由点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，从而证明结论.
20．5
连接，过点作，，垂足分别为，，根据三角形外接圆的圆心的形成得，分别为，的中点.再根据向量的数量积运算求得，
，建立关于的方程组，可求得所求的值.
【详解】
连接，过点作，，垂足分别为，，则，分别为，的中点.
∴，
.
∵，∴.
∵，∴，，
即，，联立解得，.
∴.
本题考查向量的数量积运算，关键在于运用三角形的外接圆的几何性质，得出所需向量间的数量积，属于难度题.
21．见解析
位移即起点位置指向终点位置的有向线段.
【详解】
解：如图，表示此人上午的位移；表示此人下午的位移；表示此人这一天内的位移.
本题考查向量的概念，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页