高中数学人教A版(2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用 6.3平面向量基本定理及坐标表示 (word版含解析)

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名称 高中数学人教A版(2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用 6.3平面向量基本定理及坐标表示 (word版含解析)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-05-23 10:16:45

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文档简介

必修第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1.已知 是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A.,,
B.,,
C.,,
D.,,
2.在菱形中,、分别是、的中点,若,,则( )
A.0 B. C.4 D.
3.如图,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,F是线段AE上靠近点A的三等分点,则等于( )
A. B. C. D.
4.已知点P是所在平面内一点,若,则与的面积之比是( )
A. B. C. D.
5.设为实数,已知向量=(-1,2),=(1,).若,则向量+2与之间的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知菱形的对角线相交于点,点为的中点,若,,则( )
A. B. C. D.
7.设向量,,如果向量与平行,那么的值为( )
A. B. C. D.
8.已知向量,向量,则与的夹角大小为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
9.在等边△ABC中,D为BC的中点,点P为△ACD内一点(含边界),若,则的取值( )
A. B. C. D.
10.已知,是不共线向量,则下列各组向量中,是共线向量的有( )
①,;②,;
③,.
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
11.如图,在△中,点M是上的点且满足,N是上的点且满足,与交于P点,设,则( )
A. B.
C. D.
12.在平行四边形中,,则( )
A.-5 B.-4 C.-3 D.-2
13.如图所示,向量等于( )
A. B.
C. D.
14.我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若,,,则=( )
A. B.
C. D.
15.已知,分别是的边和的中点,若,,则( )
A. B.
C. D.
二、填空题
16.如图所示,在直角梯形ABCD中,已知,,,,M为BD的中点,设P、Q分别为线段AB、CD上的动点,若P、M、Q三点共线,则的最大值为__.
17.点,,,点的坐标为______.
18.已知向量,,,则用与可表示为___________.
三、解答题
19.已知,是直线上一点,若,求点的坐标.
20.已知向量,,.
(1)若点,,三点共线,求的值;
(2)若为直角三角形,且为直角,求的值.
21.在中,,点.
(1)若,且A、B、C能构成直角三角形,求点B的坐标;
(2)x轴上是否存在点B、C,满足?若存在,求出点B、C的坐标;若不存在,请说明理由.
22.已知,.在①;②;③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题.
(1)若________,求实数的值;
(2)若向量,且,求.
试卷第1页,共3页
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参考答案:
1.C
逐一判断选项中的向量是否共面,可得选项.
【详解】
对于A,有,则,,共面,不能作为基底,故A不正确;
对于B,因为,所以,,共面,不能作为基底,故B不正确;
对于D,因为,所以 ,,共面,不能作为基底,故D不正确,
对于C,设(为不同时为0的实数),解得与题意不符,所以,,不共面,可以作为基底,故C正确,
故选:C.
2.B
以为基底表示有关向量,然后利用数量积的运算和定义求解.
【详解】
设,则.

故选:B.
3.C
利用平面向量的基本定理,用和线性表示向量即可.
【详解】
由可知,=﹣
==
=.
故选:C.
4.D
过作,根据平面向量基本定理求得,即可求得与的面积之比.
【详解】
点是所在平面上一点,过作,如下图所示:
由,
故,
所以与的面积之比为,
故选:D.
5.A
根据向量垂直的坐标运算解得,再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.
【详解】
因为向量,若,则,解得,
所以,所以,,,
设向量+2与之间的夹角 ,则, ,
所以向量+2与之间的夹角为.
故选:A.
6.B
根据题意,以对角线交点为坐标原点,对角线所在直线为轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.
【详解】
解:如图,以点为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,
由,,
所以,,,,
所以,
所以.
故选:B
本题考查向量的数量积运算,解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系,利用坐标法求解,考查运算求解能力,是中档题.
7.D
求出与的坐标,根据两向量平行求出的值,即得解.
【详解】
解:,
所以.
所以.
故选:D
8.D
计算可得,利用数量积公式计算即可得出结果.
【详解】
向量,向量,

,且,
的夹角为.
故选:D.
9.D
过AB靠近A的四等分点作AC的平行线分别交AD,BC于点E,F,过E,F分别作AB的平行线交AC于M,N,求出,,即得解.
【详解】
解;过AB靠近A的四等分点作AC的平行线分别交AD,BC于点E,F,
由题意知,点P在线段EF上,
过E,F分别作AB的平行线交AC于M,N(如图所示),
由题得,即,.
所以.
故选:D.
10.A
根据平面向量共线定理得到,对于①,故两向量共线;对于②,故两向量共线;对于③不存在实数满足,故不共线.
【详解】
对于①,,,故两向量共线;
对于②,,,故两向量共线;
对于③,,
假设存在
,因为,是不共线向量,
故得到无解.
故选:A.
11.B
根据三点共线有,使、,由平面向量基本定理列方程组求参数,即可确定答案.
【详解】
,,
由,P,M共线,存在,使①,
由N,P,B共线,存在,使得②,
由①② ,故.
故选:B.
12.A
根据向量的加法和减法的几何意义,结合向量的数量积运算,即可得到答案;
【详解】
,,
,,


故选:A
13.C
把,代入中化简即可.
【详解】
解:.
故选:C
14.B
根据给定图形,利用平面向量的加法法则列式求解作答.
【详解】
因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,且,,,

,解得,所以.
故选:B
15.D
根据向量的基底表示与线性运算计算.
【详解】
如图,因为,分别是的边和的中点,
.
故选:D
16.
建立直角坐标系,设,,由P、M、Q三点共线,设,求得,代入计算知,构造函数,,结合函数的单调性求得最值.
【详解】
如图所示,建立直角坐标系,则,,,,,
又Q是线段CD上的动点,设,
则,可得
设,,
由P、M、Q三点共线,设
利用向量相等消去可得:,
令,,则在上单调递减,
故当时,取得最大值
故答案为:
方法点睛:本题考查向量的坐标运算,求解向量坐标运算问题的一般思路:
向量的坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算可用坐标进行,实现了向量坐标运算完全代数化,将数与形紧密的结合起来,建立直角坐标系,使几何问题转化为数数量运算,考查学生的逻辑思维与运算能力,属于较难题.
17.
设,由已知条件,利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】
由已知得,设,由已知得,
,
故答案为:(.
本题考查平面向量的坐标运算,属基础题.关键掌握向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.
18.
设,根据题意,列出方程,即可求得m,n的值,即可得答案.
【详解】
设,
则,解得,
所以.
故答案为:
19.
设,根据向量共线的坐标运算求解.
【详解】
因为,
所以,
因为,
所以,
解得,

20.(1);(2).
(1)由点,,三点共线可得和共线,解关于的方程可得答案;
(2)由为直角三角形可得,即,解关于的方程可得答案.
【详解】
(1),,,

点,,三点共线,和共线,
,解得;
(2)为直角三角形,且为直角,
,,
解得.
方法点睛:利用向量的位置关系求参数是出题的热点,主要命题方式有两个:(1)两向量平行,利用解答;(2)两向量垂直,利用解答.
21.(1)点B的坐标为或或或;
(2)存在,、或、.
(1)根据题意,分别讨论和两种情况,结合向量的坐标公式,即可求解;
(2)根据题意,设点B,C的坐标,结合向量的坐标运算公式列出方程组,即可求解.
【详解】
(1)设点,则,,.
∵,∴,∴.
∵,∴.
当时,,∴.
又∵,∴或2.
∴点B的坐标为或.
当时,,∴.
又∵,∴.
∴点B的坐标为或.
综上所述,点B的坐标为或或或.
(2)依题意可设点,,则,.
∵,,∴,,
∴或,∴点B、C的坐标分别为、或、.
22.(1)选①:,选②:,选③:;(2).
(1)求出和的坐标,选①由向量平行的坐标表示列方程,解方程即可求解;选②由向量垂直的坐标表示列方程,解方程即可求解;选③由平面向量模长的坐标运算列方程,解方程即可求出结果;
(2)根据平面向量线性运算的坐标运算建立方程组,即可求解;
【详解】
因为,
所以,,
选①:
(1)因为,
所以;即,解得;
(2),
所以,可得,所以,所以;
选②:
(1)因为,所以;
即,解得:;
(2),
所以,可得,所以,所以;
选③:
(1)因为,
所以,
即,解得:;
(2),
所以,可得,所以,所以.
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