高中数学人教A版(2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4平面向量的应用 (word版含解析)

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名称 高中数学人教A版(2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4平面向量的应用 (word版含解析)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-05-23 10:18:11

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文档简介

必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1.已知作用在坐标原点的三个力, ,,则作用在原点的合力 的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,a,则等于(  )
A. B. C. D.2
3.平行四边形ABCD满足条件()·()=,则平行四边形ABCD为( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.任意平行四边形
4.为测量两塔塔尖之间的距离,某同学建立了如图所示的几何模型.若平面,平面,,,,,,则塔尖之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知在ABC中,a=x,b=2,B=30°,若三角形有两解,则x的取值范围是( )
A.x>2 B.06.在中,,则此三角形必是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.钝角三角形
7.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.如图所示,为测量某不可到达的竖直建筑物的高度,在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的,两个观测点,并在,两点处分别测得塔顶的仰角分别为和,且,则此建筑物的高度为( )
A.米 B.米
C.10米 D.5米
9.已知△ABC的内角A B C所对的边分别为a b c,下列四个命题中,不正确的命题是( )
A.若,则一定是等腰三角形
B.若,则是等腰或直角三角形
C.若,则一定是等腰三角形
D.若,且,则是等边三角形
10.P是所在平面内一点,满足,则的形状是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
11.的内角、、的对边分别为、、,已知,,则的面积为( )
A. B. C. D.
12.在中,,的中点为,若长度为3的线段(在的左侧)在直线上移动,则的最小值为
A. B.
C. D.
二、填空题
13.已知正方形ABCD中,E是CD的中点,则向量与的夹角的余弦值为___________.
14.设的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,则角的大小为_________.
15.在日常生活中,我们会看到如图所示的情境,两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为,,且,与的夹角为.给出以下结论:
①越大越费力,越小越省力;
②的范围为;
③当时,;
④当时,.
其中正确结论的序号是______.
16.正方形的边长为,是正方形的中心,过中心的直线与边交于点,与边交于点,为平面内一点,且满足,则的最小值为__________.
三、解答题
17.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面横线上,并解答.
在中,内角,,的对边分别为,,,且___________.
(1)求角的大小;
(2)已知,,点在边上,且,求线段的长.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.已知、、为△的三个内角,、、是其三条边,,.
(1)若,求、;
(2),求.
19.在①;②;③,这三个条件中任选一个(将序号填在横线上,多填则默认为所填的第一个序号),补充在下面的问题中.
在中,它的内角,,所对的边分别为,,,且,的面积是,______.若问题中的三角形存在,求值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
20.设作用于同一点的三个力,,处于平衡状态,若,,且与的夹角为,如图所示.
(1)求的大小;
(2)求与的夹角.
21.在①,②,③这三个条件中任选两个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求三角形的面积;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,________,_________?
注:如果选择多种方案分别解答,那么按第一种方案解答计分.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.A
由题意,根据向量的坐标运算法则,即可求得的坐标,得到答案.
【详解】
由题意,作用在坐标原点的三个力,,,
则,即的坐标为.
故选:A.
2.D
由已知结合正弦定理即可直接求解.
【详解】
A=60°,a,
由正弦定理可得,2,
∴b=2sinB,c=2sinC,
则2.
故选:D.
本题主要考查了正弦定理的应用,属于基础试题.
3.B
根据向量的运算性质,求得,得到,即可求解.
【详解】
由,解得,
即,所以四边形为菱形.
故选:B.
本题主要考查了向量的运算性质,以及四边形形状的判定,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
4.C
先在中求得,中求得,再在中利用余弦定理求即可.
【详解】
依题意,在中,,,
,可得,
则 ,
在中,,,则,
又中,,由余弦定理可得:
则.
故塔尖之间的距离为.
故选:C.
5.D
根据三角形有两个解,转化为以C为圆心,以2为半径的圆与BA有两个交点,再结合正弦定理求解.
【详解】
如图所示:
因为AC=b=2,若三角形有两个解,
则以C为圆心,以2为半径的圆与BA有两个交点,
当时,圆与BA相切,不合题意;
当时,圆与BA交于B点,不合题意;
所以,且,
所以由正弦定理得:
,则,
解得,
故选:D
6.B
利用余弦定理的变形化角为边即可求解.
【详解】
由,
则,
即,
整理可得,
所以为直角三角形.
故选:B
7.A
利用余弦定理解答即可.
【详解】
由b2=ac,
得,
因为0所以B∈.
故选:A.
8.B
结合图形由余弦定理可得答案.
【详解】
设,则,,
在中,由余弦定理可得,
即,
整理得,解得或(舍),
故选:B.
9.C
A.利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断;B.利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断;C.先进行切化弦,然后利用正弦定理进行化简并判断;D.根据条件先求解出,然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值,从而判断出结果.
【详解】
A.因为,所以,

所以,所以,所以,所以为等腰三角形,故正确;
B.因为,所以

所以,
所以,所以,
所以,所以或,
所以为等腰或直角三角形,故正确;
C.因为,所以,所以,
所以,所以,所以或,
所以为等腰或直角三角形,故错误;
D.因为,所以,所以或(舍),所以,
又因为,所以且,所以,
所以,所以,所以,所以,
所以,所以为等边三角形,故正确.
故选:C
10.B
根据平面向量的线性运算与模长公式,可以得出,由此可判断出的形状.
【详解】
由,可得,即,
等式两边平方,化简得,,
因此,是直角三角形.
故选:B.
本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算,也考查了模长公式应用,是中等题.
11.B
先由正弦定理边角互化,计算求得,再根据余弦定理求,最后计算面积.
【详解】
根据正弦定理有,
、、,则,,可得,
由余弦定理可得,则为锐角,所以,,
所以,,解得.
因此,.
故选:B.
方法点睛:在解三角形的问题中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则如下:
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;
(2)若式子中含有、、的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;
(4)代数式变形或者三角恒等变换前置;
(5)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;
(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
12.B
先根据正弦定理求得,以所在直线为轴,建立平面直角坐标系,根据对称性和两点间的距离公式,求得所求的最小值.
【详解】
由正弦定理可得,,
以BC所在直线为轴,则,
则表示轴上的点P与A和的距离和,
利用对称性,关于轴的对称点为,
可得的最小值为=.
本小题主要考查利用正弦定理解三角形,考查距离和的最小值的求法,考查坐标法,属于中档题.
13.
向量坐标化,以A为原点,分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算处理.
【详解】
如图示,以A为原点,分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系.
不妨设正方形ABCD的边长为2,则,,,,.
则所以向量与的夹角的余弦值为:
.
故答案为:
14.##
由正弦定理得,化简得到,进而求得的值,即可求解.
【详解】
因为,可得的,
由正弦定理得,
因为,
化简得,
又因为,可得,所以,
又由,可得.
故答案为:.
15.①④.
根据为定值,求出,再对题目中的命题分析、判断正误即可.
【详解】
解:对于①,由为定值,
所以,
解得;
由题意知时,单调递减,所以单调递增,
即越大越费力,越小越省力;①正确.
对于②,由题意知,的取值范围是,所以②错误.
对于③,当时,,所以,③错误.
对于④,当时,,所以,④正确.
综上知,正确结论的序号是①④.
故答案为:①④.
此题考查平面向量数量积的应用,考查分析问题的能力,属于中档题
16.
建立坐标系,根据求出点的坐标,设出的坐标分别为,,将,转化为关于的函数,即可得其最小值.
【详解】
以为坐标原点,以过且平行于的直线为轴,以过且垂直于的直线为轴,建立坐标系,则,,
所以,
所以,即点坐标为,
设,则,,
所以,,
所以,
当且时,有最小值为,
故答案为:
关键点点睛:本题的关键点是以为坐标原点,以过且平行于的直线为轴建立坐标系,则,,利用求出点的坐标,设出的坐标分别为,,,利用二次函数的性质可求最小值.
17.(1)
(2)
(1)若选①,则根据正弦定理,边化角,结合二倍角公式,求得,可得答案;
若选②,则根据余弦定理和三角形面积公式,将化简,求得,可得答案;
若选③,则切化弦,化简可得到的值,求得答案;
(2)由余弦定理求出,进而求得,设 , ,在 中用余弦定理列出方程,求得答案.
(1)
若选①,
则根据正弦定理可得:,
由于 , ,故 ,
则 ;
若选②,
则 ,即 ,则 ,
而,故 ;
若选③,则,
即,则 ,
而,故 ;
(2)
如图示:
,故 ,
故 ,
在 中,设 ,则 ,
则 ,
即 ,解得 ,或(舍去)
故.
18.(1),;(2).
(1)由正弦定理得,再结合得,联立余弦定理可求;
(2)由先求出,进而得出,由求出,再结合求即可
【详解】
(1),∴,;
(2),又,联立可得,解得,或,
∵,,若,,可得,,为钝角,与为钝角矛盾,舍去,∴, 由正弦定理,
19.条件选择见解析,.
先利用正弦定理将已知等式中的边化角,结合三角形的内角和定理及两角和的正弦公式,可推出,再由,可得.
选择条件①:结合余弦定理,和,解该方程组即可求解;
选择条件②:由正弦定理可得,从而求得和的值,再由余弦定理即可求解;
选择条件③:由正弦定理可得,从而求得和的值,再由余弦定理即可求解.
【详解】
解:,
由正弦定理可得,即,
,,

,,即,
又,.
的面积,

选择条件①:
由余弦定理知,
又,
,化简得,,
解得或(舍负),

选择条件②:
,由正弦定理得,
又,
,,
由余弦定理知,,

选择条件③:
由正弦定理知,,

,,
又,.
下面的步骤同②.
20.(1);(2).
(1)由题意,利用平方,再开方的方法,即可求的大小;
(2)由,可得,从而可求,的大小.
【详解】
解:(1)由题意
,,且与的夹角为,
(2),



,.
本题考查向量知识的运用,考查向量的模、夹角的计算,属于中档题.
21.答案见解析
根据正弦定理及题干条件可求得角A.若选条件①和②,根据正弦定理,可得,根据余弦定理,可求得c,经检验能构成三角形,代入面积公式,即可得答案;若选条件①和③,根据正弦定理及条件,可得与矛盾,所以这样的不存在;若选条件②和③,根据题干条件,可求得角B,根据正弦定理,可求得c,经检验能构成三角形,代入面积公式,即可得答案;
【详解】
由,可得,
因为,所以,
因此,即,
因为,所以.
方案一:选条件①和②
由和,可得,
由和,得,
解得或(舍去),
则,这样的三角形存在.
其面积.
方案二:选条件①和③
因为,
又,解得,,
与矛盾,所以这样的不存在.
方案三:选条件②和③
因为,
则,
所以,
因为,所以,,
因为,则,
所以,这样的三角形存在.
其面积.
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页