高中数学人教A版（2019）必修 第二册第七章 复数7.2复数的四则运算 （word版含解析）

必修第二册 7.2 复数的四则运算
一、单选题
1．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A． B．
C． D．
2．(2+i)-(1+2i)= （ ）
A． B． C． D．
3．已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数+i是实数，则|z|的最小值为（ ）
A．0 B． C．5 D．
4．计算的值是 （ ）
A． B． C． D．
5．已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知复数，若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．
7．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
8．若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（ ）.
A． B． C． D．
9．已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
10．已知a为实数，i为虚数单位，若是纯虚数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
11．在复平面内，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知是复数，为的共轭复数.若命题：，命题：，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．若复数满足，其中为虚数单位，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
14．已知复数满足，则（ ）
A．
B．
C．
D．
15．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
16．以下四个命题：
①满足的复数只有±1，±i；
②若a、b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；
③|z＋|＝2|z|；
④复数z∈R的充要条件是z＝，其中正确的有_____.
17．已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第_____象限.
18．-16的平方根是______．
三、解答题
19．已知是关于x的方程的一个根，求实数p、q的值及方程的另一个根．
20．设、是关于x的方程x22kx+(2k+1)=0(k∈R+)的两个根
(1)若||=2，求实数k的值
(2)若||+||=2，求实数k的值
21．已知复数（是虚数单位）．
（I）求复数z的模长；
（Ⅱ）若．求的值．
22．已知复数的模为.
（1）写出一个，使得，但（只需要写出一个，无需证明）；
（2）设，，分别求，，的实部（用，表示），并归纳得出的实部.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
把代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.
【详解】
由题意1i是关于的实系数方程
∴，即
∴，解得.
故选：D．
2．A
直接利用复数减法法则计算即可.
【详解】
(2+i)-(1+2i)= (2-1)+(1-2) i =
故选：A
3．D
利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.
【详解】
解：∵复数是实数
故
当且仅当时取等号
的最小值为
故选：D
4．A
根据复数的除法运算法则可得结果.
【详解】
＝＝＝.
故选：A
5．D
先化简，再利用复数的除法化简得解.
【详解】
.
所以复数对应的点在第四象限，
故选：D
结论点睛：复数对应的点为，点在第几象限，复数对应的点就在第几象限.
6．D
根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.
【详解】
解：是纯虚数，
则，解得.
故选：D.
7．C
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则．故选C．
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
8．B
设方程为，根据韦达定理分别将用表示，即可得出答案.
【详解】
解：设方程为，
则，所以，
，所以，
则方程为，
故只有B选项符合题意.
故选：B.
9．C
利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解.
【详解】
因为，
所以，
，
所以|z|=.
故选：C.
10．B
根据复数的分类计算．
【详解】
，它是纯虚数，则，．
故选：B．
11．D
由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得：.
故选：D.
12．A
设，则，则，化简命题，再结合充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
设，则，则
命题：等价于，即
命题：等价于，即或，即或，
∴是成立的充分不必要条件，
故选：A.
13．A
先化简得，再求出得解.
【详解】
由题得，
所以.
故选：A
14．B
利用复数除法运算可求得，由共轭复数定义可得结果.
【详解】
，.
故选：B.
15．D
先求出复数，进而得到其对应点所在象限.
【详解】
,
∴复数在复平面内对应的点（2，-1）在第四象限，
故选：D
16．④
利用复数的四则运算以及共轭复数的概念、复数的模逐一判断即可.
【详解】
①令z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
若＝，则有a－bi＝，即a2＋b2＝1＝|z|2，错误；
②(a－b)＋(a＋b)i＝2ai，若a＝b＝0，(a－b)＋(a＋b)i＝0，不是纯虚数，错误；
③若z＝i，|i－i|≠2|i|，错误；
④z＝，则其虚部为0，正确，
综上所述，正确的命题为④.
故答案为：④
17．一
化简得到，得到复数对应象限.
【详解】
，复数在复平面内对应的点的坐标为（2,1），
故复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：一.
本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
18．
设复数，由题意得，根据复数相等的条件，即可求得a，b，即可得答案.
【详解】
设复数，由题意得
所以，则，
解得，所以，即-16的平方根是.
故答案为：
19．，，另一个根．
根据是方程的一个根，代入方程，利用复数相等求得p，q即可.
【详解】
因为是方程的一个根，
所以，
即，
所以，解得，
所以方程为，
因为，
所以方程的另一个根是.
20．(1)k=3；
(2)
（1）根据、是关于x的方程的两个根，根与系数的关系，得到，之后利用两数和差积的关系，结合题中条件求得结果；
（2）判别式可正可负可零，分方程的根为实根和虚根两种情况讨论求解.
(1)
、是关于x的方程的两个根，
所以，
根据题意有，
即，
解得（舍去）或.
所以.
(2)
方程的判别式为，
因为，所以判别式可正可负可零，
当时，因为，所以，所以、同号，
所以，解得，
此时，不合题意，
当时，方程有两个虚根，
，，
所以，
即，解得，满足，
所以.
21．（I）（Ⅱ）
（I）首先根据复数代数形式的除法化简，再求复数的模即可；
（Ⅱ）根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件计算可得；
【详解】
解：（I），所以
（Ⅱ）因为，即，所以，所以解得
22．（1）；（2）的实部为，的实部为，的实部为，归纳的实部为.
(1)写出一个符合要求的复数即可；
(2)利用复数的乘法、乘方运算计算即可得解，再根据规律写出结论作答.
【详解】
（1）；
（2）因设，，
则
，
所以的实部为；
，
，
，
所以的实部为，的实部为，
因此，归纳得出的实部为.
答案第1页，共2页
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