高中数学人教A版（2019）必修 第二册第八章 立体几何初步8.2立体图形的直观图 （word版含解析)

必修第二册 8.2 立体图形的直观图
一、单选题
1．如图，一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形，则原三角形的面积是（ ）
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
2．根据斜二测画法的规则画直观图时，把轴画成对应的轴，则与的度数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．或，
3．若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
4．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是（ ）
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形
B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
5．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
6．已知水平放置的矩形的长为4，宽为，用斜二测画法画出该矩形的直观图，则所画直观图的面积为（ ）
A．32 B． C．4 D．2
7．已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）
A． B． C．3 D．6
8．如图，在中，，若的水平放置直观图为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示为一个平面图形采用斜二测画法得到的直观图其直观图是一个边长为1的菱形，则该平面图形的面积为（ ）．
A．2 B．1 C． D．
10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
A．2 B． C． D．4
11．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A． B． C． D．
12．若一个平面图形的直观图是边长为2的正三角形，则该平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若正方形的边长为1，利用斜二测画法得到直观图，则直观图的周长等于_____.
14．已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图如图所示，若，则的长为________.
15．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为___________.
16．如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.
三、解答题
17．如图所示，在边长为4的正三角形中，，分别是，的中点，为的中点，，分别是，的中点，若将正三角形绕所在直线旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积.
18．如图所示，在正三棱台中，已知，棱台一个侧面的面积为，，O分别为上、下底面正三角形的中心，连接并延长，分别交于点，D，，求上底面的边长.
19．用斜二测画法画出各棱长都为5的正三棱锥的直观图.
20．如图，四边形O′A′B′C′是梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积S′.
21．用斜二测画法画底面边长为2cm，高为3cm的正六棱柱的直观图．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
利用斜二测画法中边长的比例关系求出面积的比.
【详解】
∵S△A′B′C′＝a2sin 60°＝a2，
∴S△ABC＝S△A′B′C′＝a2.
故选：C.
斜二测直观图的面积与原图形的面积比为，
原图形的面积与直观图的面积比为.
2．D
根据斜二测画法的规则，即可得出正确选项.
【详解】
根据斜二测画法的规则，的度数应为或，
指的是画立体图形时的轴与轴的夹角，所以度数为．
故选：D．
3．C
通过“斜二测画法”将直观图还原，即可求解
【详解】
解：由斜二测画法的直观图知，，，，；
所以原图形中，，，，，，
所以梯形的面积为．
故选：C．
4．D
根据斜二测画法的方法：平行于y轴的线段长度减半，水平长度不变即可判断.
【详解】
由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，
直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，
故选：D.
本题考查了斜二测画法的方法，掌握斜二测画法的方法是关键，属于基础题.
5．C
由斜二测画法知识得原图形底和高
【详解】
原图形中，，边上的高为，故面积为32
故选：C
6．C
根据斜二测画法的规则，分别求出直观图的边长关系，即可求直观图的面积.
【详解】
根据斜二测画法的规则可知，矩形的直观图为平行四边形, 如图，
其中，
所以平行四边形的面积.
故选：C
7．C
按照斜二测画法画出直观图，利用梯形面积公式便可求得其面积.
【详解】
如图所示，实线表示直观图，.
,
,
∴直观图的面积为,
故选：C.
本题主要考查斜二测画法，关键是掌握斜二测画法的要领.
8．B
先在中求出，则利用原图与直观图之间的关系可求得，，再求出上的高可求得其面积
【详解】
解：因为，，
所以，，
所以，
所以上的高，
所以的面积为，
故选：B
9．A
逆向应用斜二测画法规则画出原图形，根据斜二测画法规则可以逆向得到原图形的形状为长方形，并求得长和观，计算得到面积.
【详解】
如图，直观图中的菱形对应长方形，画出原图形，底边高面积为2.
故选：A
10．C
由三视图得出该四棱锥为正四棱锥，再结合勾股定理得出答案.
【详解】
由三视图可知，该四棱锥为正四棱锥，正方形底面的边长为
侧棱长为，即最长棱的长度为
故选：C
11．B
【详解】
分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，
所以其表面积为，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
12．B
根据斜二测画法确定直观图与平面图形的面积关系，即可求出平面图形的面积
【详解】
由题意，结合斜二测画法可知，直观图面积是平面图形面积的，
因为直观图是边长为2的正三角形，
所以平面图形的面积为，
故选：B
13．3
根据斜二测画法的规则，结合“一变两不变”的原则，即可求解，得到答案.
【详解】
根据斜二测画法画出图形后求出周长，如图，因为正方形的边长为1，
则由斜二测画法可得，，，，
所以四边形的周长为.
本题主要考查了平面图形的直观图的画法以及应用，其中解答中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
14．1
根据斜二测法求出直观图△的面积，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出的值．
【详解】
解：的面积为，
则用斜二测法画出其水平放置的直观图△的面积为，
即，解得，
△中，由余弦定理得，，
所以．
故答案为：1．
15．
由已知求出原图的面积，进而根据原图面积与直观图面积的关系，求出直观图的关系，设直观图的高为，结合直观图中梯形的两底长不变，构造关于的方程，可得答案．
【详解】
解：四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，
故的高为2，面积，
故其直观图的面积，
设直观图的高为，则，
解得：，
即在直观图中，梯形的高为.
故答案为：.
16．10.
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.
【详解】
因为长方体的体积为120，
所以，
因为为的中点，
所以，
由长方体的性质知底面，
所以是三棱锥的底面上的高，
所以三棱锥的体积.
本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.
17．
旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体，根据长度计算表面积得到答案.
【详解】
旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.
令，，，，则，，，
∴，
.
∴所求几何体的表面积
本题考查了旋转体的表面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
18．
根据正三棱台的结构特征，用上下底面边长表示出正三棱台的斜高，进而得侧面积表达式即可得解.
【详解】
依题意，，则，
设上底面的边长为，则，
如图所示，连接，过作于点H，则四边形为矩形，且，
于是得，在中，，
因四边形的面积为，则，即，解得，
所以上底面的边长为.
19．答案见解析
先利用斜二测画法画出水平放置的边长为的正三角形的直观图，再过作轴，在轴正半轴上取点，使，连，可得答案.
【详解】
分两个步骤完成：
（1）先画出水平放置的边长为的正三角形的直观图：
1°在正三角形中，设的中点为，取中心为原点，过且与平行的直线为轴，以为轴建立直角坐标系，如图：
，
则，，
2°作出斜坐标系，使，
在轴正半轴上取使，在轴负半轴上取点，使，
过作轴的平行线，使得，连，则三角形就是水平放置的边长为的正三角形的直观图，如图：
（2）过作轴，在轴正半轴上取点，使，连，可得各棱长都为5的正三棱锥的直观图，如图：
20．
根据斜二测画法原则可还原各条线段的位置和长度，从而得到四边形的面积．
【详解】
设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D′⊥O′A′于D′，则C′D′＝
由题意知C′D′·(C′B′＋O′A′)＝S，即h(C′B′＋O′A′)＝S.
原直角梯形面积为
S′＝2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝
即梯形OABC的面积为
21．见解析
由斜二测画法的规则画出直观图即可.
【详解】
画轴：画轴、轴、轴，使；
画底面：作水平放置的正六边形的直观图，为正六边形的中心，在轴上作，
在轴上作，过分别作轴的平行线使得，
依次连接即得正六边形的直观图；
画侧棱：过各点作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取，
使；
成图：连接，并去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，
得到的图形即为正六棱柱的直观图．
答案第1页，共2页
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