高中数学人教A版（2019）必修 第二册第八章 立体几何初步8.1基本立体图形同步练习 （word版含解析）

必修第二册 8.1 基本立体图形 同步练习
一、单选题
1．如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是(　　)
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
2．如图，长方体被两平面分成三部分，其中，则这三个几何体中是棱柱的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）
A．2 B．1 C．高 D．考
5．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）
A． B．2 C． D．
6．以下命题正确的是（ ）
A．直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
7．下列命题正确的是（ ）
A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面
C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形
8．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（ ）
A．棱锥 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体
9．棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（ ）
A． B． C． D．
10．四氯化碳是一种有机化合物，分子式为，是一种无色透明液体，易挥发，曾作为灭火剂使用．四氯化碳分子的结构为正四面体结构，四个氯原子（Cl）位于正四面体的四个顶点处，碳原子（C）位于正四面体的中心．则四氯化碳分子的碳氯键（C-Cl）之间的夹角正弦值为（ ）．
A． B． C． D．
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若线段A1D上存在一点E，使AE+B1E取得最小值，则此最小值是（ ）
A．4 B．
C． D．
12．已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离为2，则球的内接正方体的棱长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
13．一个正四棱台上 下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为______.
14．下列命题正确的是________（只填序号）．
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；
③球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
④球的半径是球面上任意一点和球心的连线段．
15．已知正方体棱长为4，M棱上的动点，AM ⊥平面，则下列说法正确的是________．
①若N为中点，当AM＋MN最小时，；
②当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大；
③直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为；
④若点M为的中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为18；
⑤当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为．
16．给出下列说法：
①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；
③夹在圆柱的两个截面间的几何体是一个旋转体．
其中说法正确的是________（填序号）．
17．设有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.
其中正确命题的序号是______.
三、解答题
18．如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1.O与分别是下底面与上底面的中心.

（1）求棱台的斜高；
（2）求棱台的高.
19．已知一个圆台上底面面积为，下底面面积为，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面圆的面积.
20．现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱，要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．
（1）若，，则仓库的容积（含上下两部分）是多少？
（2）若上部分正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
21．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
结合图形以及四棱锥的结构特征即可判断.
【详解】
剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.
故选：B.
2．D
根据棱柱的定义判断即可.
【详解】
长方体被两平面分成三部分，其中，
其中两个三棱柱，底面是直角三角形；
另一个是底面为6边形的直棱柱，
所以这三个几何体中是棱柱的个数为：3.
故选：D．
3．B
根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．
【详解】
解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，
因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，
所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，
所以面角和为，
故总曲率为．
故选：B.
4．C
将展开图还原为正方体，结合图形即可得解；
【详解】
解：将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，
故选:C.
5．B
可得原几何体如图所示正三棱锥，取中点，连接，设底面边长为，表示出，，即可求出，进而求出腰长.
【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥，
取中点，连接，则底面中心在上，连接，可得平面，
由三视图可知，，
设底面边长为，则，则，
则在等腰直角三角形中，，
是底面中心，则，
则，解得，
则，底面边长为，
则正视图（等腰三角形）的腰长为.
故选：B.
本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.
6．C
根据圆锥的几何特征即可判断A；
根据圆柱的几何特征即可判断B；
根据圆台的几何特征即可判断C；
根据棱台的几何特征即可判断D.
【详解】
解：对于A：直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故A错误；
对于B：，因为当两平行的截面与圆柱的底面不平行时，截得的几何体的两个平行的底面有可能是椭圆，另外当截面平行于圆柱的高线时，截得的几何体也不是圆柱，故B错误；
对于C：圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，正确；
对于选项D：当截面不平行于底面时，棱锥截去一个小棱锥后剩余部分不是棱台，故D错．
故选：C．
7．B
根据棱柱的特点一一分析即可得解.
【详解】
对于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正确；
对于B，面最少的就是三棱柱，共有五个面，B正确；
对于C，长方体是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正确；
对于D，斜棱柱的侧面可以不是矩形，D错误.
8．C
判断出圆柱的截面图形即可求解.
【详解】
圆柱的截面的图形只有矩形或圆形，
如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱.
故选：C
本题考查了几何体的截面图形，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
9．B
设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化简求出结果．
【详解】
设棱台的高为与截得它的棱锥的高，作出草图，如下图所示：
由相似关系可得，，所以，则
即， 可得 .
故选：B．
本题考查棱台的结构特征，计算能力，是基础题．
10．D
将四面体放入正方体中进行计算，结合正方体和正四面体的几何特点，借助余弦定理即可容易求得结果.
【详解】
如图所示，正方体的棱长为a，正四面体的棱长为，
又该正方体的体对角线长度为，故，
根据题意可知，所求夹角为，
在中，由余弦定理可得：，
故，即四氯化碳分子的碳氯键（C-Cl）之间的夹角正弦值为.
故选：D．
11．C
将沿所在直线翻折，使点与点在平面，且在直线的异侧，再利用两点间线段最短和余弦定理进行求解.
【详解】
如图1，将沿所在直线翻折，使平面，
且点与点在直线的异侧，如图2所示，
因为是线段上任意一点，所以，
当且仅当三点共线时，取得最小值，
此最小值即为，
在中，由余弦定理，得：
，
所以.
故选:C．
图1 图2
12．D
先由球的截面的性质可得球的半径，再由正方体外接球的直径即为体对角线的长即可得解.
【详解】
由题意，的外接圆半径为，
设该球的半径为，可得，所以，
设该球内接正方体的棱长为，所以，所以．
故选：D.
13．
由正四棱台的几何特征知四边形为高为3的等腰梯形，进而结合梯形的面积公式即可求出结果.
【详解】
由正四棱台的几何特征知，,,且四边形为高为3的等腰梯形，
所以,
所以,
因此经过相对两侧棱的截面的面积为，
故答案为：.
14．②④
由旋转体的定义可判断选项①②，由球的概念可判断选项③④.
【详解】
以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台,故①错误；
由圆锥的定义可知②正确；
作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故③错误；
根据球的半径定义，知④正确．
故答案为：②④
15．①④⑤
利用展开图判定、、三点共线，进而利用相似三角形判定选项①正确；
通过两个截面的面积不相等且周长相等判定②错误；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的余弦值的取值范围，进而判定③错误；
利用线面垂直得出点的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形的高，进而求出截面的面积，判定④正确．利用正四面体内切球半径为其正四面体高的，可得内切球的表面积.
【详解】
对于①：将矩形与正方形展开成一个平面（如图所示），
若最小，则、、三点共线，
因为，
所以，
所以，
即，故①正确；
对于②：当点与点重合时，连接、、、、，（如图所示），
在正方体中，平面，
平面，
所以，
又因为，且，
所以平面，
又平面，
所以，
同理可证，
因为，
所以平面，
易知△是边长为的等边三角形，
其面积为，
周长为；
设、、、，，分别是，、，，，的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，
且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则△的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，即②错误；
对于③：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，4，，设，4，，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
且，4，，，4，，
，，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，，
则直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，，故③错误；
对于④，连接、，
设平面交棱于点，0，，，4，，
所以，4，，
因为平面，平面，
所以，
即，得，
所以，0，，
即点是的中点，
同理点是的中点，
则且，
所以四边形是梯形，且，，
设，0，，，，，
则，，
所以梯形的高，即点到直线的距离，为，
所以梯形的面积为，故④正确；
对于⑤，当点M与点C重合时，四面体即为为正四面体，
棱长，由正四面体的性质可得，其内切球半径，
所以表面积为
故答案为：①④⑤．
解决本题的关键在于熟悉正方体的常见截面形状，及正四面体的内切外接球的性质特征，涉及动直线与平面的夹角问题一般用空间向量法.
16．①
根据圆柱的结构特征判断①③, 根据圆台的结构特征判断②.
【详解】
①正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
②不正确，圆台的母线延长后必相交于一点；
③不正确，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
故答案为：①
17．①④
根据空间几何体的结构特征,依次判断各选项即可.
【详解】
命题①,符合平行六面体的定义,故命题①正确；
命题②,底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②错误；
命题③,因直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题③错误；
命题④,由棱台的定义知,棱台的相对侧棱延长后必交于一点,故命题④正确.
综上可知,正确的为①④
故答案为: ①④
本题考查了空间几何体的结构特征,对各类型的空间几何体概念要理解准确,属于基础题.
18．（1）（2）
（1）棱台侧面是等腰梯形，在等腰梯形中可计算出斜高；
（2）在直角梯形中计算高或补形为棱锥的直角三角形计算．
【详解】
（1）因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形.

（2） （3）
如图（2）所示，在梯形中，分别过，作AC的垂线与，则由，可知，从而，
即斜高为.
（2）根据O与分别是下底面与上底面的中心,以及下底面边长和上底面边长分别为2和1，可以算出
.
假设正三棱台是由正棱锥截去正棱锥得到的，则由已知可得VO是棱锥的高，是棱锥的高，是所求棱台的高.
因此是一个直角三角形，画出这个三角形，如图（3）所示，则是的中位线.
因为棱台的棱长为1，所以，，从而
，
因此.
因此棱台的高为.
本题考查正棱台中的高与斜高的计算，解题关键是掌握正棱台中两个直角梯形．棱台可能看作是由棱锥截出来的，因此也可借助正棱锥中的直角三角形计算．
19．
把圆台还原成圆锥，设截面圆的半径为,利用三角形相似，对应边成比例，可求得结果.
【详解】
如图，把圆台还原成圆锥，
设截面圆的半径为.因为圆台上底面面积为，下底面面积为，所以上底面半径为1，下底面半径为4，所以.
设，则，因为，所以.
在中，，所以，因此截面圆的面积是.
本题考查了圆台的结构特征，考查了圆锥的性质，属于基础题.
20．（1） (2) 时，最大面积
（1）由正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍，可得时，，进而可得仓库的容积；
（2）设，则，，，，求出侧面积的表达式，利用基本不等式可得最大值．
【详解】
（1），正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．
，
所以仓库的容积，
（2）若正四棱锥的侧棱长为，设，
则，，，
正四棱柱侧面积，
，
当且仅当，即时，，
所以当时，正四棱柱侧面积最大，最大为．
关键点点睛：求出正四棱柱的侧面积函数关系式，利用基本不等式求最大值，属于中档题．
21．．
由圆锥平行于底面的截面的性质求解．
【详解】
设圆台的母线长为，由截得圆台上、下底面的面积之比为，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为，．过轴作截面，如图所示．
则，所以，
又，
所以，解得，
即圆台的母线长为9cm.
答案第1页，共2页
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