高中数学人教A版（2019）必修 第二册第八章 立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 (word版含解析）

必修第二册 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．在直三棱柱中，，，，点D是侧棱的中点，则异面直线与直线所成的角大小为（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于点、线和面的关系表示错误的是（ ）
A．点平面 B．直线平面
C．直线平面 D．平面平面
3．四棱锥的底面是正方形，且各条棱长均相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．设，，是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若，，则
②若，是异面直线，，是异面直线，则，是异面直线
③若和相交，和相交，则和也相交
④若和共面，和共面，则和也共面
其中正确命题的个数（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的为（ ）
A． B． C． D．
6．，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中真命题的个数为（ ）
①若，，则与所成的角等于与所成的角；
②若 ，，，则与是异面直线；
③若 ，，，则；
④若，，，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．梯形一定是平面图形
D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行
8．在边长为1的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）
A．直线与直线平行 B．直线与直线相交
C．直线与直线异面垂直 D．直线与直线异面且所成的角为60°
10．在三棱锥中，，分别是的中点，若，则异面直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦， 则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
12．正方体中，、分别为、上的点，且满足，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，已知圆柱的轴截面是正方形，是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_________.
14．已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题中正确的是______．
①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是；
②M的面积最大值为；
③M的周长为定值．
15．互不重合的三个平面最多可以把空间分成_____个部分．
16．已知两条不同的直线，和不重合的两个平面，，且，有下面四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中真命题的序号是___________.
17．若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是___________
三、解答题
18．用符号语言表示下列语句.
（1）三个平面交于一点，且平面与平面交于直线，平面与平面交于直线，平面与平面交于直线；
（2）平面与平面相交于直线，平面与平面相交于直线.
19．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
20．如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点.证明：平面ABC.
21．如图，在三棱锥中，，，．
（1）证明：；
（2）若直线AC与平面BCD所成的角为，，求二面角的余弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
取AB中点E，连接，,可知（或其补角）为异面直线所求角，解三角形即可求解.
【详解】
取AB中点E，连接，，如图，
分别是,中点，
,
（或其补角）即为异面直线与直线所成的角,
直三棱柱中，，
，,,
，
，
故异面直线与直线所成的角大小为，
故选：C
2．A
根据点，线，面的位置关系，结合符号语言，即可判断.
【详解】
根据点，线，面的位置关系的符号表示，可知A.错误，应改为点平面；
BCD.正确.
故选：A
3．D
作出图形，设四棱锥的各条棱的棱长为，计算出各边边长，利用余弦定理求出，即为所求.
【详解】
如下图所示，设四棱锥的各条棱的棱长为，连接、交于点，则为的中点，且平面，连接，取的中点，连接，
四边形为正方形，，则，
所以，异面直线与所成角为或其补角，
，，，
为的中点，，
、分别为、的中点，且，
平面，平面，平面，，
，由勾股定理得，
是边长为的等边三角形，为的中点，，
，由余弦定理得.
故选：D.
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.
4．D
根据直线与直线位置关系判断各命题的对错,
【详解】
解：（1）错，在空间中，，时，与关系可能是平行，相交，异面；
（2）错，与同在一个平面时，可以与平面外一直线异面；
（3）错，在空间中，三条直线不一定交于一点，也不一定在一个平面内；
（4）错，和相交，和相交，则与不一定相交，它们不一定在一个平面内；
故选：D
5．C
连接，由，得到为异面直线与所成的角，结合余弦定理，即可求解.
【详解】
连接，由，所以为异面直线与所成的角，
因为三棱锥的底面是边长为的等边三角形，且侧棱长为，
在底面ABC上的射影D为BC的中点，
可得,
由余弦定理，可得，
因为，所以，
所以异面直线AB与所成的角的为.
故选：C.
6．B
作出示意图，进而根据点线面的位置关系得到答案.
【详解】
对①，结合异面直线所成角的定义，因为，所以与所成的角等于与所成的角，而，于是与所成的角等于与所成的角，故①正确；
对②，根据题意m,n既不平行也不相交，故m,n异面，所以②正确；
如图，在正方体中，若为平面ABCD，为平面，取m为AB，n为，显然异面，所以③错误；
若为平面ABCD，为平面，则m为AB，取n为BC，则，所以④错误.
故选：B.
7．C
由平面的基本性质，根据点、线、面的位置关系判断各选项的正误即可.
【详解】
A：不在一条直线上的三点确定一个平面，三点在一条直线上时不能确定平面，不正确；
B：点在直线上时，不能确定平面，不正确；
C：梯形有两条边平行，两条平行线确定一个平面，梯形的两腰也在平面内，正确；
D：过平面外一点与平面平行的平面内，过该点的直线都符合条件，不正确.
故选：C.
8．D
根据直线与平面没有公共点可知平面.将截面补全后,可确定点的位置,进而求得三角形面积的最小值.
【详解】
由题意,,分别是棱,,的中点,补全截面为,如下图所示:
因为直线与平面没有公共点
所以平面,即平面,平面平面
此时位于底面对角线上,且当与底面中心重合时,取得最小值
此时三角形的面积最小
故选:D
本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的性质与应用,过定点截面的作法,属于难题.
9．D
首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线与直线为异面直线，再求异面直线所成角即可得到答案.
【详解】
正方体的展开图的立体图形如图所示：
由图知：直线与直线为异面直线，故A，B错误；
连接，，因为，所以或其补角为异面直线与所成角.
又因为为等边三角形，所以.
所以直线与直线异面且所成的角为60°，故C错误，D正确.
故选：D
本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题.
10．C
取的中点，连接，根据三角形的中位线的性质得出和，从而可知异面直线所成角为或其补角，再在中利用余弦定理求出，从而得出异面直线所成角的余弦值.
【详解】
解：如图，取的中点，连接，
因为是的中点，是的中点，所以，
同理，
所以异面直线所成角为或其补角，
在中，，
即异面直线所成角的余弦值为.
故选：C.
11．C
分别做直线与的平行线构成三角形，得到异面直线与所成角，求其余弦值即可解决.
【详解】
圆锥底面周长为，又其侧面展开图为半圆，则圆锥母线长
直角三角形中，，,，则
分别取、、的中点M、N、P，连接、、、、
又由O为中点，则，，
则为异面直线与所成角或其补角.
由，可知平面，则
在△中，,，，则
在△中，，，
则
则异面直线与所成角的余弦值为
故选：C
12．C
取上一点，使，结合正方体的结构特征可得，进而可得，所以为异面直线与所成角，在中，，即可求解.
【详解】
取线段上一点，使，连接，，如图所示，
因为，，所以，
所以，，又因为，
所以为异面直线与所成角，
设该正方体的棱长为，则，，
所以在中，，
所以，
故选：C
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
13．
过作面交弧于D，根据已知条件知：异面直线与所成角为，即可求其余弦值.
【详解】
由题意，过作面交弧于D，又是圆柱上底面弧的中点，
∴是弧中点，而是圆柱下底面弧的中点，结合图形知：、平行且相等，所以异面直线与所成角为，轴截面是正方形，
∴，若底面半径为，则，，
故.
故答案为：.
14．②③
根据平面，平面，分点E与或重合和点E与不重合，两种情况讨论求解判断.
【详解】
如图所示：
平面，平面，
①当点E与或重合时，M为正或正，
周长为，面积为，在平面上投影面积为；
②当点E与不重合时，设，则，
∴，，
∴，
同理可得：，，
故M的周长为定值．
M的面积为
，
当时，取得最大值．
M在平面上投影的面积，
由①②知M在平面上投影的面积取值范围是，
M的面积最大值为，M的周长为定值．
故答案为：②③
15．
想象三个平面的位置关系，即可判断.
【详解】
解：三个平面两两平行时，可以把空间分成四部分；
当两个平面平行，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成部分．
当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，且交线互相平行时，把空间分成部分．
当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，且交线互不平行时，把空间分成部分．
故答案为：．
16．①②
根据线面、面面的关系一一判断.
【详解】
因为两条不同的直线和不重合的两个平面，且，
对于①，由，可得，故①正确；
对于②，若，可得，故②正确；
对于③，若，则有可能，故③错误；
对于④，当时，则有可能，故④错误．
综上，真命题的序号是①②．
故答案为：①②．
17．相交或异面
根据空间两直线的位置关系判断.
【详解】
如图所示：
设，当 时，c与b相交；
当时， c与b异面；
所以若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是相交或异面.
故答案为：相交或异面
18．（1）见解析；（2）见解析.
（1）根据文字语言的描述，结合相关符号进行表示；
（2）根据文字语言的描述，结合相关符号进行表示.
【详解】
（1）.
（2）平面平面直线，平面平面直线.
本题主要考查点线面位置关系，熟悉位置关系的符号表示是求解的关键，侧重考查文字语言和符号语言的相互转化.
19．（1）证明见解析
（2）存在，理由见解析
【详解】
分析：（1）先证,再证，进而完成证明．
（2）判断出P为AM中点，，证明MC∥OP，然后进行证明即可．
详解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．
因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．
而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．
证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．
连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．
MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．
点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．
20．证明见解析
利用线面垂直的判定定理，只需证明，即可；
【详解】
证明：因为，O为AC的中点，所以，且.
连接OB
因为，
所以为等腰直角三角形，
且，.
由知，.
由，，平面，平面，
平面.
本题考查线面垂直的判定，属于基础题.
21．（1）证明见解析；（2）．
（1）通过证明，证得平面，由此证得.
（2）通过直线AC与平面BCD所成的角求得，作出二面角的平面角，由此计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）取BD中点O，连接OA，OC，则，
又，，，
所以，所以，所以．
，平面，平面，所以平面．
又平面，所以．
（2）由（1）知平面，平面，所以平面平面，平面平面，
所以CA在平面上的射影在直线CO上，所以为直线AC与平面所成的角，
即．
又因为，，在中由余弦定理可知
，
所以，所以，且平面平面，
所以平面．
，
取CD中点E，连接OE，AE，
则，，
所以为二面角的平面角，
，，
中，．
几何法求二面角，主要是根据二面角的定义作出二面角的平面角，再解三角形求得二面角的余弦值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页