河南省洛阳市2022届高三下学期5月终极猜题卷全国卷数学（理）试卷（Word版含答案）

洛阳市2022届高三下学期5月终极猜题卷
全国卷（理）
【满分：150分】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数为，则( )
A. B. C.6 D.8
2.设集合，，且，则( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
3.已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B.
C. D.
4.执行如图所示的程序框图，若输出的，则空白判断框中可填入的条件是( )
A. B. C. D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，正方形ABCD中灰色阴影部分为四个全等的等腰三角形，已知，，若在正方形ABCD内随机取一点，则该点落在白色区域的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知，当时，向量a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
8.印制电路板(PCB)是电子产品的关键电子互联件，被誉为“电子产品之母”.印制电路板的分布广泛，涵盖通信设备、计算机及其周边、消费电子、工业控制、医疗、汽车电子、军事、航天科技等领域，不可替代性是印制电路板制造行业得以始终稳固发展的要素之一.下面是PCB主要成本构成统计图(单位：%)，则下列结论错误的是( )
A.覆铜板成本占PCB材料成本的50%
B.钢箔成本占材料成本的15%
C.磷铜球成本占材料成本的6%
D.防焊油墨、磷铜球、球钢箔、其他材料的成本占比成等差数列
9.在信息传递中多以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号（形如），某种“信号净化器”可产生形如的波，只需要调整参数，就可以产生特定的波（与干扰波波峰相同，方向相反的波）来“对抗”干扰.现有波形信号的部分图像，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波（标准正弦函数图像），应将波形净化器的参数分别调整为( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P，若的面积为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.3 D.
11.已知函数，若函数有三个极值点，则实数k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
12.如图，在正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，的中点，过E，F，G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是( )
A.在平面内存在直线与平面EFG平行
B.在平面内存在直线与平面EFG垂直
C.平面平面EFG
D.直线与EF所成角为45°
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知实数x，y满足，则的最大值为______.
14.在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项的系数为___________.
15.在中，D是BC边上一点，，，且与面积之比为，则_____________.
16.已知函数，若函数在区间上的图象恒在直线的下方，则实数a的取值范围是____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）已知数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，记数列的前n项和为，求证：.
18.（12分）为了弘扬奥林匹克精神，普及冰雪运动知识，大力营造校园冰雪运动文化氛围，助力2022年冬奥会和冬残奥会，某校组织全校学生参与“激情冰雪，相约冬奥”冰雪运动知识竞赛.为了了解学生竞赛成绩，从参加竞赛的学生中，随机抽取若干名学生，将其成绩绘制成如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为，，，，，已知成绩在内的有60人.
（1）求样本容量，并估计该校本次竞赛成绩的中位数.
（2）将成绩在内的学生定义为“冰雪达人”，成绩在内的学生定义为“非冰雪达人”.请将下面的列联表补充完整，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关？
男生 女生 合计
冰雪达人 40
非冰雪达人 30 60
合计 60
（3）根据（2）中的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取2人，记被抽取的2人中“冰雪达人”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.
附：
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
，.
19.（12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，是正三角形，，.
（1）求证：平面平面PBD；
（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，平面PAB与平面PCD的交线为l，求二面角的余弦值.
20.（12分）已知椭圆，A，B分别为椭圆C的右顶点、上顶点，F为椭圆C的右焦点，椭圆C的离心率为，的面积为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F作直线交椭圆于M，N两点，若，求实数的取值范围.
21.（12分）设函数，其中.
（1）若在上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设，证明：对任意，都有.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的坐标为，求.
23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]
设函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式在区间上恒成立，求a的取值范围.
洛阳市2022届高三下学期5月终极猜题卷
全国卷（理） 参考答案
一、选择题
1.答案：A
解析：由题意得，，所以，
所以.故选A.
2.答案：B
解析：由已知可得，，又，，.故选B.
3.答案：B
解析：因为，，，
所以.故选B.
4.答案：C
解析：模拟执行程序框图，，；，；，；，；，；，，退出循环.故空白判断框中可填入的条件是“”.故选C.
5.答案：C
解析：，，
.故选C.
6.答案：A
解析：由题易知四边形EFGH为正方形，且，由得，所以的高为，故白色区域的面积为，又正方形ABCD的面积为8，所以若在正方形ABCD内随机取一点，该点落在白色区域的概率为.故选A.
7.答案：D
解析：，，，
即，，，
向量a与b的夹角为.故选D.
8.答案：C
解析：由图中数据可得，材料成本占总成本的60%，所以覆铜板成本占PCB材料成本的，故A正确；钢箔成本占材料成本的，故B正确；磷铜球成本占材料成本的，故C错误；其他材料占比为
，所以防焊油墨、磷铜球、球钢箔、其他材料的成本占比成等差数列，故D正确.
故选C.
9.答案：B
解析：设干扰信号对应的函数解析式为，由题图得（T为干扰信号的周期），解得，，函数的最大值为，，将代入，解得，，，，，欲消除的波需要选择相反的波，即.故选B.
10.答案：B
解析：设过右焦点且与渐近线垂直的直线为l，则直线l的方程为，由得，，即，则的面积为，，，.故选B.
11.答案：C
解析：，所以，令，得或.要使有三个极值点，则有三个互不相等的实根，即方程有两个不等于1的实根，，令，则，令，得，易知，且，；，，所以当时，方程即有两个不等实根，又，所以，即.综上，实数k的取值范围是.故选C.
12.答案：D
解析：设BD交AC于点O，EF交BD于点P，连接，PG，易知，因为平面EFG，平面EFG，所以平面EFG，且平面，故A正确；连接，，因为平面，所以，又，所以，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，又，所以，因为，所以平面EFG，且平面，故B正确；因为，，， ，所以平面平面EFG，故C正确；因为，为等边三角形，故直线与AC所成角为60°，即直线与EF所成角为60°，故D错误.故选D.
二、填空题
13.答案：
解析：根据题意作出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分（含边界）所示，作出直线并平移，易知当平移后的直线经过点A时，目标函数z取得最大值，由，得，即点，所以目标函数的最大值.
14.答案：45
解析：的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，，
再令，可得所有项的系数和为，，故二项展开式的通项为，令，得，故含的项的系数为.
15.答案：
解析：因为，且与面积之比为，所以AD为的平分线，，且，设，，，由余弦定理，得，解得，所以，，故，因为，且，故，，又，所以.
16.答案：
解析：由题意知，对于任意，，即在上恒成立.设，，则的最大值小于0，，当时，，在上单调递减，，即，；当时，，在上单调递增，最大值可无穷大，不满足题意；当时，易知在上单调递减，在上单调递增，最大值可无穷大，不满足题意，综上，实数a的取值范围是.
三、解答题
17. 解析：（1），
当时，，………………………………………………………………2分
，，
为从第二项开始的等比数列，公比，…………………………………………4分
又，，，
当时，也满足上式，
.………………………………………………………………………………6分
（2），
，①
，②……………………………………………………9分
①-②得，
，，
，，
.………………………………………………………………………………………12分
18.解析：（1）设样本容量为n，则，解得，
所以样本容量为100. …………………………………………………………………………1分
由频率分布直方图可知，，，，各组频率分别为0.08，0.20，0.32，0.28，0.12，
所以前三组的频率之和为0.6，所以中位数在中.
设中位数为x，则，解得，
所以估计该校本次竞赛成绩的中位数为76.875. ……………………………………………4分
（2）完成列联表如下：
男生 女生 合计
冰雪达人 30 10 40
非冰雪达人 30 30 60
合计 60 40 100
，………………………………………………6分
故有95%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关. …………………………………7分
（3）由（2）可得随机抽取一人为“冰雪达人”的概率，
根据题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，……………………………………………………………10分
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以X的数学期望.…………………………………………………12分
19.解析：（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以.
因为是正三角形，所以，
又，所以BD为AC的垂直平分线，
则.…………………………………………………………………………………2分
因为平面PAC，平面PAC，且，
所以平面PAC.
又平面PBD，所以平面平面PBD. …………………………………………5分
（2）因为平面ABCD，所以为直线PC与平面ABCD所成的角，
所以，易知，，所以.
因为，所以，
所以，则，即.……………………7分
故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
所以，.……………………………………………………8分
设平面PCD的法向量为，
则，得，取，则.
易知为平面PAB的一个法向量，……………………………………………10分
所以.
由图易知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.……………………………………………………12分
20.解析：（1）由题意得，则，.
的面积为，则.…………………………………………2分
将，代入上式，得，则，，
故椭圆C的标准方程为.…………………………………………………………4分
（2）由（1）知，
当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为，，，
将代入椭圆方程得，
化简得，则，
所以①，②. …………………………………………6分
由得，即，
则.
得，
所以，………………………………………………………………8分
即，易知，
故，易知恒成立，
由，得，解得.……………………………………10分
当直线MN的斜率等于0时，
，或，，
则或.
综上，实数的取值范围为.…………………………………………………………12分
21.解析：（1）由在上恒成立，得，
即，.
令，，
则.…………………………………………………………2分
当，即时，，
所以函数在上单调递增，，
故恒成立，满足题意；
当，即时，设，
则图象的对称轴，，，……………………………4分
所以在上存在唯一实根，设为，
则当时，，即，
所以在上单调递减，则，
此时，不符合题意.
综上，实数a的取值范围是.……………………………………………………………6分
（2）由题意得，
当时，，.
由得，
即.…………………………………………………………………………8分
令，则，
所以在上单调递增，，即，
所以，从而.
由（1）知，当时，在上恒成立，整理得.
令，则要证，只需证.…………………………10分
因为，所以在上单调递增，
所以，即在上恒成立.
综上可得，对任意，都有成立. …………………………………………12分
22.解析：（1）由直线l的参数方程(t为参数)，
消去参数t得直线l的普通方程为，……………………………………………2分
由曲线C的极坐标方程，得，
所以曲线C的直角坐标方程为.……………………………………………5分
（2）直线l的参数方程可写为(t为参数)，
代入，得，………………………………………………7分
设A，B两点的参数为，，则，.
所以.…………………10分
23.解析：（1）由得，，
整理得，解得，…………………………………………3分
则原不等式解集为.……………………………………………………………………4分
（2）在区间上恒成立，
即为，即，………………………………………6分
可得，，
所以或，………………………………………………………………8分
即或，化简得或，
由，可得，所以或，
即a的取值范围是.……………………………………………………10分