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人教版七下数学期末复习 专项突破+提分小卷+真题押题(湖北专用)
人教版七年级下册
人教版七下数学期末复习真题卷
专项卷——考点突破
专项卷1 相交线与平行线真题归类复习(1)
专项卷2 相交线与平行线真题归类复习(2)
专项卷3 实数真题归类复习
专项卷4 平面直角坐标系真题归类复习
专项卷5 二元一次方程组真题归类复习
专项卷6 不等式与不等式组真题归类复习
专项卷7 不等式与不等式组真题归类复习
专项卷8 数据的收集、整理与描述真题归类复习
提分卷——查漏补缺
提分小卷1 选填及基础解答题
提分小卷2 选填及基础解答题(2)
提分小卷3 选填及基础解答题(3)
提分小卷4 选填及基础解答题(4)
提分小卷5 解答题提分小卷(1)
提分小卷6 解答题提分小卷(2)
提分小卷7 方程、不等式的实际应用
提分小卷8 平行线性质与判定的综合
提分小卷9 坐标系中的几何图形问题
真题+模拟——实战演练
2020～2021学年湖北省孝感市孝南区七年级(下)期末数学试卷
2020～2021学年湖北省黄冈市七年级(下)期末数学试卷
2022年春季数学七年级(下)期末模拟卷(一)
2022年春季数学七年级(下)期末模拟卷(二)
专项卷2 相交线与平行线真题归类复习(2)
考点1 推理填空
1．(2021·孝感汉川市期中)完成下列证明：
已知：如图，AB∥CD，∠1＋∠2＝180°.
求证：∠B＝∠3.
证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
又∵∠1＝____________(________________________)，
∴∠BED＋∠2＝180°(等量代换)，
∴BC∥____________(________________________)，
∴∠C＝____________(________________________)，
又∵AB∥CD(已知)，
∴∠B＝____________(两直线平行，内错角相等)，
∴∠B＝∠3(________________________).
1．解：∠BED；对顶角相等；DF；同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；∠C；等量代换
2．(2021·咸宁嘉鱼县期末)如图，射线a，b被直线c，d所截．
(1)在图中所标注的6个角(∠1～∠6)中，与∠4是同位角的是____________；
(2)若∠1＋∠2＝180°，求证：∠4＝∠5，请补充完成以下证明过程：
证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
又∵∠2＋____________＝180°(平角的定义)，
∴∠1＝____________(等量代换).
∴c∥d(________________________).
∴∠4＝∠5(________________________).
2．解：(1)∠5和∠6.
(2)∠3；∠3；同位角相等，两直线平行；
两直线平行，同位角相等．
3．(2020·孝感汉川市期末)如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA延长线于点E，∠1＝∠2.
求证：AD平分∠BAC.
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°(垂线的定义).
∴____________＝____________，
____________∥____________．
∴∠1＝____________，∠2＝____________．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴____________＝____________．
∴AD平分∠BAC(角平分线定义).
3．∠ADC；∠EFC；AD；EF；
∠DAB；∠DAC；∠DAB；∠DAC.
考点2 学具问题
4．(2021·黔西南州)将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为()
A．95° B．100°
C．105° D．110°
4．C
5．(2021·岳阳)将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为()
A．45° B．60°
C．75° D．105°
5.C
6．(2021·朝阳)将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为()
A．45° B．65° C．75° D．85°
6.C
7．(2021·随州)如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2为()
A．15° B．25° C．35° D．45°
7.A
8．(2021·宁夏)已知直线a∥b，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝43°，则∠2＝____________．
8.107°
9．(2021·阜新)如图，直线AB∥CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分∠CEF，则∠1的度数为____________．
9.60°
10．(2021·黄冈黄梅县期中)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，则∠α的度数是____________．
第10题图
第11题图
10.15°
11．(2020·咸宁期末)如图，将三角板的直角顶点落在直尺的一边上，若∠1＝34°，则∠2的度数为____________．
11.56°
考点3 翻折问题
12．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，
若已知∠1＝35°，则∠2的度数为()
A．70° B．75°
C．80° D．85°
12．A
13．如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C，
D的对应点分别为点C′，D′.若∠DEF＝α，
用含α的式子可以将∠C′FG表示为()
A．2α B．90°＋α
C．180°－α D．180°－2α
13.D
考点4 拐点问题
14．(2021·台州)一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝()
A．40° B．43° C．45° D．47°
14.B
15．如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2－∠1的度数是()
A．50° B．60° C．70° D．110°
15.C
16．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是()
A．α＋β＋γ＝180° B．α－β＋γ＝180° C．α＋β－γ＝180° D．α＋β＋γ＝360°
16．C
【解析】如图，
延长AE交直线CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠α＋∠AFD＝180°.
∵∠AFD＝∠β－∠γ，
∴∠α＋∠β－∠γ＝180°.故选C.
17．(2021·孝感汉川市期中)如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠BAC＝30°，则∠ACD的度数是____________．
17．120°
18．(2021·孝感安陆市期末)如图，工程队铺设一公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设，若∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数是____________．
18.80°
19．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．
19．解：如图，过点P作射线PN∥AB，∵AB∥CD，
∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
又∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°，
∴∠1＝30°.
考点5 数学思想方法(转化思想、方程思想、分类讨论思想)
20．(2021·孝感安陆市期末)如图所示，一块正方形地板，边长为60 cm，上面横、竖各有两道宽为5 cm的花纹(图中阴影部分)，则空白部分的面积是____________ cm2.
20．2 500
【解析】(60－2×5)2＝50×50＝2 500(平方厘米)，
∴空白部分的面积是2 500平方厘米．故答案为2 500.
21．(2021·黄冈蕲春县期中)己知∠A与∠B的两边分别平行，且∠A－2∠B＝30°，则∠A的度数为____________．
21．解： ∵∠A和∠B的两边分别平行，
∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.
∵∠A－2∠B＝30°，
即∠A＝2∠B－30°，
当时，∴当时，
∴综上，∠A＝30°或110° .
故答案为30°或110°.
22．(2021·黄冈黄梅县期末)如图，已知直线a∥b，c∥d，若∠1，∠2是图中角的两边分别平行的一对角，且∠1的度数为(2x－3)°，∠2的度数为(3x－17)°，则x值为____________．
22．14或40
【解析】 因为∠1，∠2是图中角的两边分别平行的一对角，所以∠1与∠2相等或互补，如图所示：
所以(2x－3)°＝(3x－17)°或(2x－3)°＋(3x－17)°＝180°，解得x＝14或40.故答案为14或40.
23．(2021·武汉期中)如图，直线AB，CD相交于O点，∠AOC与∠AOD的度数比为4∶5，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数．
23．解：设∠AOC＝4x，则∠AOD＝5x.∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴4x＋5x＝180°，解得x＝20°.∴∠AOC＝4x＝80°.∴∠BOD＝∠AOC＝80°.∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝10°，又∵OF平分∠DOB，∴∠DOF＝∠BOD＝40°.∴∠EOF＝∠EOD＋∠DOF＝10°＋40°＝50°.
24．(2021·武汉武昌区期中)如图，直线MD，CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°.
(1)若∠BOD＝∠COD，求∠BON的度数；
24．解：(1)∵∠MON＝70°.∴∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD＝∠COD＝×70°＝35°.∴∠BON＝180°－∠MON－∠BOD＝180°－70°－35°＝75°.
(2)若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．
(2)设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°.∵∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD＝∠BOC－∠COD＝3x°－70°.∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝x°＋70°.∵∠AOD＝2∠BOD，∴x＋70＝2(3x－70)，解得x＝42.∴∠BOD＝3x°－70°＝3×42°－70°＝56°.∴∠BON＝180°－∠MON－∠DOB＝180°－70°－56°＝54°.
25．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE.
(1)求∠BOD的度数；
25．解：(1)∵∠COE＝60°，
OA平分∠COE，
∴∠AOC＝30°.
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°－30°－90°＝60°.
(2)将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒(0≤t≤40).
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
(2)①分两种情况：Ⅰ.当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，
即9t＋30－3t＝45，解得t＝2.5；Ⅱ.当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°，
即9t－150－3t＝45，解得t＝32.5.综上所述，当t＝2.5或32.5时，直线EF平分∠AOB.②t的值为12或36.分两种情况：Ⅰ.当OE平分∠BOD时，∠BOE＝∠BOD，
即9t－60－3t＝(60－3t)，解得t＝12；Ⅱ.当OF平分∠BOD时，∠DOF＝∠BOD，
即9t－300＝(3t－60)，解得t＝36.综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12或
考点6 平行线性质与判定的综合
26．(2021·黄冈蕲春县期中)如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，∠4＝40°，求∠ACB的度数．
26．解：∵∠1＋∠2＝180°，
∠AEC＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠AEC.∴AB∥DF.
∴∠AEF＝∠3.∵∠3＝∠B，
∴∠AEF＝∠B.∴EF∥BC.
∴∠ACB＝∠4＝40°.
27．(2021·孝感安陆市期中)如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，CF平分∠DCE.
(1)试判断直线AC与BD有怎样的位置关系？并说明理由；
27．解：(1)AC∥BD.理由如下：∵AB∥CD，∴∠2＝∠CDF.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠CDF.∴AE∥BF.
(2)若∠1＝80°，求∠3的度数．
(2)∵∠1＝80°，∴∠ECD＝180°－∠1＝180°－80°＝100°.∵CF平分∠ECD，∴∠ECF＝∠ECD＝50°.∵AC∥BD，∴∠3＝∠ECF＝50°.
28．已知：△ABC和同一平面内的点D.
(1)如图1，点D在BC边上，过点D作DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F.
①依题意，在图1中补全图形；
②判断∠EDF与∠A的数量关系，并直接写出结论(不需证明)；
28．解：(1)①补全图形如图1.②∠EDF＝点∠A.
(2)如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A.判断DE与BA的位置关系，并证明；
(2)DE∥BA.证明：如图2，延长BA交DF于点G.
∵DF∥CA，∴∠2＝∠3.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.∴DE∥BA.
(3)如图3，点D是△ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于点E，DF∥CA交直线AB于点F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系(不需证明).
(3)如图3、图4，∠EDF＝∠BAC或∠EDF＋∠BAC＝180°.
29．(2021·黄冈黄梅县期中)“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2∶1.
(1)填空：∠BAN＝____________；
29．解：(1)60°
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯光束互相平行？
(2)当t＝30秒或110秒时，
两灯的光束互相平行．
(3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
(3)不发生变化，∠BAC＝2∠BCD，理由如下：
设灯A射线转动时间为t秒．
∵∠CAN＝180°－2t，
∴∠BAC＝60°－(180°－2t)＝2t－120°.
又∵∠ABC＝120°－t，
∴∠BCA＝180°－∠ABC－∠BAC＝180°－t.而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°－∠BCA＝120°－(180°－t)＝t－60°.
∴∠BAC∶∠BCD＝2∶1，即∠BAC＝2∠BCD.
(2)如图，点P、点T分别是线段OA、x轴正半轴上的动点，过T作TE∥AB，连接TP.若∠ABO＝n°，请探究∠APT与∠PTE之间的数量关系？(用含n的式子表示)
(2)∠APT＋∠PTE＝270°－n°.理由如下：
如图1中，延长TP交AB于点H.
∵AB∥ET，∴∠ABT＝∠ETx＝n°.
∵∠APT＝∠AHP＋∠HAP，
∠AHP＝∠ABO＋∠BTH，
∠BAO＝90°－n°，
∠HTB＝180°－∠PTE－n°，
∴∠APT＝90°＋180°－∠PTE－n°，
∴∠APT＋∠PTE＝270°－n°.
(3)若点D是线段AB上不与A，B两点重合的点，当S△AOD＝S△BOD，求三角形BOD的面积．
(3)如图2.
∵点D是线段AB上不与A，B两点重合的点，S三角形AOD＝S三角形BOD，
∴AD＝BD.∴BD＝AB.∴S三角形BOD＝S三角形AOB＝×＝8.1.
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专项卷2 相交线与平行线真题归类复习(2)
考点1 推理填空
1．(2021·孝感汉川市期中)完成下列证明：
已知：如图，AB∥CD，∠1＋∠2＝180°.
求证：∠B＝∠3.
证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
又∵∠1＝____________(________________________)，
∴∠BED＋∠2＝180°(等量代换)，
∴BC∥____________(________________________)，
∴∠C＝____________(________________________)，
又∵AB∥CD(已知)，
∴∠B＝____________(两直线平行，内错角相等)，
∴∠B＝∠3(________________________).
2．(2021·咸宁嘉鱼县期末)如图，射线a，b被直线c，d所截．
(1)在图中所标注的6个角(∠1～∠6)中，与∠4是同位角的是____________；
(2)若∠1＋∠2＝180°，求证：∠4＝∠5，请补充完成以下证明过程：
证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
又∵∠2＋____________＝180°(平角的定义)，
∴∠1＝____________(等量代换).
∴c∥d(________________________).
∴∠4＝∠5(________________________).
3．(2020·孝感汉川市期末)如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA延长线于点E，∠1＝∠2.
求证：AD平分∠BAC.
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°(垂线的定义).
∴____________＝____________，
____________∥____________．
∴∠1＝____________，∠2＝____________．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴____________＝____________．
∴AD平分∠BAC(角平分线定义).
考点2 学具问题
4．(2021·黔西南州)将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为()
A．95° B．100° C．105° D．110°
第4题图
第5题图
第6题图
5．(2021·岳阳)将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为()
A．45° B．60° C．75° D．105°
6．(2021·朝阳)将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为()
A．45° B．65° C．75° D．85°
7．(2021·随州)如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2为()
A．15° B．25° C．35° D．45°
第7题图
第8题图
第9题图
8．(2021·宁夏)已知直线a∥b，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝43°，则∠2＝____________．
9．(2021·阜新)如图，直线AB∥CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分∠CEF，则∠1的度数为____________．
10．(2021·黄冈黄梅县期中)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，则∠α的度数是____________．
第10题图
第11题图
11．(2020·咸宁期末)如图，将三角板的直角顶点落在直尺的一边上，若∠1＝34°，则∠2的度数为____________．
考点3 翻折问题
12．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝35°，则∠2的度数为()
A．70° B．75° C．80° D．85°
第12题图
第13题图
第14题图
13．如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C，D的对应点分别为点C′，D′.若∠DEF＝α，用含α的式子可以将∠C′FG表示为()
A．2α B．90°＋α C．180°－α D．180°－2α
考点4 拐点问题
14．(2021·台州)一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝()
A．40° B．43° C．45° D．47°
15．如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2－∠1的度数是()
A．50° B．60° C．70° D．110°
第15题图
第16题图
第17题图
第18题图
16．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是()
A．α＋β＋γ＝180° B．α－β＋γ＝180° C．α＋β－γ＝180° D．α＋β＋γ＝360°
17．(2021·孝感汉川市期中)如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠BAC＝30°，则∠ACD的度数是____________．
18．(2021·孝感安陆市期末)如图，工程队铺设一公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设，若∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数是____________．
19．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．
考点5 数学思想方法(转化思想、方程思想、分类讨论思想)
20．(2021·孝感安陆市期末)如图所示，一块正方形地板，边长为60 cm，上面横、竖各有两道宽为5 cm的花纹(图中阴影部分)，则空白部分的面积是____________ cm2.
第20题图
第22题图
21．(2021·黄冈蕲春县期中)己知∠A与∠B的两边分别平行，且∠A－2∠B＝30°，则∠A的度数为____________．
22．(2021·黄冈黄梅县期末)如图，已知直线a∥b，c∥d，若∠1，∠2是图中角的两边分别平行的一对角，且∠1的度数为(2x－3)°，∠2的度数为(3x－17)°，则x值为____________．
23．(2021·武汉期中)如图，直线AB，CD相交于O点，∠AOC与∠AOD的度数比为4∶5，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数．
24．(2021·武汉武昌区期中)如图，直线MD，CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°.
(1)若∠BOD＝∠COD，求∠BON的度数；
(2)若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．
25．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE.
(1)求∠BOD的度数；
(2)将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒(0≤t≤40).
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
考点6 平行线性质与判定的综合
26．(2021·黄冈蕲春县期中)如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，∠4＝40°，求∠ACB的度数．
27．(2021·孝感安陆市期中)如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，CF平分∠DCE.
(1)试判断直线AC与BD有怎样的位置关系？并说明理由；
(2)若∠1＝80°，求∠3的度数．
28．已知：△ABC和同一平面内的点D.
(1)如图1，点D在BC边上，过点D作DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F.
①依题意，在图1中补全图形；
②判断∠EDF与∠A的数量关系，并直接写出结论(不需证明)；
(2)如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A.判断DE与BA的位置关系，并证明；
(3)如图3，点D是△ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于点E，DF∥CA交直线AB于点F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系(不需证明).
图1
图2
图3
29．(2021·黄冈黄梅县期中)“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2∶1.
(1)填空：∠BAN＝____________；
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯光束互相平行？
(3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
图1
图2
30．(2020·孝感汉川市期末)已知：在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴负半轴、y轴正半轴交于点B(b，0)，A(0，a)，且a，b满足－4a－b＋3＋|a－3|＝0.
(1)求三角形AOB的面积；
(2)如图，点P、点T分别是线段OA、x轴正半轴上的动点，过T作TE∥AB，连接TP.若∠ABO＝n°，请探究∠APT与∠PTE之间的数量关系？(用含n的式子表示)
(3)若点D是线段AB上不与A，B两点重合的点，当S△AOD＝S△BOD，求三角形BOD的面积．
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专项卷2 相交线与平行线真题归类复习(2)
考点1 推理填空
1．(2021·孝感汉川市期中)完成下列证明：
已知：如图，AB∥CD，∠1＋∠2＝180°.
求证：∠B＝∠3.
证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
又∵∠1＝____________(________________________)，
∴∠BED＋∠2＝180°(等量代换)，
∴BC∥____________(________________________)，
∴∠C＝____________(________________________)，
又∵AB∥CD(已知)，
∴∠B＝____________(两直线平行，内错角相等)，
∴∠B＝∠3(________________________).
1．解：∠BED；对顶角相等；DF；同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；∠C；等量代换
2．(2021·咸宁嘉鱼县期末)如图，射线a，b被直线c，d所截．
(1)在图中所标注的6个角(∠1～∠6)中，与∠4是同位角的是____________；
(2)若∠1＋∠2＝180°，求证：∠4＝∠5，请补充完成以下证明过程：
证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
又∵∠2＋____________＝180°(平角的定义)，
∴∠1＝____________(等量代换).
∴c∥d(________________________).
∴∠4＝∠5(________________________).
2．解：(1)∠5和∠6.(2)∠3；∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
3．(2020·孝感汉川市期末)如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA延长线于点E，∠1＝∠2.
求证：AD平分∠BAC.
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°(垂线的定义).
∴____________＝____________，
____________∥____________．
∴∠1＝____________，∠2＝____________．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴____________＝____________．
∴AD平分∠BAC(角平分线定义).
3．∠ADC；∠EFC；AD；EF；∠DAB；∠DAC；∠DAB；∠DAC.
考点2 学具问题
4．(2021·黔西南州)将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为()
A．95° B．100° C．105° D．110°
第4题图
第5题图
第6题图
4．C
5．(2021·岳阳)将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为()
A．45° B．60° C．75° D．105°
5.C
6．(2021·朝阳)将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为()
A．45° B．65° C．75° D．85°
6.C
7．(2021·随州)如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2为()
A．15° B．25° C．35° D．45°
第7题图
第8题图
第9题图
7.A
8．(2021·宁夏)已知直线a∥b，把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝43°，则∠2＝____________．
8.107°
9．(2021·阜新)如图，直线AB∥CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分∠CEF，则∠1的度数为____________．
9.60°
10．(2021·黄冈黄梅县期中)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，则∠α的度数是____________．
第10题图
第11题图
10.15°
11．(2020·咸宁期末)如图，将三角板的直角顶点落在直尺的一边上，若∠1＝34°，则∠2的度数为____________．
11.56°
考点3 翻折问题
12．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝35°，则∠2的度数为()
A．70° B．75° C．80° D．85°
第12题图
第13题图
第14题图
12．A
13．如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C，D的对应点分别为点C′，D′.若∠DEF＝α，用含α的式子可以将∠C′FG表示为()
A．2α B．90°＋α C．180°－α D．180°－2α
13.D
考点4 拐点问题
14．(2021·台州)一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝()
A．40° B．43° C．45° D．47°
14.B
15．如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2－∠1的度数是()
A．50° B．60° C．70° D．110°
第15题图
第16题图
第17题图
第18题图
15.C
16．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是()
A．α＋β＋γ＝180° B．α－β＋γ＝180° C．α＋β－γ＝180° D．α＋β＋γ＝360°
16．C
【解析】如图，延长AE交直线CD于点F，
∵AB∥CD，∴∠α＋∠AFD＝180°.∵∠AFD＝∠β－∠γ，∴∠α＋∠β－∠γ＝180°.故选C.
17．(2021·孝感汉川市期中)如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠BAC＝30°，则∠ACD的度数是____________．
17．120°
18．(2021·孝感安陆市期末)如图，工程队铺设一公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设，若∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数是____________．
18.80°
19．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．
19．解：如图，过点P作射线PN∥AB，∵AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°.∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.又∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°，∴∠1＝30°.
考点5 数学思想方法(转化思想、方程思想、分类讨论思想)
20．(2021·孝感安陆市期末)如图所示，一块正方形地板，边长为60 cm，上面横、竖各有两道宽为5 cm的花纹(图中阴影部分)，则空白部分的面积是____________ cm2.
第20题图
第22题图
20．2 500
【解析】(60－2×5)2＝50×50＝2 500(平方厘米)，∴空白部分的面积是2 500平方厘米．故答案为2 500.
21．(2021·黄冈蕲春县期中)己知∠A与∠B的两边分别平行，且∠A－2∠B＝30°，则∠A的度数为____________．
21．解： ∵∠A和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.∵∠A－2∠B＝30°，即∠A＝2∠B－30°，当时，∴当时，∴综上，∠A＝30°或110° .故答案为30°或110°.
22．(2021·黄冈黄梅县期末)如图，已知直线a∥b，c∥d，若∠1，∠2是图中角的两边分别平行的一对角，且∠1的度数为(2x－3)°，∠2的度数为(3x－17)°，则x值为____________．
22．14或40
【解析】 因为∠1，∠2是图中角的两边分别平行的一对角，所以∠1与∠2相等或互补，如图所示：
所以(2x－3)°＝(3x－17)°或(2x－3)°＋(3x－17)°＝180°，解得x＝14或40.故答案为14或40.
23．(2021·武汉期中)如图，直线AB，CD相交于O点，∠AOC与∠AOD的度数比为4∶5，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数．
23．解：设∠AOC＝4x，则∠AOD＝5x.∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴4x＋5x＝180°，解得x＝20°.∴∠AOC＝4x＝80°.∴∠BOD＝∠AOC＝80°.∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝10°，又∵OF平分∠DOB，∴∠DOF＝∠BOD＝40°.∴∠EOF＝∠EOD＋∠DOF＝10°＋40°＝50°.
24．(2021·武汉武昌区期中)如图，直线MD，CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°.
(1)若∠BOD＝∠COD，求∠BON的度数；
24．解：(1)∵∠MON＝70°.∴∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD＝∠COD＝×70°＝35°.∴∠BON＝180°－∠MON－∠BOD＝180°－70°－35°＝75°.
(2)若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．
(2)设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°.∵∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD＝∠BOC－∠COD＝3x°－70°.∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝x°＋70°.∵∠AOD＝2∠BOD，∴x＋70＝2(3x－70)，解得x＝42.∴∠BOD＝3x°－70°＝3×42°－70°＝56°.∴∠BON＝180°－∠MON－∠DOB＝180°－70°－56°＝54°.
25．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE.
(1)求∠BOD的度数；
25．解：(1)∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，∴∠AOC＝30°.又∵∠AOB＝90°，∴∠BOD＝180°－30°－90°＝60°.
(2)将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒(0≤t≤40).
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
(2)①分两种情况：Ⅰ.当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，
即9t＋30－3t＝45，解得t＝2.5；Ⅱ.当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°，
即9t－150－3t＝45，解得t＝32.5.综上所述，当t＝2.5或32.5时，直线EF平分∠AOB.②t的值为12或36.分两种情况：Ⅰ.当OE平分∠BOD时，∠BOE＝∠BOD，
即9t－60－3t＝(60－3t)，解得t＝12；Ⅱ.当OF平分∠BOD时，∠DOF＝∠BOD，
即9t－300＝(3t－60)，解得t＝36.综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12或考点6 平行线性质与判定的综合
26．(2021·黄冈蕲春县期中)如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，∠4＝40°，求∠ACB的度数．
26．解：∵∠1＋∠2＝180°，∠AEC＋∠2＝180°，∴∠1＝∠AEC.∴AB∥DF.∴∠AEF＝∠3.∵∠3＝∠B，∴∠AEF＝∠B.∴EF∥BC.∴∠ACB＝∠4＝40°.
27．(2021·孝感安陆市期中)如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，CF平分∠DCE.
(1)试判断直线AC与BD有怎样的位置关系？并说明理由；
27．解：(1)AC∥BD.理由如下：∵AB∥CD，∴∠2＝∠CDF.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠CDF.∴AE∥BF.
(2)若∠1＝80°，求∠3的度数．
(2)∵∠1＝80°，∴∠ECD＝180°－∠1＝180°－80°＝100°.∵CF平分∠ECD，∴∠ECF＝∠ECD＝50°.∵AC∥BD，∴∠3＝∠ECF＝50°.
28．已知：△ABC和同一平面内的点D.
(1)如图1，点D在BC边上，过点D作DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F.
①依题意，在图1中补全图形；
②判断∠EDF与∠A的数量关系，并直接写出结论(不需证明)；
28．解：(1)①补全图形如图1.②∠EDF＝点∠A.
(2)如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A.判断DE与BA的位置关系，并证明；
(2)DE∥BA.证明：如图2，延长BA交DF于点G.
∵DF∥CA，∴∠2＝∠3.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.∴DE∥BA. 图2
(3)如图3，点D是△ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于点E，DF∥CA交直线AB于点F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系(不需证明).
图3
(3)如图3、图4，∠EDF＝∠BAC或∠EDF＋∠BAC＝180°.
29．(2021·黄冈黄梅县期中)“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2∶1.
(1)填空：∠BAN＝____________；
29．解：(1)60°
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯光束互相平行？
(2)当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行．
(3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
图1
图2
(3)不发生变化，∠BAC＝2∠BCD，理由如下：设灯A射线转动时间为t秒．∵∠CAN＝180°－2t，∴∠BAC＝60°－(180°－2t)＝2t－120°.又∵∠ABC＝120°－t，∴∠BCA＝180°－∠ABC－∠BAC＝180°－t.而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°－∠BCA＝120°－(180°－t)＝t－60°.∴∠BAC∶∠BCD＝2∶1，即∠BAC＝2∠BCD.
30．(2020·孝感汉川市期末)已知：在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴负半轴、y轴正半轴交于点B(b，0)，A(0，a)，且a，b满足－4a－b＋3＋|a－3|＝0.
(1)求三角形AOB的面积；
30．解：∵＋|a－3|＝0，∴－4a－b＋3＝0，a－3＝0.∴a＝3，b＝－9.∴A(0，3)，B(－9，0).∴OA＝3，OB＝9.∴S三角形AOB＝OA·OB＝×3×9＝.
(2)如图，点P、点T分别是线段OA、x轴正半轴上的动点，过T作TE∥AB，连接TP.若∠ABO＝n°，请探究∠APT与∠PTE之间的数量关系？(用含n的式子表示)
(2)∠APT＋∠PTE＝270°－n°.理由如下：如图1中，延长TP交AB于点H.
∵AB∥ET，∴∠ABT＝∠ETx＝n°.∵∠APT＝∠AHP＋∠HAP，∠AHP＝∠ABO＋∠BTH，∠BAO＝90°－n°，∠HTB＝180°－∠PTE－n°，∴∠APT＝90°＋180°－∠PTE－n°，∴∠APT＋∠PTE＝270°－n°.
(3)若点D是线段AB上不与A，B两点重合的点，当S△AOD＝S△BOD，求三角形BOD的面积．
(3)如图2.
∵点D是线段AB上不与A，B两点重合的点，S三角形AOD＝S三角形BOD，∴AD＝BD.∴BD＝AB.∴S三角形BOD＝S三角形AOB＝×＝8.1.
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