山西现代双语学校南校 2021-2022 学年度第二学期高二年级期中考试
8．函数 f (x)
x
2x 2 x
的大致图像为（ ）
数 学 试 卷
本试卷共 2 页，２２题，全卷满分１５０分，考试用时１２０分钟
一．选择例：本题共１２小题，每小题５分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知命题 p： x 0， cos x ex，则 p为（ ） A B C D
A． x 0， cos x ex B． x0 0， cos x e
x0 9．下列结论正确的是 （ ）
0
C． x 0，cos x ex D． x0 0 x
1 a
， cos x 00 e ① “ a ”是“对任意的正数 x，均有 x 1”的充分非必要条件．4 x
2．已知集合 A x x 2 2x 3 0 B x Z x 3 0 A B 2 ， ，则 （ ） ②随机变量 服从正态分布 N 2，2 ，则D 2
x 2
③线性回归直线至少经过样本点中的一个．
A． x 2 x 3 B． 1,0,1,2,3 C． 2, 1,1, 2,3 D．R
④若 10 名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，
3．函数 f (x) lg x x 4的零点为 x0， x0 (k, k 1) (k Z)，则 k的值为（ ） 设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有c b a
A．1 B．2 C．3 D．4 A．③④ B．①② C．①③④ D．①④
4．设 a ln 2， 2b 5， c 20.2，则（ ） 10．一种药在病人血液中的量不少于1500mg才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注
射了这种药 2500mg，如果药在血液中以每小时 20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，
A． a b c B．b c a C．c b a D．c a b 那么从现在起经过 （ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附： lg 2 0.3010，
lg3 0.4771
2 ，结果精确到0.1h）
5．某医疗机构通过抽样调查(样本容量 n＝1 000)，利用 2×2列联表和χ 统计量研究患肺病是否
与吸烟有关．计算得χ2＝4.453，经查阅临界值表知 P(χ2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中 A． 2.3小时 B．3.5小时 C． 5.6小时 D．8.8小时
正确的是( )
x 2 1
A．在 100 个吸烟的人中约有 95 个人患肺病 11．已知关于 的不等式 2a 3m x b 3m x 1 0 a 0,b 0 的解集为 ( , 1) ( , )，则2
下列结论错误的是（ ）
B．若某人吸烟，那么他有 95%的可能性患肺病
1 1 2 1 1
C．有 95%的把握认为“患肺病与吸烟有关” A． 2a b 1 B．ab 的最大值为 C． 的最小值为 4 D． 的最小值为
8 a b a b 3 2 2
D．只有 5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
12．设函数 y f (x)的定义域为 D，若对任意的 x1, x2 D，且 x1 x2 2a，恒有 f x1 f x2 2b ，
6．若随机变量 X ~ B n,0.4 ，且 E X 2，则 P X 1 的值是（ ） 则称函数 f (x)具有对称性，其中点 (a ,b)为函数 y f (x)的对称中心，研究函数
f (x) x 1 1 tan(x 1) f 1 f 3 5 40433 0.44 2 0.45 3 0.64 2 0.64
f f
A． B． C． D． 的对称中心，求
x 1 2022 2022 2022 2022
（ ）
7．某高中从 3 名男教师和 2 名女教师中选出 3 名教师，派到 3 个不同的乡村支教，要求这 3 名教
师中男女都有，则不同的选派方案共有（ ）种
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
A．9 B．36 C．54 D．108
高二数学 共 2 页 第 1 页
二．填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。 21．（12 分）数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，
下表为 2017－2021 年中国在线直播用户规模（单位:亿人）,其中 2017 年－2021 年对应的代码依次
13． (1
1
)(1 x)5的展开式中 x4的系数为 ． 为 1－5．
x
年份代码 x 1 2 3 4 5
14. 已知函数 y log x21 ax 3a 在 1, 上为减函数，则实数a的取值范围是 ．
3 市场规模 y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36
2
1５．已知 x a 16 0”的必要不充分条件是“ x≤ 2或 x 3”，则实数 a 的最大值 (1)由上表数据可知，可用函数模型 y b x a 拟合 y与 x的关系，请建立 y关于 x 的回归方程
为 ． （a ，b 的值精确到 0.01）；
log3 x ,0 x 3 (2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为 p，现从中国在线直播购物用户
16．已知函数 f (x) ，若存在实数 x , x , x , x .满足 xsin x ,3 x 15 1 2 3 4 1
6
X 的分布列与期望．
f x1 f x2 f x3 f x4 ，则 x1x2 ， x3 3 x4 3 的取值范围是 . 5
参考数据： y 5.16， v 1.68， vi yi 45.10，其中 vi xi ．
三．解答题：本题共６小题，共７０分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 i 1
A x x 10 参考公式：对于一组数据 v1, y1 ， v2 , y2 ，…， vn , y0 ,B y y lgx ,x A n ，其回归直线
y b v a
17．（10 分）（1）已知集合
的斜率和截距的最
，求 A B；
x 1
n vi yi nvy
i 1
（2）已知集合 A x x 2 x 12 0 ,B x 2m 1 x m 1 A B B m 小二乘估计公式分别为b n ，，且 ，求实数 的取值范围. a y bv． v2 2i nv
i 1
18．（12 分）已知 p : x R 2，m 4x 1 x； q : x [2,8]， t h t
22．（12 分）某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的 500 家食品生产企业进行考核，然后通
（1）若 p为真命题，求实数m的取值范围； 过随机抽样抽取其中的 50 家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如图所示的频率分布直方图．
（2）若 p与q的真假性相同，求实数m的取值范围. －(1)求这 50 家食品生产企业考核成绩的平均数 x (同一组中的
2 数据用该组区间的中点值为代表)及中位数 a(精确到 0.01)；19. （12 分）已知函数 y f (x)是定义在 R上的奇函数，当 x 0时， f (x) x 2x .
(2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这
（1）求函数 f (x)的解析式； 50 家食品生产企业中随机抽取 4家考核成绩不低于 88 分的企
业发言，记抽到的企业中考核成绩在[92,100]的企业数为 X，
（2）若 x 0， f (x) mx 1，求m的取值范围. 求 X 的分布列与数学期望；
20．（12 分）某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这 (3)若该市食品生产企业的考核成绩 X服从正态分布 N(μ，σ
款设备的年固定成本为 200万元，每生产 x台 x N 需要另投入成本 a x （万元），当年产量 x 2 － 2 2 2)，其中μ“近似为 50 家食品生产企业考核成绩的平均数 x，σ 近似为样本方差 s ，经计算得 s
不足 45台时， a x 1 x 2 30x 300 x a x 61x 2500 万元，当年产量 不少于 45台时， 900 万 ＝27.68，利用该正态分布，估计该市 500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于 90.06 分的有多
2 x 1 少家？(结果保留整数)．
元．若每台设备的售价为60万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．
2
y 附参考数据与公式： 27.68≈5.26，X～N(μ，σ )，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，(1)求年利润 （万元）关于年产量 x（台）的函数关系式；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
(2)年产量 x为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
高二数学 共 2 页 第 2 页山西现代双语学校南校２０２１－２０２２学年度下学期高二年级期中考试答案 ④因为平均数为14.7，中位数为 15，众数为 17，所以 c b a，故④正确．
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分， 所以正确的为①④．故选:D．
p x 0 cos x ex0 10．A【详解】设应在病人注射这种药 x小时后再向病人的血液补充这种药，1．D【详解】由否定的定义可知， 为 0 ， 0 .
2 2 则500 2500 1 20%x 2x 3 x 1 2 2 0, x R
x 1500，整理可得：0.2 0.8x 0.6， log0.8 0.6 x logx 2x 3 0 0.8
0.2，
2．B【详解】解不等式 ， ，
log 0.6 lg 0.6 lg 6 1 lg 2 lg 3 1 2.3 log 0.2 lg 0.2 lg 2 10.8 7.2 2.3 x 7.2
x 3 lg 0.8 lg8 1 3lg 2 1
， 0.8 lg 0.8 3lg 2 1 ， ，
解不等式 0 得 2 x 3， B 1,0,1, 2,3 ， A B 1,0,1, 2,3 ；
x 2 即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药.
3．C【详解】 f x lgx x 4是 0, 上的增函数，又 f 3 lg3 1 0，f 4 lg4 0， 211．C【详解】由题意，不等式 2a 3m x b 3m x 1 0的解集为 , 1 1 , ， 2
函数 f x lgx x 4的零点 x0所在区间为 3, 4 ，又 x0 k,k 1 ,k Z， k 3.
可得 2a 3m 0，且方程 2a 3m x2 b 3m x 1 0 1的两根为 1和 2 ，
4．B【详解】因为 a ln2 0,1 ，b log25 log24 2，c 20.2 1,2 ，所以b c a .
1 1 b 3m
5．C【解析】 由已知数据可得，有 1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”． 2 2a 3m
所以 ，所以2a 3m 21 1 ，
b 3m 1，所以 2a b 1，所以 A 正确；
6．D【详解】因为随机变量 X ~ B(n，0.4)，所以 E(X ) 0.4n 2，解得 n 5，所以随机变量 1 2 2a 3m
X ~ B(n 0.4) P(X 1) C 1 1 0.4 4， ，所以 0.415 2 0.64
1
因为 a 0，b 0，所以 2a b 1 2 2ab，可得 ab ，
7．C【详解】从含有 3 名男教师和 2 名女教师的 5 名教师中任选 3名教师，派到 3 个不同的乡村支 8
3 3
教，不同的选派方案有A5种，选出 3名教师全是男教师的不同的选派方案有A3种， 1 1
当且仅当 2a b 时取等号，所以ab的最大值为 ，所以 B 正确；
3 3
所以 3名教师中男女都有的不同的选派方案共有A5 A3 54种 2 8
1 2 1 2 b 4a b 4a
8．B【详解】当 f (x)
x
x x ， f ( x)
x
x x f x ，函数为奇函数，排除 C； 由 ( )(2a b) 4 4 2 4 4 8，2 2 2 2 a b a b a b a b
b 4a 1 1 2
0＜f 2 2 2 1 ，排除 AD； 当且仅当 时，即 2a b 时取等号，所以 的最小值为8，所以 C 错误；
22 2 2 4 2 a b 2 a b
1 1 1 1 1 1 a 由 2a b 3
b 2 a b 2 a
3 2 3 2 ，
9．D【详解】解：①当 时，由基本不等式得
4 x 4 2
1
1；但对任意的正数 x，均有 a b a b a b a b
x 4
a 1 1 a b 2ax 1时， a 不一定成立，所以“ a ”是“对任意的正数 x，均有 x 1”的充分非必要 当且仅当 时，即b 2a时，等号成立，
x 4 4 x a b
条件，故①正确；
1 1
2 所以 的最小值为3 2 2 ，所以 D正确．故选：C．
②因为D 2 4，所以②不正确； a b
③线性回归直线不一定经过样本点中的一个，所以③不正确；
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1
g(t) t 1 tan t g t t tan t g t 1 tan t 2 y log u12．C【详解】令函数 ，则 g t ， １４.【详解】令u x ax 3a，因为外层函数 1 为减函数，t t t 3
2 a
所以函数 g (t)为奇函数，其图象关于原点对称，可得 f (x)
1
x 1 tan(x 1) 2 所以内层函数u x ax 3a在 1, 上为增函数，则 1，得 a 2，的图象关于
x 1 2
(1, 2)点中心对称，即当 x1 x2 2，可得 f x1 f x2 4，
且有umin 1 2a 0，解得 a
1 1
.综上所述， a 2 .
2 2
设M f
1
f
3 f 5 f 4043
2022 2022 2022 2022 1５．【详解】由 (x a)2 16 0，得 x a 4或 x 4 a，
M f 4043 4041 4039
2
f
f f
1 因为 x a 16 0”的必要不充分条件是“ x≤ 2或 x 3”，
2022
，
2022 2022 2022
a 4 2
所以 ，解得 2 a 1，所以实数 a 的最大值为 1
所以 2M
f 1 f 4043 3 4041 4043 1 4 a 3 2022 2022
f f f2022 2022 2022
f
2022
log3 x ,0 x 3
2022 4 8088 １６．作出函数 f (x) 的图象，如图，
sin
x
,3 x 15
1 3 5 4043 6
所以 f f f f 4044 .
2022 2022 2022 2022
二.填空题：本大题共 4 小题；每小题 5 分，共 20 分.
r r
13．由 (1 x)5展开式的通项为T C r 15 r x 1 C r xrr 1 5 5 ，
4
令 r 4，得 (1 x)5展开式中 x4的系数为 1 C 45 5. 因为 f x1 f x2 f x3 f x4 ， x11 (1 x)5 T 1 k 5 k k k k k 1由 展开式的通项为 x x
x k 1
C5 1 x 1 C5 x ，x 所以由图可知， log3 x 3 41 log3 x2 ，即 x1x2 1， 9，且3 x2 3 9，
1 5 5
令 k 5，得 (1 x) 展开式中 x4的系数为 1 C 5 1 . x3 3 x4 3 x3x4 3(x3 x4 ) 9 x3 (18 x3 ) 45 x 23 18x3 455 ，x
1 y x
2
3 18x3 45在 3,9 上单调递增， 0 y 27，
所以 (1 )(1 x)5的展开式中 x4的系数为5 1 4.故答案为：4 .
x
即 x3 3 x4 3 的取值范围是 (0, 27) .故答案为：1； (0, 27)
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三.解答题： 19.（１）解：设 x 0，则 x 0，可得 f ( x) ( x)2 2( x) x2 2x，
x 10 x 10 x 1 0
17.（1） A x 0 ,即 A 1,10 , 又因为函数 y f (x)是定义在 R上的奇函数，所以 f (x) f ( x) x
2 2x ，
x 1 x 1 0
x2 2x, x 0
B y y lg x, x A ,解得： B 0,1 ,所以： A B 0,10 . 且当 x 0时，可得 f (0) 0，适合上式，所以函数 f (x)的解析式为 f (x) .
x
2 2x, x 0
（2） A x x2 x 12 0 {x | 3 x 4}, B x 2m 1 x m 1
（２）解：由 x 0时， f (x) x2 2x，
A B B , B A.①B 时， 2m 1 m 1，解得m 2, 2
又由 f (x) mx 1 2 x 2x 1，即 x 2x mx 1，可得m ，
m 2 x
② B 时， 2m 1 3，解得 1 m 2 , 2
m 1 4 x 2x 1 因为 x 0， f (x) mx 1，即m 在区间 ( ,0)有解，
x
实数 m 的取值范围是 1, .
x2 2x 1 1
又因为 x 2 [( x) 1 ] 2 2 x 1 2 0，
x x x x
2
18.【详解】（1）∵ x R,m 4x 1 x，∴m 0且1 16m2 0， 2
x 1 x 1 x 2x 1当且仅当 时，即 时，等号成立，即 的最大值为 0，
x x
1 1
解得m .所以当 p为真命题时，实数m的取值范围是 , .
4 4 所以m 0，即实数m的取值范围 ( ,0] .
1
x [2,8] m log x 1 0 x [2,8],m 20.(1)当 x 45， x N 时，（2） ， 2 log .2 x
1 1 y 60x 200 a x 60x 200
1 1 x2 30x 300
x
2 30x 100；
x [2,8] 1, m 1 p q 2 2又∵当 时， log x 3 ，∴ .∵ 与 的真假性相同.2
当 x 45， x N 时，
1
当 p假q m 假时，有 4 ，解得m 1； y 60x 200 a x 2500 2500 60x 200 61x 900
x 700；
m 1 x 1 x 1
1 2
m
1
1 x 30x 100, x 45
当 p真q真时，有 4 ，解得m . 24 综上所述： y x N . m 1 x 2500
700,x 45
x 1
p q 1∴当 与 的真假性相同时，可得m 1或m .
4 (2)当 x 45， x N 1 2 时， y x 30x 100，2
则当 x 30时， y的最大值为550；当 x 45， x N 时，
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2500 2500 2500 2500 2２.[解] (1)这 50 家食品生产企业考核成绩的平均数为：y x 700 x 1 701 2 x 1 701 601（当且仅当 x 1 ，
x 1 x 1 x 1 x 1
－
即 x 49时等号成立）； x ＝74×0.04＋78×0.12＋82×0.28＋86×0.36＋90×0.10＋94×0.06＋98×0.04＝84.80(分)，
由频率分布直方图得 a∈[84,88]内，
当年产量为 49台时，该企业在这款净水设备的生产中获利润最大，最大为601万元．
∴0.04＋0.12＋0.28＋0.09×(a－84)＝0.5，解得中位数 a≈84.67(分)．
5 5
２１.(1)解：设 v x，则 y b v a 2 ，因为 y 5.16， v 1.68， vi xi 15， (2)这 50 家食品生产企业中考核成绩不低于 88 分的企业有 50×(0.1＋0.06＋0.04)＝10 家，
i 1 i 1
5 其中考核成绩在[92,100]内的企业有 50×(0.06＋0.04)＝5 家，
vi yi 5v y
b i 1 45.10 5 1.68 5.16 1.756所以 1.98．把 1.68,5.16 代入 5 2 y b v a ，得 ∴X 的可能取值为 0,1,2,3,4，2
v2 5v 15 5 1.68 0.888i
i 1 C54 1 C51C53 5P(X＝0)＝ ＝ ，P(X＝1)＝ ＝ ，
a 5.16 1.98 1.68 1.83．即 y关于 x的回归方程为 y 1.98 x 1.83． C140 42 C140 21
C25C25 10 C35C15 5
(2)解：由题意知 X ~ B 4, p ， P(X＝2)＝ ＝ ，P(X＝3)＝ ＝ ，
C140 21 C140 21
P X 3 C34 p3 1 p 4 p3 1 p ，P X 4 C4 4 44 p p ， C45 1
P(X＝4)＝ ＝ ，∴X的分布列为：
C410 42
4 p3由 1 p p4 4得 p 所以， X 的取值依次为 0，1，2，3，4，
5
X 0 1 2 3 4
4 3
P X 0 C0 1 4 1 ， P X 1 C1 4 1 4 164 4 ， 1 5 10 5 1
5 625 5 5 625 P
42 21 21 21 42
P X 2 C2 4
2 2
1 4 96
3
P X 3 C3 4 1 4 256 4 ， 5 5 625 4
， 1 5 10 5 1
5 5 625 E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝2.42 21 21 21 42
4
P X 4 C4 4 256 (3)由题意得 X～N(84.80,27.68)，∴μ＋σ≈84.80＋ 27.68＝90.06，4 ，所以 X 的分布列为
5 625
1 0.682 7
∴P(X＞μ＋σ)≈ － ≈0.158 7，∴500×0.158 7≈79(家)，
X 0 1 2 3 4 2 2
∴估计该市 500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于 90.06 分的有 79 家．
1 16 96 256 256
P
625 625 625 625 625
E X 4 4 16
5 5
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