课件72张PPT。第3课时 空间点、直线、平面之间的位置关系重点难点
重点：①平面的概念与基本性质．②空间直线、平面之间的各种位置关系．
难点：①应用平面基本性质证明点共线、线共点、点线共面等．②应用公理4及等角定理解决有关问题．③异面直线的判定、异面直线所成的角．基础梳理
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的_______在
一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过_______________的三点,有且只有一个平面．两点不在一条直线上推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们________________过该点的公共直线．
2．空间点、线、面之间的位置关系有且只有一条a∥ba∥αα∥β锐角(或直角)思考探究
1．如果两条直线没有任何公共点，则两条直线为异面直线，此说法正确吗？
提示：不正确．如果两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面．(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线________________
4．定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角________________互相平行．相等或互补．思考探究
2．本定理中，这两个角何时相等，何时互补？
提示：当这两个角的两边方向相同或方向相反时相等，否则互补．课前热身
1．(教材改编题)如图
是一个正方体的展开
图，如果将它还原为
正方体，那么下列结论不正确的是
( )A．HG与EF异面
B．HG与CD异面
C．CD∥EF
D．HG与EF所成的角为60°
答案：B2．平面α∩β＝l，直线m?α，直线n?β，则m、n的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．无法确定
答案：D3．已知A、B、C表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?α
D．A∈α，A∈l，l?α?l∩α＝A
答案：C4．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________．
答案：4,6,7,8
5．三条直线两两相交，可以确定__________个平面．
答案：1或3考点1 点共线问题
证明共线问题：(1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——两相交平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点． 正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BC1D交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M共线．平面BC1D∩直线A1C＝O?O∈平面BC1D
?O在平面A1C与平面BC1D的交线上，
AC∩BD＝M?M∈平面BC1D.
又M∈平面A1C，所以平面BC1D∩平面A1C＝C1M，
所以O∈C1M，即O、C1、M三点共线．
互动探究
1．在本例中，若E、F分别为D1C1、B1C1的中点，A1C1∩EF＝Q，AC∩BD＝P，A1C∩面EFBD＝R，试探究P、Q、R三点是否共线．解：在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α,又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α，又Q∈EF，所以Q∈β.
则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点．
所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈β，
则R∈PQ，故P、Q、R三点共线．考点2 线共点问题
证明共点问题一般是证明三条直线交于一点．首先证明其中的两条直线相交于一点，然后再说明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线，由公理3可知两个平面的公共点必在两个平面的交线上，即三条直线交于一点．【思路分析】 先证E、F、G、H四点共面，再证EF、GH交于一点，然后证明这一点在AC上．
∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面ADC，
∴P在平面ABC和平面ADC的交线上．
又∵面ABC∩面ADC＝AC，
∴P∈直线AC.故EF、GH、AC三直线交于一点．【思维总结】 证明线共点的方法一般是先证两条直线相交于一点，然后再证明这一点在第三条直线上，而证明后者，往往是利用这点在两个平面的交线上．∴EF∥HG，且EF>HG.
所以四边形EFGH为梯形，设EH与FG交于点P，
则P∈平面ABD，P∈平面BCD，
所以P在两平面的交线BD上，
所以EH、FG、BD三线共点．考点3 点、线共面问题
证明若干条线(或若干个点)共面，一般来说有两种途径：一是首先由题目条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内；二是将所有元素分为几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合．本类题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义． 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AA1、CC1的中点，求证：D1、E、F、B共面．【思路分析】 连结D1E、D1F→D1E与DA相交，D1F与DC相交→证明两交点与B共线．
【证明】 ∵D1、E、F三点不共线，
∴D1、E、F三点确定一平面α，又由题意可知D1E与DA共面于平面A1D且不平行，故分别延长D1E、DA相交于G，则G∈直线D1E?平面α，∴G∈α.
同理，设直线D1F与DC的延长线交于点H,则H∈平面α.又∵点G、B、H均属于平面AC，且由题设条件知E为AA1的中点且AE∥DD1，从而AG＝AD＝AB，
∴△AGB为等腰直角三角形，∴∠ABG＝45°，
同理∠CBH＝45°，
又∵∠ABC＝90°，从而点B∈α，
∴D1、E、F、B共面．【名师点评】 题中是先说明D1、E、F确定一平面，再说明B在所确定的平面内，也可证明D1E∥BF，从而说明四点共面．考点4 异面直线
判定两条直线是否异面，可依据定义来进行，还可依据定理(过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线)进行．反证法是证明两直线异面的有效方法．求异面直线所成的角的一般步骤是：一作，二证，三计算；作出异面直线所成的角的方法是“平移法”，常常使用特殊位置的点，如利用线段的中点或线段的端点等进行平移，利用图中已有的平行线进行平移，利用补形的方法进行平移等，通常将角放在某个三角形中． 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由；
(3)求A1C1与B1C所成角的大小．【思路分析】 (1)可证得MN∥AC，故AM、CN共面；
(2)利用反证法或定理法；
(3)利用A1C1∥AC.
【解】 (1)不是异面直线．理由：
连接MN、AC.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，
∴MN∥A1C1.
又∵A1A C1C，∴A1ACC1为平行四边形．
∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，
∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．
(2)是异面直线．证明如下：
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α,
∴D1、B、C、C1∈α，
∴与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾．
∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线．(3)如图，连接AB1，
由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°.
【方法指导】 若从正面入手证明两条直线异面比较困难时，可考虑用反证法．
方法技巧
1．主要题型的解题方法
(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2．判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3．求两条异面直线所成角的大小的方法一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点．总之，顶点的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下：
(1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；
(2)证明作出的角即为所求角；
(3)利用三角形来求解．失误防范
1．异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，而不是分别在两个平面内，一定要理解定义．
2．求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成角的范围是(0°，90°]．3．等角定理是求空间中两条直线所成角的基础，运用定理时，应注意“这两个角相等或互补”，只有在“方向相同或相反”时才相等.
4．同一平面内两条直线不平行则必相交，但在空间中则不然，平面几何中的一些结论在空间中未必成立．命题预测
从近几年的广东高考试题来看，异面直线所成的角、异面直线的判定是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档．客观题主要考查异面直线所成角的概念及求法，考查平移直线法；主观题主要考查立体几何的有关知识、异面直线的判定等，同时还考查了学生的空间想象能力和运算能力．预测2013年广东高考仍将以求异面直线的位置关系判定为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力和运算能力．规范解答
(本题满分12分)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【解】 (1)取CD的中点G，连结MG，NG.
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，2分
(2)证明：连结NE，假设直线ME与BN共面，
则AB?平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.7分
由已知，两正方形不共面，故AB?平面DCEF.
又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB∥EN.10分
又AB∥CD∥EF，
所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．
所以ME与BN不共面，它们是异面直线.12分【名师点评】 (1)不会利用平面ABCD⊥平面DCEF创建线线垂直，将所求MN放置于可解的直角三角形内．
(2)否定结论后，不会利用假设与线面平行的性质导出AB∥EN，从而找不到矛盾所在．反证法证题的关键在于充分利用假设与条件推出矛盾，从而肯定结论正确．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．以下几个命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.①正确；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得四边形的四条边可以不在一个平面上．
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.有2条：A1B和A1C1，故选B.
3．(2012·深圳调研)已知E、F、G、H是空间内四个点，条件甲：E、F、G、H四点不共面，条件乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.点E、F、G、H四点不共面可以推出直线EF和GH不相交；但由直线EF和GH不相交不一定能推出E、F、G、H四点不共面，例如：EF和GH平行，这也是直线EF和GH不相交的一种情况，但E、F、G、H四点共面．故甲是乙成立的充分不必要条件．
4．室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．垂直
答案：D
5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．
答案：1或4
6．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；
②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．
以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)．
解析：对于①可举反例，如AB∥CD，A、B、C、D没有三点共线，但A、B、C、D共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.
答案：②
7.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点，请回答下列问题：
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？
(2)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？
(3)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？
解：(1)E、F、G、H为所在边的中点时，四边形EFGH为平行四边形．证明如下：
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH∥BD，且EH＝BD.
同理，FG∥BD，且FG＝BD，
从而EH∥FG，且EH＝FG，
所以四边形EFGH为平行四边形．(本题答案不唯一，只要保证平面EFGH与AC、BD都平行，则EFGH就为平行四边形．)
(2)当E、F、G、H为所在边的中点且BD⊥AC时，四边形EFGH为矩形．
(3)当E、F、G、H为所在边的中点且BD⊥AC，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．
1．正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是AA1，CC1的中点，P是CC1上的动点(包括端点)，过点E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是( )
A．线段C1F B．线段CF
C．线段CF和一点C1 D．线段C1F和一点C
解析：选C.如图，
DE∥平面BB1C1C，
∴平面DEP与平面BB1C1C的交线PM∥ED，连结EM，
易证MP＝ED，
∴MP綊ED，则M到达B1时仍可构成四边形，即P到F.而P在C1F之间，不满足要求．P到点C1仍可构成四边形．
2．三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的点，则四棱锥P－ACC1A1的体积为( )
A. B.
C．2 D．1
解析：选A.∵B1B∥AA1，
∴B1B∥平面ACC1A1，
∴无论P在B1B上何处，四棱锥
P－ACC1A1的体积不变，故取P为B1，
3．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是__________．
解析：如图①所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC＝0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC＝，如图②，故AC的取值范围是0
答案：(0，)
4．给出如下四个命题：①有三个角是直角的四边形一定是矩形；②不共面的四点可以确定四个平面；③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线；④若点A、B、C∈平面M，且点A、B、C∈平面N，则平面M与平面N重合．其中真命题的序号是________．
解析：如图(1)，平面α内∠ABC为直角，P?α，过P作PD⊥AB，PE⊥BC，则四边形PDBE有三个直角，故①假；在图(2)的平面α内，四边形ABCD中任意三点不共线，知③假；图(3)中，M∩N＝l，A、B、C都在l上，知④假，只有②真．
答案：②
5.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH綊AD.
又BC綊AD，故GH綊BC.
所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：
由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，
所以EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，
故EC、FH共面．
又点D在直线FH上，
所以C、D、F、E四点共面．
6．如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥平面BCE；
(2)求证：AE∥平面BFD.
证明：(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，
则AE⊥BC，
又∵BF⊥平面ACE，
则AE⊥BF，
∵BC?平面BCE，BF?平面BCE，BC∩BF＝B，
∴AE⊥平面BCE.
(2)依题意可知：G是AC中点，
∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，
而BC＝BE，
∴F是EC中点，
在△AEC中，FG∥AE，
又AE?平面BFD，FG?平面BFD，
∴AE∥平面BFD.
1．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
答案：D
2．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
答案：C
3．已知m、n为异面直线，m?平面α，n?平面β，α∩β＝l，则l( )
A．与m、n都相交
B．与m、n中至少一条相交
C．与m、n都不相交
D．与m、n中的一条直线相交
解析：选B.若m、n都不与l相交， ∵m?α，n?β，∴m∥l，n∥l, ∴m∥n∥l，这与m、n为异面直线矛盾， 故l与m、n中至少一条相交.
4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )
A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
解析：选B.如图，m是α的斜线，PA⊥α，l?α，l⊥AB，则l⊥m，α内所有与l平行的直线都垂直于m，故A错；
假设有两个平面都与α垂直，则这两个平面的交线m应与α垂直，与条件矛盾，即可知过m有且仅有一个平面PAB与α垂直，
∴B正确；
又l′?α，l′∥l，∴l′∥α，∵l⊥m，
∴l′⊥m，∴C错；
又在平面α内取不在直线AB上的一点D，
过D可作平面β与平面PAB平行，∴m∥β，∵平面PAB⊥α，
∴平面β⊥α. ∴D错．
5．在下列命题中，正确命题的个数是________．
①若直线a平行于平面α，直线b?α，则a∥b；
②如果点P是直线a上的动点，且点P∈平面α，那么a?α；
③一条直线和一个平面内的无数条直线都是异面，则这条直线和这个平面平行；
④过平面α外一点可作无数条直线和α平行．
答案：2
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1所成的角为__________．
答案：45°
