课件44张PPT。第6课时 空间直角坐标系重点难点
重点：①掌握空间直角坐标系．②空间两点间的距离公式．
难点：空间直角坐标系理解及对称关系．基础梳理
1．空间直角坐标系及有关概念
(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐标系O－xyz，其中点O叫做____________坐标原点．x轴，y轴，z轴统称___________由坐标轴确定的平面叫做_____________
坐标轴．坐标平面．思考探究
空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？
提示：八部分． (2)右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向时，中指一定指向z轴的_________
(3)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的________，y叫做点M的_______，z叫做点M的_________正方向．横坐标纵坐标竖坐标．课前热身
1．(教材改编题)已知点A(1,2,3)，则A关于平面xOy对称点的坐标为( )
A．(1，－2,3) B．(1,2，－3)
C．(－1,2,3) D．(－1，－2,3)
答案：B2．已知点A(－3,0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于( )
A．12 B．9
C．25 D．10
答案：D3．(教材改编题)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以A为原点，以射线AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则正方形A1B1C1D1的中心的坐标为________．4．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________．
答案：(5,13，－3)5．已知△ABC的三个顶点分别为A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为________．考点1 空间中点的坐标
设M是空间一点，过M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，分别交x轴、y轴、z轴于P、Q、R.设点P、Q、R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，则得点M坐标为(x，y，z)．反之，任意三个实数的有序数组(x，y，z)，在空间可以确定一个点与之对应． 设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当的坐标系，求点S、P1、P2、P3和P4的空间坐标．【解】 以正四棱锥S－
P1P2P3P4的高为z轴，以
平行于底面相邻两边的
直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系如图所示，其中原点O为底面正方形的中心，【思维总结】 正四棱锥因为底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心,故建立空间直角坐标系时，往往以底面中心为坐标原点，高所在直线为z轴,x轴、y轴分别平行于底边．考点2 空间两点间的距离
距离是几何中需要度量的基本量，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题．主要有以下几个问题：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值． 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.【解】 如图，以A为原点，AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，互动探究
在例2中其他条件不变，求点M到正方形A1ACC1的中心P的距离．考点3 空间点的对称问题
求某点关于某轴的对称点时，“关于谁对称谁不变”．如(a，b，c)关于x轴的对称点为(a，－b，－c)；求某点关于某坐标平面的对称点时，“缺哪个哪个变”；求某点关于原点的对称点时，“都变”． 求点A(1,2，－1)关于x轴及坐标平面xOy的对称点B、C的坐标，以及B、C两点间的距离．【解】 如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使CM＝AM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1) .【思维总结】 (1)关于原点对称，三个坐标变为原坐标的相反数；
(2)关于哪条轴对称，对应坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数．如M(1,3，－2)关于x轴的对称点坐标为M′(1，－3,2)；(3)关于坐标平面的对称点，由x，y，z，O中的三个字母表示的坐标平面，缺少哪个字母该字母对应坐标变为原来的相反数，其他不变．如N(1,3，－2)关于坐标平面xOz的对称点N′(1，－3，－2)．方法技巧失误防范
1．求空间中点的坐标时，一定要分清坐标轴，否则点的坐标易求错．
2．建立坐标系时，应用题目中已有中心、垂直关系，尽量使更多的点位于坐标轴上，且尽量使其关于原点对称．
3．在求坐标过程中，注意不要只注意线段长度而忽视符号问题．命题预测
从近几年的广东高考试题来看，空间中点的对称问题、两点间的距离公式偶尔也会在高考试题中出现，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中、低档，主要考查基础知识．预测2013年广东高考可能会考查空间中点的对称问题及两点间的距离公式,重点考查学生的空间想象能力及运算能力．规范解答 (本题满分12分)如图，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连结AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图．其中实点·代表钠原子，黑点代表氯原子．建立空间直角坐标系O－xyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( )
A．(，，1) B．(0,0,1)
C．(1，，1) D．(1，，)
答案：A
2．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为( )
A．垂直于xOz平面的一条直线
B．平行于xOz平面的一条直线
C．垂直于y轴的一个平面
D．平行于y轴的一个平面
解析：选A.y变化时，点P的横坐标为1，竖坐标为2保持不变，点P在xOz平面上射影为P′(1,0,2)，∴P点的集合为直线PP′，它垂直于xOz平面．故选A.
3．已知正方体的不在同一个表面上的两个顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的棱长a等于( )
A．4 B．2
C. D．2
解析：选A.由于A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)是不在同一个表面上的两个顶点，所以它们是体对角线的两个端点，故体对角线长度等于|AB|＝＝4，若设正方体的棱长为a，则有a＝4，故a＝4.
4．在坐标平面xOy上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)距离相等的点有( )
A．1个 B．2个
C．不存在 D．无数个
解析：选D.在坐标平面xOy内设点P(x，y,0)，
依题意得
＝，整理得y＝－， x∈R，所以符合条件的点有无数个．
5．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)则AC边上的高BD等于________．
解析：设＝λ，D(x，y，z)，
则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，
∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.
∴＝(－4,4λ＋5，－3λ)，∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，
∴λ＝－，∴＝(－4，，)，
∴|B|＝ ＝5.
答案：5
6．点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|＝________.
解析：∵P1(－1,2，－3)，P2(1，－2,3)．
∴|P1P2|＝＝2.
答案：2
7．已知x，y，z满足(x－3)2＋(y－4)2＋z2＝2，求x2＋y2＋z2的最小值．
解：由已知得点P(x，y，z)在以M(3,4,0)为球心，为半径的球面上，x2＋y2＋z2表示原点O与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O与M之间时，|OP|最小，此时|OP|＝|OM|－＝－＝5－.
∴|OP|2＝27－10.
1．已知点P(1,2,3)，点Q在z轴上，则使|PQ|最小的点Q的坐标为( )
A．(0,0,1) B．(0,1,0)
C．(0,0,2) D．(0,0,3)
答案：D
2．若A、B两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是( )
A．[0,5] B．[1,5]
C．(1,5) D．[1,25]
解析：选B.
|AB|＝
＝
＝∈[1,5]．
∴|AB|∈[1,5]．
3．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则点M′关于原点对称的点的坐标是________．
答案：(2,0,3)
4．已知三角形的三个顶点为A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则BC边上的中线长为________．
解析：设BC的中点为D，则D(，，)，
即D(4,1，－2)．
∴BC边上的中线长为|AD|，
|AD|＝＝2.
答案：2
5．在空间直角坐标系中，在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为.
解：设点P(x,0,0)，由题意，
得|P0P|＝＝，
解得x＝9或x＝－1.
所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
6．在空间直角坐标系中，在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
解：由已知，可设M(x,1－x,0)，
则|MN|＝
＝.
所以，当x＝1时，|MN|min＝，
此时点M的坐标为(1,0,0)．
1．点M(2，－3,1)关于坐标原点的对称点是( )
A．(－2,3，－1) B．(－2，－3，－1)
C．(2，－3，－1) D．(－2,3,1)
答案：A
2．在空间直角坐标系中，若点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|的长度为( )
A．2 B.
C. D.
答案：C
3．已知A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值为( )
A．3 B．3
C．2 D．2
答案：B
4．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
答案：(0,0,3)
5．空间点P(x，y，z)到原点和点(4,2,1)的距离相等，则x，y，z满足的条件是________．
解析：由题意知：＝，
两边平方化简得：8x＋4y＋2z－21＝0.
答案：8x＋4y＋2z－21＝0
