课件65张PPT。第二章 基本初等函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示重点难点
重点:①映射与函数的概念.②函数的
定义域、值域及求法． ③分段函数．
难点：复合函数及分段函数应用．基础梳理
1．函数与映射的概念数集集合任意数x唯一确定任意f：A→B(1)理解函数概念还必须注意以下几点:
①函数是一种特殊的映射，集合A、B都是非空的数的集合．
②确定函数的映射是从定义域A到B(值域C?B)上的映射，允许A中的不同元素在B中有相同的象，但不允许B中的不同元素在A中有相同的原象，A中任意元素在B中都要有象，但B中元素可以在A中无原象，C中元素在A中不能没有原象．
③若两个函数的定义域相同、对应关系完全一致，就称这两个函数相等．
④函数的定义域是自变量x的取值范围,是函数的一个重要组成部分．同一个对应关系，由于定义域不相同，函数的图象与性质一般也不相同．
⑤函数的图象可以是一条或几条平滑的曲线．
⑥对于以x为自变量的函数,f(a)的含
义与f(x)的含义不同.f(a)表示自变量
x＝a时所得的函数值,它是一个常量；f(x)是x的函数，通常它是一个变量
(2)函数的三要素：定义域、值域和
对应关系．
思考探究
映射与函数有什么区别？
提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，2．函数的表示法
函数的表示法:解析法、图象法、列表法．
(1)解析法:如果在函数y＝f(x)(x∈A)中f(x)是用_________的代数式来表达的,则这种表示函数的方法叫做解析法．自变量x(2)图象法：对于函数y＝f(x)(x∈A)，定义域内每一个x的值都有唯一的y值与它对应，把这两个对应的数构成的有序实数对(x，y)作为点P的坐标，记作P(x，y)，则所有这些点的集合构成(3)列表法：用列出_________与对应的___________的表格来表达两个变量间的对应关系的方法叫做列表法．
自变量x函数值y一个曲线，把这种用__________表示
函数的方法叫做图象法．
点的集合3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是________函数．
对应关系一个课前热身
1．设A＝{1,2,3,4,5}，
B＝{1,3,7,15,31,33}，下列的对应法
则f能构成从A到B的映射的是( )
A．f：x→x2＋x＋1
B．f：x→x＋(x－1)2
C．f：x→2x－1－1
D．f：x→2x－1
答案：D2.函数f(x)＝lg(x－1)的定义域是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选B.由x－1＞0，得x＞1，
所以函数的定义域为(1，＋∞)．3．已知函数f(x)＝ 若f(a)=2, 则实数a=__________.
答案：－1
4．已知f( )＝x2＋5x，则f(x)＝________.
答案： (x≠0)
考点1 函数的有关概念
由函数的定义可知，对于定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值与之对应．可依此判断在某种对应关系f的作用下，从非空数集A到非空数集B的对应是否是函数． 下列对应关系是集合P上的函数的是________．
(1)P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；(2)P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；
(3)P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素相对应．
【思路分析】利用函数的定义来判断
【解析】 由于(1)中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，并且(3)中集合P不是数集，从而知只有(2)正确
【答案】 (2)
【解题技巧】
函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．考点2 求函数的解析式
求函数表达式的主要方法有：待定系数法、换元法、消元法等，如果已知函数解析式的类型,可用待定系数法;已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意“元”的范围；当已知表达式比较简单时，也可以用配方法；若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组，消元的方法求出解析式 (2012·清远调研)(1)已知f(x)是
一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)
＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(2)已知f ( ＋1)＝x＋2 ，求
f(x)的解析式．【思路分析】
(1)设出一次函数→利用方程恒等建立待定字母的关系式→写出f(x)的解析式
(2)设t＝ ＋1→用t表示x→确定f(x)的定义域→写出f(x)的解析式．【解】 (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．
∴f(x)＝2x＋7.
(2)法一：设t＝ ＋1，
则x＝(t－1)2(t≥1)．
代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝
t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：∵x＋2 ＝( )2＋2 ＋1－1＝( ＋1)2－1，
∴f( ＋1)＝( ＋1)2－1( ＋1≥1)
即f(x)＝x2－1(x≥1)．【名师点评】
题(1)的求解是利用待定系数法,待定系数法的关键是设出某种类型的函数,列出方程组求待定系数；
题(2)的求解是利用换元法，做题时易忽略x的范围．互动探究
例2(1)中f(x)变为二次函数，且满足f(0)＝0，f(x＋1)－f(x)＝x＋1，求f(x).
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.
又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1,
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，考点3 函数的三种表示方法
(1)用解析式表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易根据自变量的值求出对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质．(2)用图象法表示函数关系的优点是:能直观形象地表示出函数值的变化情况
(3)用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值．
已知某人在2012年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y(元)与月份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则．
【思路分析】 月份为自变量，月工资为函数值．
【解】 列表：图象：解析式：y＝1000·2x－(x∈{1,2,3,4,5,6})
其中定义域为{1,2,3,4,5,6}，值域为{1000,2000,4000,8000,16000,32000}．
对应法则f：x→y＝1000·2x－1.
【规律小结】
列表法、图象法和解析式法是表示函数的三种方法，其实质是一样的，只是形式上的区别，列表和图象更加直观，解析式更适合计算和应用.在对待不同题目时,选择不同的表示方法，因为有的函数根本写不出其解析式
考点4 分段函数及实际应用
分段函数是一个函数而不是几个函数.处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．
甲、乙两地相距150千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时50千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了1小时，然后以每小时60千米的速度返回甲地．从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米，试写出y与x的函数关系式．
【思路分析】
根据已知条件列出等式,这个含有x、y的方程就是所求的函数,这是一个分段函数,要注意距离与时间的变化关系．【解】 由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地用了2.5小时．
(1)当货车从甲地前往乙地时，
由题意，可知y＝50x(0≤x≤3)；
(2)当货车卸货时，y＝150(3(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的
定义域(一般情况下，都要受实际问题的约束)．(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义．
方法技巧
1．若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同，则两个函数为同一函数л
2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数的方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量,写出函数的解析式并明确定义域,还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法，针对近几年的高考，分段函数问题要引起足够的重视．
失误防范
1．判断对应是否为映射,即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”.但要注意：(1)A中不同元素可有相同的象,即允许多对一,但不允许一对多;(2)B中元素可无原象，即B中元素可有剩余．2．建立实际问题的函数式，首先要选定变量，而后寻找等量关系，求函数解析式，但要根据实际问题确定定义域．
命题预测
通过对近几年广东高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．主要考查函数的概念、解析式及分段函数等，试题难度较大．预测2013年广东高考仍将对函数的三种表示方法及分段函数作为考查重点 ,体现数形结合与分类讨论思想．
典例透析
(2011·高考福建卷)
已知函数f(x)＝
若f(a)＋f(1)＝0р则实数a的值等于( )A．－3 B．－1
C．1 D．3
【解析】 由题意知f(1)＝21＝2.
∵f(a)＋f(1)＝0，
∴f(a)＋2＝0.①当a>0时，
f(a)＝2a,2a＋2＝0无解；
②当a≤0时，f(a)＝a＋1，
∴a＋1＋2＝0，∴a＝－3.
【答案】 A【名师点评】
本题求解关键是看a＞0还是a≤0，
故利用分类讨论法．其实本题由于
f(1)＞0，所以必有f(a)＜0，从而
a＋1＋2＝0.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．定义运算a?b＝，则函数f(x)＝1?2x的图象是( )
解析：选A.x≥0时，2x≥1，x＜0时，2x＜1，∴f(x)＝，故选A.
2．下列各组函数中表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x2与g(x)＝()4
B．f(x)＝|x|与g(x)＝
C．f(x)＝lnex与g(x)＝elnx
D．f(x)＝与g(t)＝t＋1(t≠1)
解析：选D.由函数的三要素中的定义域和对应关系进行一一判断，知D正确．
3．(2012·深圳调研)在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库．一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是( )
A．450元 B．500元
C．550元 D．600元
解析：选B.把全部物资集中存放在五号仓库；所需费用为：
0．5(30×20＋40×10)＝500，故选B.
4.
函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为( )
A．y＝－|x|－1
B．y＝|x－1|
C．y＝－|x|＋1
D．y＝|x＋1|
解析：选C.对照函数图象，分别把x＝0代入解析式排除A，把x＝－1代入解析式排除B，把x＝1代入解析式排除D，故选C.
5．已知f(x－)＝x2＋，则f(3)＝________.
解析：∵f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，
∴f(x)＝x2＋2(x≠0)，∴f(3)＝32＋2＝11.
答案：11
6.
如图所示，已知四边形ABCD在映射f：(x，y)→(x＋1,2y)作用下的象集为四边形A1B1C1D1，若四边形A1B1C1D1的面积是12，则四边形ABCD的面积是________．
解析：由于四边形ABCD在映射f：(x，y)→(x＋1,2y)作用下的象集仍为四边形，只是将原图象上各点的横坐标向左平移了一个单位，纵坐标伸长为原来的2倍，故面积是原来的2倍．故填6.
答案：6
7．(1)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式；
(2)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，求f(x)的表达式．
解：(1)当x＞0时，g(x)＝x－1，
故f[g(x)]＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x＜0时，g(x)＝2－x，
故f[g(x)]＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；
∴f[g(x)]＝
当x＞1或x＜－1时，f(x)＞0，
故g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2；
当－1＜x＜1时，f(x)＜0，
故g[f(x)]＝2－f(x)＝3－x2.
∴g[f(x)]＝
(2)在f(x)＝2f()－1中，用代替x，得f()＝2f(x)－1，将f()＝－1代入f(x)＝2f()－1中，可求得f(x)＝＋.
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
解析：选A.要注意y＝s(t)在某一点的导数就是曲线在该点处的斜率，即为在该点处的速度，可知选A.
2．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费，由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)(元)决定，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数．则他的通话时间为5.5分钟的电话费为( )
A．3.71元 B．3.97元
C．4.24元 D．4.77元
解析：选C.∵m＝5.5，∴[5.5]＝6.代入函数解析式，
得f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24(元)．
3．已知函数f(x)＝，那么f的值为________．
解析：f＝f＝f(－2)＝3－2＝.
答案：
4．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 ________.
解析：法一：函数f(x)＝，由于函数在区间[0,2]上单调递增，在区间(2,4]上单调递增，在点x＝2处两段的函数值相等，故函数在区间[0,4]上单调递增，函数在区间(4，＋∞)上单调递减，又在点x＝4处两段上的函数值相等，故x＝4是函数的最大值点，函数的最大值是f(4)＝6.
法二：图象法，在同一坐标下画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象．
答案：6
5．已知：对于给定的q∈N*及映射f：A→B，B?N*.集合C?A.(1)若C中所有元素对应的象之和大于或等于q，则称C为集合A的好子集．
对于q＝2，A＝{a，b，c}，映射f：x→1，x∈A，求集合A的所有好子集的个数；
(2)对于给定的q，A＝{1,2,3,4,5,6，π}，映射f：A→B的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
π
f(x)
1
1
1
1
1
y
z
若当且仅当C中含有π和至少A中2个整数或者C中至少含有A中5个整数时，C为集合A的好子集．写出所有满足条件的数组(q，y，z)．
解：(1)依题意得集合C中的所有元素的象都是1，且要求C中的所有元素的象之和不小于2，因此集合C中的元素个数可以是2或3，满足题意的集合C的个数是C＋C＝4.
(2)依题意知当C中恰好含有A中5个整数时，C为集合A的好子集，因此q≤5；当C中仅含有A中4个整数时，C不是集合A的好子集，因此q>4.又q∈N*，于是q＝5.当C中恰好含有π和A中2个整数时，C为集合A的好子集，因此z＋y＋1≥5，z＋2≥5；当C中恰好含有π和A中1个整数时，C不是集合A的好子集，因此5>1＋z,5>y＋z,3≤z<4，又z∈N*，故z＝3，y≥1且y<2，又y∈N*，于是y＝1，所有满足条件的数组(q，y，z)＝(5,1,3)．
6．如图①所示是某公共汽车线路收支差额y(元)与乘客量x(人)的图象．
(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示．你能根据图象，说明这两种建议吗？
(3)图①、②、③中的票价分别是多少元？
(4)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
解：(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元．点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点(不包括B点)表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．
(2)图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价．
(3)图①②中的票价是2元．图③中的票价是4元．
(4)斜率表示票价．
1．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于( )
A．π2 B．π
C. D．不确定
答案：B
2．下列四个命题正确的有( )
①函数是其定义域到值域的映射；
②y＝＋是函数；
③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；
④y＝的图象是抛物线．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：A
3．(教材习题改编)下列函数中，与y＝x相等的函数是( )
A．y＝ B．y＝()2＋1
C．y＝ D．y＝
答案：D
4．设函数f(x)＝，若f(a)＝a，则实数a的值是________．
答案：－1或
5．设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(x＋2)＝f(2－x)知，该函数的图象关于直线x＝2对称，
∴－＝2，即b＝－4a.①
又图象过点(0,3)，∴c＝3.②
由方程f(x)＝0的两实根平方和为10，得
2－＝10，即b2－2ac＝10a2.③
由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3(a＝0舍去)．
∴f(x)＝x2－4x＋3.
