课件54张PPT。第2课时 平面向量的基本定理及其坐标表示重点难点
重点：①掌握平面向量基本定理，会进行向量的正交分解．
②理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．难点：向量的正交分解与平面向量基本定理．
基础梳理
1．平面向量基本定理
(1)如果e1和e2是同一平面内的两个____________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.
不共线我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．如果基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个_____________的向量，叫做把向量正交分解．
互相垂直夹角当θ＝0°时，a与b方向相同；当θ＝180°时，a与b方向相反；当θ＝90°时，称a与b垂直．3．平面向量的坐标表示和运算
在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量
(2)已知a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2),a－b＝(x1－x2,y1－y2),λa＝(λx1，λy1)．a∥b?______________＝0.x1y2－x2y1思考探究课前热身
A．(2,4) B．(3,5)
C．(－3，－5) D．(－2，－4)
答案：C答案：B
答案：B
4．已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是________．
答案：6
答案：①
考点1 平面向量基本定理的应用
用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过向量的运算来求解．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．
如图所示，考点2 平面向量的坐标运算
利用向量的坐标运算解题,主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解.在将向量用坐标表示时,要分清向量的起点和终点坐标,也就是要注意向量的方向,不要写错坐标 已知A(－2,4)，B(3，－1)，
C(－3，－4)．
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
【思路分析】
利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解．【名师点评】
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算的完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的向量运算．
互动探究考点3 平面向量共线的坐标表示
(1)解决向量平行有关的问题，一般考虑运用向量平行的充要条件．
(2)向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法．
已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时,ka－b与a＋2b共线？【思路分析】方法技巧
加深平面向量基本定理的理解
(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量的基底可以有无穷多组
(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式,是向量线性运算知识的延伸．
失误防范
1．点的坐标与向量的坐标
要把点的坐标与向量的坐标区分开来.相等的向量的坐标是相同的.但起点和终点的坐标却可以不同．2．平面向量共线的坐标表示
(1)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
a∥b的充要条件a＝λb与x1y2－x2y1＝0在本质上是相同的,只是形式上有差异
(2)要记准坐标公式特点,不要用错公式
命题预测
从近几年的广东高考试题来看，向量的坐标运算及向量共线的坐标表示是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，属于中、低档题目，常与向量的数量积运算等交汇命题，主要考查向量的坐标运算及向量共线条件的应用.同时又注重对函数与方程、转化、化归等思想方法的考查．
预测2013年广东高考仍将以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示为主要考点，重点考查运算能力与应用能力
典例透析
(2010·高考陕西卷)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
【解析】 ∵a＝(2，－1)，
b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．
∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，
∴2－(－1)·(m－1)＝0.
∴m＝－1.
【答案】 －1【名师点评】
本题考查了两向量共线的条件,难度
较小，若a∥(2b＋c)，试求m的值．
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1．设向量a＝(4sin α，3)，b＝(2,3cos α)，且a∥b，则锐角α为( )
A. B.
C. D.π
解析：选B.∵a∥b，∴4sin α·3cos α＝2×3，∴sin 2α＝1，
∵α为锐角，∴α＝.故选B.
2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0.则c等于( )
A．(1，) B．(，)
C．(，) D．(－，－)
解析：选D.a－2b＋3c ＝(13＋3x,4＋3y)＝(0,0)，
∴，解得.
3．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝( )
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
解析：选B.＝－＝(－3,2)，∴＝2＝(－6,4)．
＝＋＝(－2,7)，∴＝3＝(－6,21)．故选B.
4．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量的集合，则P∩Q等于( )
A．{(1,1)} B．{(－1,1)}
C．{(1,0)} D．{(0,1)}
解析：选A.因为a＝(1，m)，b＝(1－n,1＋n)．
可得P∩Q＝{(1,1)}，故选A.
5．若点O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，且＝2，＝3，则点A′的坐标为________，点B′的坐标为________，向量的坐标为________．
解析：∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，
∴＝(1,2)，＝(－1,3)，
＝2×(1,2)＝(2,4)，＝3×(－1,3)＝(－3,9)．
∴A′(2,4)，B′(－3,9)，＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．
答案：(2,4) (－3,9) (－5,5)
6．e1，e2是不共线向量，且a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，若b，c为一组基底，则a＝________.
解析：设a＝λ1b＋λ2c，
则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，
即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，
∴解得
∴a＝－b＋c.
答案：－b＋c
7．已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，试以、为一组基底来表示＋＋.
解：由已知得：＝(1,3)，＝(2,4)，
＝(－3,5)，＝(－4,2)，＝(－5,1)，
∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)
＝(－12,8)．
设＋＋＝λ1＋λ2，
则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)，
∴
解得
∴＋＋＝32－22.
1．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是( )
A．m≠－2 B．m≠
C．m≠1 D．m≠－1
解析：选C.由题意知＝(m，m＋1)，＝(m－1，m－1)，因为点A，B，C能构成三角形，所以≠λ.
即≠λ，得m≠1.故选C.
2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为( )
A. B．2
C．－ D．－2
解析：选D.ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，
∵ma＋4b与a－2b共线，
∴＝，∴m＝－2.
3．在四边形ABCD所在平面内，已知a＝(－3,2)，b＝(2,3)，若＝2a＋b，＝2a－4b，＝－3a＋b，则四边形ABCD必是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．直角梯形 D．等腰梯形
解析：选C.∵＝2a＋b＝(－4,7)，
＝2a－4b＝(－14，－8)，＝－3a＋b＝(11，－3)，
∴＝＋＋＝(－7，－4), ∴＝.
又∵·＝0，∴AB⊥AD，故选C.
4．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析：设＝b，＝a，
则＝b－a，＝b－a，＝b－a.
代入条件得
解得λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
答案：
5．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．
(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A、B、C三点共线，
∴∥，
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，
即a＋b＝2.
(2)∵＝2，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，
∴，
解得，
∴点C的坐标为(5，－3)．
6．已知⊙C：(x＋2)2＋(y－1)2＝9及定点A(－1,1)，M是⊙C上任意一点，点N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|，动点N的轨迹为C，求曲线C的方程．
解：设N(x，y)，M(x0，y0)，
∵N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|，
∴＝2或＝－2，
＝(x0＋1，y0－1)，＝(x－x0，y－y0)，
∴或，
∴或，
代入圆方程中得(2x＋5)2＋(2y－2)2＝81或(2x＋3)2＋(2y－2)2＝9.
1．(教材习题改编)已知a＝(4,5)，b＝(8，y)，且a∥b，则y等于( )
A．5 B．10
C. D．15
答案：B
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
解析：选C.∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
3．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与同向的单位向量是( )
A．(，－) B．(－，)
C．(－，) D．(，－)
答案：A
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D.设c＝(x，y)，
则c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)．
∵(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，∴2(y＋2)＝－3(x＋1)，3x－y＝0.
∴x＝－，y＝－，故选D.
5．已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(3，－5)，则用a，b表示向量c为( )
A．2a－b B．－a＋2b
C．a－2b D．a＋2b
解析：选C.设c＝x a＋y b，∴(3，－5)＝(x－y，－x＋2y)，
∴，解之得，
∴c＝a－2b，故选C.
6．已知e1＝(1,3)，e2＝(1,1)，e3＝(x，－1)，且e3＝2e1＋λe2(λ∈R)，则实数x的值是________．
解析：e3＝2e1＋λe2＝(2＋λ，6＋λ)＝(x，－1)，
，∴x＝－5.
答案：－5
7．若p＝(1，－2)，q＝(，0)，a＝(3,4)，且满足a＝mp＋nq.则m＋n＝________.
答案：8
