课件58张PPT。第3课时 等比数列及其前n项和重点难点
重点：等比数列的定义、通项公式、
前n项和及等比数列的基本性质．
难点：等比数列的应用．基础梳理
1．等比数列的基本问题
(1)定义一般地，如果一个数列从_______起，每一项与它的_________的比等于___________常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_______，公比通常用字母________表示．
第2项前一项同一个公比q(q≠0)a1qn－1等比数列ab思考探究
b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？
提示：必要不充分条件．当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；反之，若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac. _____(4)前n项和公式
Sn＝
推导方法：乘公比、错位相减法．qm－n(6)非零常数列既是等差数列，也是等比数列．
(7)若{an}是等差数列，b>0，则{ban}是等比数列；
若{an}是正项等比数列，则{lgan}是等差数列．(9)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1).课前热身
1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比
|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
答案：C答案：D答案：C5．在数列{an}，{bn}中，bn是an与an＋1的等差中项，a1＝2，且对任意n∈N*，都有3an＋1－an＝0，则{bn}的通项bn＝________.考点1 等比数列的判定
证明一个数列是等比数列的主要方法有四种：(1)an＋1＝anq(q是不为0的常数，n∈N*，an≠0)?{an}是等比数列．
(2)an＝cqn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)?{an}是等比数列．
(4)Sn＝A·qn－A(A、q为常数且A≠0，q≠0,1)?{an}是公比不为1的等比数列．
在解题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论．【思路分析】 需要把Sn和an两类基本量化为一类基本量，要消去Sn，可采取方程组法，通过加减消元方式消去Sn.【证明】 (1)由a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5.∴b1＝a2－2a1＝3.
由Sn＋1＝4an＋2，①
则当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2.②①－②得an＋1＝4an－4an－1，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．
又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1.
∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．互动探究考点2 等比数列的基本运算
解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用．在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．【思路分析】
(1)利用a1、q表示已知关系，求a1、q；
(2)利用分组求和求Tn.【误区警示】 在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．考点3 等比数列的性质
在研究等比数列的性质时,我们只需用等比数列的两个基本量(首项a1和公比q)就可以表示出数列中的所有项,它具有“消元”之功效，但有时利用通项公式的变形式an＝amqn－m(m，n∈N*)的形式，会更有利于题目的化简．
【答案】 B
【误区警示】 易忽略对数函数性质．方法技巧
几种思想方法在等比数列中的体现
(1)方程思想．等比数列中有五个量a1、n、q、an、Sn，一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．失误防范
1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.命题预测
从近几年的广东高考试题来看，等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高．客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度；主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法．
预测2013年广东高考，等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式仍将是考查的重点，特别是等比数列的性质更要引起重视．
规范解答 (本题满分12分)(2011·高考山东卷)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn.【解】 (1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意. 2分
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.
故an＝2·3n－1. 4分(2)因为bn＝an＋(－1)nln an
＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)
＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]
＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2－ln 3]＋
(－1)nnln 3， 6分所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3.
【名师点评】 本题考查等比数列的通项公式，前n项和公式，利用拆项分组法求和的方法和对数的运算等基础知识，考查分类讨论思想、归纳推理能力及运算求解能力．求数列{bn}的前n项和时，由于含有(－1)n，因此要对n按奇数、偶数两种情况加以讨论．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．(2010·高考浙江卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝( )
A．11 B．5
C．－8 D．－11
解析：选D.由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则＝＝－11.
2．若数列{an}满足an＝qn(q>0，n∈N*)，则以下命题正确的是( )
①{a2n}是等比数列；②{}是等比数列；③{lgan}是等差数列；④{lga}是等差数列．
A．①③ B．③④
C．①②③④ D．②③④
解析：选C.∵an＝qn(q>0，n∈N*)，∴{an}是等比数列，因此{a2n}，{}是等比数列，{lgan}，{lga}是等差数列．
3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为( )
A．32 B．64
C．256 D．±64
解析：选B.由根与系数的关系知：
a1·a99＝16，∴a＝a1·a99＝16，
又∵an>0，∴a50＝4.
∴a20·a50·a80＝(a20·a80)·a50＝a·a50＝a＝64.
4．(2010·高考山东卷)设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设{an}的首项为a1，公比为q，若a11，从而有a1qn－10，则必有q>1，故a15．数列{an}中，an＝.设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝________.
解析：S9＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝377.
答案：377
6．在正项数列{an}中，a1＝2，点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：n≥2时，∵－＝0，∴an＝2an－1，
∴q＝2.∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
7．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)证明：b1＝a2－a1＝1.
当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an
＝－(an－an－1)＝－bn－1，
∴{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝(－)n－1，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋(－)＋…＋(－)n－2
＝1＋＝1＋[1－(－)n－1]
＝－(－)n－1；
当n＝1时，－(－)1－1＝1＝a1，
∴an＝－(－)n－1(n∈N*)．
1．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
解析：选B.设前三项分别为a1，a1q，a1q2，最后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积为aq3＝2，最后三项之积为aq3n－6＝4.所以两式相乘，得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，aq＝64，即(aqn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.
2．已知数列{an}既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n项和为( )
A．n B．na1
C．an D．0
解析：选B.由{an}既是等差数列又是等比数列可知an＝a1≠0，∴Sn＝na1.
3．设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且＝，则logb5a5＝________.
解析：由题意知＝＝＝＝logb5a5＝.
答案：
4．已知f(x)是一次函数，若f(3)＝5，且f(1)、f(2)、f(5)成等比数列，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)的值是________．
解析：设f(x)＝kx＋b，f(3)＝3k＋b＝5，由f(1)、f(2)、f(5)成等比数列得(2k＋b)2＝(k＋b)·(5k＋b)，可得k＝2，b＝－1.∴f(n)＝2n－1，
则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝100×1＋×2＝10000.
答案：10000
5．已知各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前项和，对任意∈N*，均有2Sn＝2pa＋pan－p(p∈R)．
(1)求常数p的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由a1＝1及2Sn＝2pa＋pan－p(n∈N*)，
得：2＝2p＋p－p.∴p＝1.
(2)由2Sn＝2a＋an－1，①
得2Sn＋1＝2a＋an＋1－1.②
由②－①得，2an＋1＝2(a－a)＋(an＋1－an)，
即2(an＋1＋an)(an＋1－an)－(an＋1＋an)＝0.
∴(an＋1＋an)(2an＋1－2an－1)＝0.
由于数列{an}各项均为正数，
∴2an＋1－2an＝1.即an＋1－an＝.
∴数列{an}是首项为1，公差为的等差数列．
∴数列{an}的通项公式是an＝1＋(n－1)×＝.
6．已知{an}是首项为a1、公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，设bn＝q＋Sn.
(1)求q的值；
(2)数列{bn}能否是等比数列？若是，求出a1的值；若不是，请说明理由．
解：(1)由题意知5S2＝4S4，
S2＝，S4＝，
∴5(1－q2)＝4(1－q4)，又q＞0，∴q＝.
(2)∵Sn＝＝2a1－a1n－1，
于是bn＝q＋Sn＝＋2a1－a1n－1，
若{bn}是等比数列，则＋2a1＝0，
∴a1＝－.此时，bn＝n＋1.
∵＝＝，
∴数列{bn}是等比数列，
所以存在实数a1＝－，使数列{bn}为等比数列．
1．在等比数列{an}中，a2013＝8a2010，则公比q的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
答案：A
2．等比数列{an}中a5＝4，则a2·a8等于( )
A．4 B．8
C．16 D．32
答案：C
3．已知等比数列{an}中，a2＝，a4＝，则a10＝( )
A. B.
C. D.
答案：C
4．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下：
第一组 第二组 第三组 …
{2,4} {6,8,10,12} {14,16,18,20,22,24,26,28} …
则2012位于( )
A．第7组 B．第8组
C．第9组 D．第10组
解析：选C.前n组共有2＋4＋8＋…＋2n＝＝2n＋1－2个数．
由an＝2n＝2012知，n＝1006，∴2012为第1006个偶数，
∵29＝512,210＝1024，故前8组共有510个数，前9组共有1022个数，即2012在第9组．
5．(教材习题改编)设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝________.
答案：
6．在正项等比数列{an}中，an＋1解析：设公比为q，则由an＋1由a2·a8＝6，得a＝6，∴a5＝，
a4＋a6＝＋q＝5，解得q＝.
故＝＝2＝.
答案：
