课件62张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语第一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念重点难点
重点：①集合、元素、子集、真子集的概念．②空集的概念和意义．③属于、包含、相等关系的意义．④集合的有关术语和符号．⑤Venn图及数轴解有关集合问题．
难点：子集与真子集、属于与包含
关系．基础梳理
1．集合的基本概念
(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合．其中每个对象叫做集合中的元素．集合中的元素具有确定性、__________和无序性三个特性．互异性(2)集合有三种表示方法：列举法、描述法、___________，还可以用区间来表示集合．
(3)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用_____和?来表示Venn图法∈2．集合之间的关系
(1)若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的子集,记作A?B或B?A;若A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素,则称集合A是集合B的真子集,记作A?B或B?A；
(2)若集合A与集合B中的所有元素都相同，或A?B且A?B，则称集合A与集合B相等;
(3)不含任何元素的集合叫空集，用?表示．3．集合中的常用性质
(1)A?B，B?A，则A_____B；
A?B，B?C，则A_____C；
(2)??A，若A≠?，则??A.＝?课前热身
1．已知集合M中的元素a、b、c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
答案：D
2．已知M＝{0，x－1}，则实数x满足的条件是( )
A．x≠0 B．x≠1
C．x＝0或1 D．x≠0且x≠1
答案：B
答案：B4．设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，
则( )
A．P?Q B．Q?P
C．P∈Q D．Q∈P
答案：B
5．集合{x∈N|2x－5＜0}中所有元
素的和是________．
答案：3考点1 集合的基本概念
解决集合概念相关问题常用到集合元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口解决问题，二可以检验所求结果是否正确．【思路分析】 根据a在分母上，知a≠0，从而 ＝0，故b＝0，进而知a2＝1，可求a，b.
又a＝1时，不合题意．
∴a＝－1.
∴a2012＋b2012＝(－1)2012＝1.
【规律小结】
(1)解决此类题目，应利用集合相等的定义，首先分析已知元素与另一个集合中的哪一个元素相等，有几种情况等，然后列方程组，求解．本例中从元素“0”着手分析，问题变得简单．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．
互动探究考点2 集合间的基本关系
研究两个集合之间的关系时，应该从分析构成集合的元素入手．因为不同集合之间的关系，可以以元素为桥梁找到它们之间的联系．处理这类问题时，要注意融汇其他知识，充分借助于Venn图或数轴的直观性来发现它们之间的包含关系，往往是解题的突破口．
(1)若A?B，求实数a的取值范围；
(2)A、B能否相等?若能,求出a的值;
若不能,试说明理由．【思路分析】
在确定集合A时,需对x的系数a进行讨论.利用数轴分析，使问题得到解决．
(1)当a＝0时，若A?B，此种情况不存在．当a<0时，若A?B，如图：
当a>0时，若A?B，如图：
【规律方法】 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系式．解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．
互动探究
2．若将本例中的集合A改为A＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，其他条件不变，第(1)题如何求解？解：若A?B，则A＝?或A≠?；
当A＝?时，则a＋1>2a－1，
解得a<2；
当A≠?时，若A?B，考点3 利用集合间的关系求参数
利用集合相等或者包含关系，可待定集合中的字母参数． (2012·汕尾调研)已知集合A＝
{x|－3≤x≤4},B＝{x|2m－1
【思路分析】 【名师点评】
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来，以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时,初学者会想当然认为非空集合而丢解．因此分类讨论思想是必须的
互动探究
3．本例中，若将“B?A”改为“A?B”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？【答案】 C方法技巧
1．集合的元素与集合的子集的区别2.A?B，且A≠B，则A?B,所以A?B包括A＝B和A?B两种情况．
3．关于空集?：空集是不含任何元素的集合，不能认为?＝{0}，也不能认为{?}＝?.诸如{x|x2＋1＝0，x∈R}，
{边长为3,5,9的三角形}等都表示空集
失误防范
1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏掉．2．解题时注意区分两大关系：一是
元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
3．??{0},若把?当元素,有?∈{?};若把?当集合，有??{?}．
命题预测
集合的概念和集合间的基本关系是集合的重要内容之一，也是基础内容．在高考中以两种形式出现，一是以小题为主，二是在以其他知识为背景的综合题中，渗透集合思想或以集合间的基本关系做为工具，体现了基础性和应用性．
预测2013年广东高考题中集合的概念作为小题出现的几率比较大，考查学生对基本知识的掌握程度．
典例透析 (2010·高考福建卷)对于复数
a,b,c，d，若集合S＝{a，b，c，d},具
有性质“对任意x，y∈S,必有xy∈S”，
则当 时,b＋c＋d等于( )
A．1 B．－1
C．0 D．i
【解析】 由已知a＝1，b2＝1，
∴b＝－1，
∴c＝±i，由“对任意x，y∈S，
必有xy∈S”，
知±i∈S，∴c＝i，d＝－I
或c＝－i，d＝i，
∴b＋c＋d＝(－1)＋0＝－1，
故选B.
【答案】 B
【名师点评】
本题主要考察集合元素的互异性和确定性,在解答时,充分考虑条件中的“对任意x，y∈S，必有xy∈S”的性质．
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1．已知M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M＝N，则实数a的值为( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0或1或－1
答案：C
2．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A B．a?A
C．a∈A D．a＝A
答案：C
3．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩?UB＝( )
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
答案：B
4．已知集合A＝{x|－1A．A>B B．A?B
C．B?A D．A?B
解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B?x∈A，但x∈A?x∈B不成立．
5．已知集合P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，且集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.
解析：x＝3,4,5.∴a＝6.
答案：6
6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|＝1}，则A、B间的关系为________．
解析：在A中，(0,0)∈A，而(0,0)?B，故B?A.
答案：BA
7．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A中元素至多只有一个，求实数a的取值范围．
解：①a＝0时，原方程为－3x＋2＝0，x＝，符合题意．
②a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程．
由Δ＝9－8a≤0，得a≥.
∴当a≥时，方程ax2－3x＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．
综合①②，知a＝0或a≥.
1．下列关系式中正确的是( )
A．?＝{0} B．?∈{0}
C．0∈? D．?{0}
解析：选D.?不含任何元素，由空集性质可得D.
2．若集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x、y∈M}，则N中元素的个数为( )
A．9 B．6
C．4 D．2
解析：选C.N＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,1)}．
3．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值组成的集合中元素的个数为________．
解析：当a>0，b>0时，＋＝2；
当a·b<0时，＋＝0；
当a<0且b<0时，＋＝－2.
所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3.
答案：3
4．(2011·高考广东卷改编)设S是整数集Z的非空子集，如果?a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是________．
①T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
②T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
③T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
④T，V中每一个关于乘法都是封闭的
解析：不妨设1∈T，则对于?a，b∈T，∵?a，b，c∈T，都有abc∈T，不妨令c＝1，则ab∈T，故T关于乘法是封闭的，故T、V中至少有一个关于乘法是封闭的；若T为偶数集，V为奇数集，则它们符合题意，且均是关于乘法是封闭的，从而②、③错误；若T为非负整数集，V为负整数集，显然T、V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T，?x，y，z∈V，有xyz∈V，但是对于?x，y∈V，有xy＞0，xy?V，④错误．故选①.
答案：①
5．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求实数m的值．
解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
∵B?A，∴mx＋1＝0的解为－3或2或无解．
当mx＋1＝0的解为－3时，
由m·(－3)＋1＝0，得m＝；
当mx＋1＝0的解为2时，
由m·2＋1＝0，得m＝－；
当mx＋1＝0无解时，m＝0.
综上所述，m＝或m＝－或m＝0.
6．已知集合A＝{x|≥1，x∈R}，B＝{x|x2－2x－m<0}．
(1)当m＝3时，求A∩(?RB)；
(2)当A∩B＝{x|－1解：A＝{x|－1(1)当m＝3时，B＝{x|－1则?RB＝{x|x≤－1或x≥3}．
∴A∩(?RB)＝{x|3≤x≤5}．
(2)∵A＝{x|－1∴42－2×4－m＝0，解得m＝8，
此时B＝{x|－2
1．若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
答案：A
2．集合A＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．无数个
解析：选C.正确分类是解本题的关键．(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形．
3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A?B，则a的取值范围是( )
A．a≥2 B．a≤1
C．a≥1 D．a≤2
解析：选A.A＝{x|14．已知集合M＝{(x，y)|y－1＝k(x－1)，x，y∈R}，集合N＝{(x，y)|x2＋y2－2y＝0，x，y∈R}，那么M∩N中 ( )
A．不可能有两个元素 B．至多有一个元素
C．不可能只有一个元素 D．必含无数个元素
解析：选C.y－1＝k(x－1)表示经过定点(1,1)，斜率为k的直线，不包括通过(1,1)与x轴垂直的直线即x＝1.
x2＋y2－2y＝0，可化为x2＋(y－1)2＝1，表示圆心在(0,1)半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点，
∴直线与圆有两个交点，故选C.
5．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
解析：A，B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
答案：{(0,1)，(－1,2)}
