课件74张PPT。第3课时 命题及其关系、充分条件与必要条件重点难点
重点：①四种命题的关系及命题的否定．②充要条件的判断．③全称量词与存在量词使用上的区别．难点：①逻辑联结词“或”、“且”的含义及命题的否定形式与否命题的区别.②全称量词与存在量词区别的运用．③区分充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件．
基础梳理
1．命题
(1)用__________________表达的，可以判断真假的_________叫做命题，其中___________的语句叫做真命题，_____________的语句叫做假命题．语言、符号或式子陈述句判断为真判断为假(2)把一个命题表达为“若p，则q”的形式，则p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
①如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_______和_______，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，结论条件另一个叫做原命题的逆命题．
②如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_________________________，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个叫做另一个的否命题．条件的否定和结论的否定③如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做___________________．把其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．互为逆否命题若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是____________；否命题是___________________；逆否命题是___________________.
若q,则p若綈p,则綈q若綈q,则綈p思考探究
“否命题”与“命题的否定”有何不同？
提示：“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p，则q”,那么这个原命题的否定是“若p,则非q”,即只否定结论;而原命题的否命题是“若綈綈p，则綈綈q”,即既否定命题的条件，又否定命题的结论．
(2)四种命题间的关系3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)“若p,则q”为真命题,记作p?q,
则p是q的充分条件,q是p的必要条件
(2)如果既有p?q，又有q?p，记作p?q，则p是q的充要条件,q也是p的______________．充要条件课前热身
1．若p，q是两个简单命题，且“p
或q”是假命题，则必有( )
A．p真q真 B．p真q假
C．p假q假 D．p假q真
答案：C
2.命题“若a>0,则a2>0”的否命
题是( )
A．若a2>0，则a>0
B．若a<0，则a2<0
答案：C
3．(2010·高考陕西卷)“a>0”是
“|a|>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
4．若a∈R，则“a＝1”是
“a2＋2a－3＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A5．与命题“若a∈M，则b?M”等价的一个命题是________________________________________________________________
答案：若b∈M，则a?M
考点1 命题的真假判断 下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？①“等边三角形是等腰三角形吗?”;
②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”;
③“一个数不是正数就是负数”;
④“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！”;
⑤“x＋y为有理数，则x、y也都是
有理数”；
⑥“作△ABC∽△A1B1C1”．
【思路分析】 从两方面入手：①首先判断是否是陈述句，②再看是否能判断真假．【解】 根据命题的概念，判断是否为命题，若是，再判断真假．
①反问句，不是命题．
②疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断， 不是命题；③是假命题， 数0既不是正数也
不是负数．
④感叹句， 不是命题．
⑤是假命题，
⑥祈使句， 不是命题．
∴命题有：③⑤；无真命题．【名师点评】
判断一个语句是否是命题， 关键在于能否判断其真假. 一般地，只有陈述句才是命题，而反问句、疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．
变式训练
1．你能将下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假吗？
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；
(4)弦的垂直平分线经过圆心， 并平分弦所对的弧．
解：(1)若一个数为实数， 则它的平方是非负数. 这个命题是真命题．
(2)若两个三角形等底等高， 则这两个三角形是全等三角形. 这个命题是假命题．(3)若一个数能被6整除， 则它既能被3整除也能被2整除. 这个命题是真命题.
(4)若一条直线是弦的垂直平分线， 则它经过圆心并平分弦所对的弧. 这个命题是真命题．
考点2 四种命题及其关系
在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”．
(2012·阳江质检)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；(2)若q≤1,则方程x2＋2x＋q＝0有实根;
(3)若x2＋y2＝0，则实数x、y全为零；
(4)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．
【思路分析】
写成“若p, 则q”的形式→写出逆命题、否命题、逆否命题→判断真假．
【解】 (1)逆命题：全等三角形的面积相等，真命题．
否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题．
逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题．
(2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，真命题．
否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命题．(3)逆命题：若实数x、y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则实数x、y不全为零，真命题．
逆否命题：若实数x、y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
(4)逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，假命题．
否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，假命题．
逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，真命题．【名师点评】
(1)“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，因为“x、y不都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数”、“x不是奇数y是奇数”、“x、y都不是奇数”三种情况；(2)“x＝0或y＝0”的否定是“x≠0且y≠0”，而不是“x≠0或y≠0”，因为“x＝0或y＝0”包含“x＝0且y≠0”、“x≠0且y＝0”、“x＝0且y＝0”三种情况．
考点3 充分条件与必要条件
的判定
判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利用定义.如果p?q,则p叫做q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件,如果q?p，则p叫做q的必要条件,逆命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件；如果既有p?q，又有q?p记作p?q,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件，原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立，命题中的条件是充要的．
下列各题中,p是q的什么条件？
(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；
(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；【思路分析】 先判断p?q是否成立，再判断q?p是否成立．【解】 (1)若∠A＝∠B，则
sinA＝sinB，即p?q.
又若sinA＝sinB，则
2RsinA＝2RsinB，即a＝b.
∴∠A＝∠B，即q?p.
所以p是q的充要条件(2)其逆否命题为：
对于实数x、y，若x＝2且y＝6，
则x＋y＝8，
显然当x＝2, y＝6时, x＋y＝8成立；
但当x＋y＝8时，x＝2且y＝6不一定成立，故p?q，q p，
∴p是q的充分不必要条件．
∴f(－x)＝f(x)，
∴y＝f(x)是偶函数．
∴p?q.
取f(x)＝x2为R上的偶函数，
∴q p.
∴p是q的充分不必要条件．【名师点评】
(1)要分清充分性和必要性；
(2)注意两种说法“p是q的必要不充分条件”与“q的必要不充分条件是p”是等价的；
(3)从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围．
考点4 充分条件与必要条件的应用
涉及求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题，常常借助集合的观点来考虑．若涉及参数问题解决起来较为困难时，注意运用等价转化． 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，
S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件？若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的必要条件？若存在，求
出m的范围．
【思路分析】 (1)∵“x∈P”是“x∈S”的充
要条件， ∴P＝S，∴这样的m不存在．
(2)由题意“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则S?P.
综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．
【误区警示】
(2)中“x∈P”是“x∈S”的必要条件,是由S?P即S是P的子集，并不一定是真子集．
互动探究
2．本例中条件不变，若(2)小题中“x∈P”是“x∈S”的必要不充分
条件，如何求解？解：∵“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，∴S?P.解得m≤3.
方法技巧
1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论 ,然后按定义来写 ;在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．
2．充要关系的几种判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)等价法：即利用A?B与綈B?綈A；B?A与綈A?綈B；A?B与綈B?綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A?B，则
p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．
失误防范
1．否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．
3．A是B的充分条件，是指A?B，A的充分条件是B，是指B?A；A的充要条件是B，充分性是指B?A，必要性是指A?B，此语句应抓“条件是B”．
A是B的充要条件,此语句应抓“A是条件”．命题预测
从近几年广东高考题来看，此部分知识在广东高考命题中多以选择题和填空题的形式出现，主要考查基本概念，四种命题中互为等价的命题是考查的重点．常以本节知识作为载体考查函数、立体几何、解析几何等内容;以逻辑推理知识为命题背景的解答题也会出现.
充要条件是每年高考必考内容，试题以选择题、填空题为主，考查的知识面非常广泛，如：数列、向量、三角函数、立体几何、解析几何等基本概念的考查都能以充要条件的形式出现．
预测2013年广东高考仍将以充要条件，命题及其关系作为主要考点，重点考查考生对基础知识的掌握及应用能力．
典例透析
(2011·高考福建卷)若a∈R,则
“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】 由a＝2能得到(a－1)(a－2)＝0，但由(a－1)(a－2)＝0得到a＝1或a＝2，而不是a＝2，所以a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分而不必要条件．
【答案】 A
【名师点评】
此题是比较容易的题目,只需验证
a＝2?(a－1)(a－2)＝0，
但(a－1)(a－2)＝0 a＝2即可．
本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．a＜0且－1＜b＜0是a＋ab＜0的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.若－1＜b＜0，有0＜b＋1＜1，又a＜0，则a(b＋1)＜0，充分性成立；若a(b＋1)＜0，则有或，则必要性不成立．
2．(2010·高考江西卷)对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.a>b?/ ac2>bc2，原因是c可能为0，而若ac2>bc2，则可以推出a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故选B.
3．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
解析：选A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，无论y是正数、负数、0都成立，所以选A.
4．有下列几个命题：(1)“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；(2)“若m≤1，则方程x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；(3)“若A∩B＝A，则A?B”的逆否命题．其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选C.(1)、(3)显然成立．(2)∵x2－2x＋m＝0有实数解，∴Δ＝4－4m≥0，即m≤1.所以(2)成立．
5．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
解析：原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“若m2>n2，则m>－n”，也是假命题，从而否命题也是假命题．
答案：3
6．给出下列命题：
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；
④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．
其中真命题是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)
解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题的两命题同真同假，故①④错误，②③正确．
答案：②③
7．已知命题P：“若ac≥0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题P的否命题；
(2)判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论．
解：(1)命题P的否命题为：“若ac<0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题P的否命题是真命题．证明如下：
∵ac<0，∴－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
1．已知p：x2－x<0，那么命题p的一个必要不充分条件是( )
A．0
C.解析：选B.由x2－x<0得0设p的一个必要不充分条件为q，则p?q，但q p，故选B.
2．“a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a＝－1，则两直线分别为x－y＋6＝0和4x＋4y＋9＝0，显然垂直；若a2x－y＋6＝0和4x－(a－3)y＋9＝0垂直，则有a2·＝－1，解得a＝－1或a＝.故选A.
3．设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为______．
解析：对于图甲，A是B的充分不必要条件；对于图乙，A是B的充要条件；对于图丙，A是B的必要不充分条件；对于图丁，A是B的既不充分也不必要条件．
答案：乙
4．(2011·高考陕西卷)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
解析：∵x2－4x＋n＝0有整数根，
∴x＝＝2±，
∴4－n为某个整数的平方且4－n≥0，∴n＝3或n＝4.
当n＝3时，x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3；
当n＝4时，x2－4x＋4＝0，得x＝2.
∴n＝3或n＝4.
答案：3或4
5．已知“|x－a|<1”是“x2－6x<0”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：∵|x－a|<1，∴a－1∵x2－6x<0，∴0又∵|x－a|<1是x2－6x<0的充分不必要条件，
∴或，∴1≤a≤5.
所以所求实数a的取值范围为{a|1≤a≤5}．
6．已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：法一：由x2－2x＋1－m2≤0，
得1－m≤x≤1＋m，
∴綈q：A＝{x|x＞1＋m，或x＜1－m，m＞0}．
由|1－|≤2，得－2≤x≤10，
∴綈p：B＝{x|x＞10，或x＜－2}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴A?B?
解得m≥9.
所以，实数m的取值范围是{m|m≥9}．
法二：∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴綈q?綈p，且綈pD綈q.
∴p?q，且qD?/p，
即p是q的充分不必要条件．
∵p：C＝{x|－2≤x≤10}，
q：D＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，
∴CD，
∴
∴m≥9，
所以，实数m的取值范围是{m|m≥9}．
1．下列命题是真命题的为( )
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x＜y，则x2＜y2
解析：选A.由＝得x＝y，A正确，B、C、D错误．
2．(2011·高考山东卷)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：选A.由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．
3．(2011·高考四川卷)“x＝3”是“x2＝9”的( )
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
解析：选A.当x＝3时，有x2＝9，但当x2＝9时，x＝3或x＝－3，故“x＝3”是“x2＝9”的充分而不必要的条件．
4．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是( )
A．a≥0 B．a＞0
C．a≤0 D．a＜0
答案：D
5．“a＝1”是“直线y＝ax＋1与y＝(a－2)x＋3垂直”的________条件．
答案：充要
