课件72张PPT。第8课时 抛物线重点难点
重点：抛物线定义、几何性质及标准
方程．
难点：抛物线几何性质及定义的应用．基础梳理
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)___________的点的轨迹叫做抛物线，______叫做抛物线的焦点，_________叫做抛物线的准线．距离相等点F直线l思考探究
当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？
提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线的标准方程和几何性质
x轴x≤0O(0,0)e＝1y轴y≤0课前热身答案：D2．(教材改编题)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点,如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10 B．8
C．6 D．4
答案：B3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
答案：C
4．动圆过点(1,0)且与直线x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
答案：y2＝4x5．抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
答案：2考点1 抛物线的定义应用
抛物线的定义是解决抛物线问题的基本方法，也是一个捷径，体现了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化，由此得出抛物线的焦半径公式是研究抛物线上的点到焦点的距离的主要公式． 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)．求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．【思路分析】 由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题．
【解】【思维总结】 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．互动探究考点2 抛物线的标准方程与几何性质
求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，标准方程有四种形式，在设方程形式之前，首先要确定抛物线的开口方向．为避免开口不一定而分成y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)两种情况求解的麻烦，可以设成y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)，若m>0，开口向右，m<0开口向左，m有两解，则抛物线的标准方程有两个． 根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)开口向下的抛物线上一点Q(m，－3)到焦点的距离等于5.【思路分析】
(1)先确定焦点F的位置，可求方程；
(2)利用定义求p的值．考点3 直线与抛物线的位置关系
涉及到直线与抛物线交点可通过直线方程与抛物线方程联立的方程组消元后的一元方程来考虑，需要说明的是，直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但当直线与抛物线只有一个交点时，直线还可能与抛物线的对称轴平行而不相切． (2012·云浮调研)已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x.求当k为何值时，l与C(1)相切；(2)相交；(3)相离．
【思路分析】 将直线方程与抛物线方程联立、消元，转化为一元方程解决问题．当k≠0时，方程为关于x的一元二次方程，所以Δ＝16(1－k)，若Δ＝0，即k＝1，则l与C相切；若Δ>0，即k<1且k≠0，则l与C相交；若Δ<0，即k>1，则l与C相离．所以①当k＝1时，l与C相切；
②当k<1时，l与C相交；
③当k>1时，l与C相离．
【规律方法】 直线与抛物线的位置关系的判定方法．
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0，(1)若m≠0，当Δ>0时，直线与抛物线有两个公共点；
当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；
当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．
(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．考点4 抛物线的焦点弦问题
研究抛物线的焦点弦问题常通过弦的方程与抛物线的方程联立，消去一个未知数借助根与系数的关系及焦半径公式求解．【思路分析】 考查抛物线的过焦点的弦的性质. 将抛物线的焦点弦的方程设出，代入抛物线方程，利用根与系数的关系等解决问题．【总结评述】 (1)抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质(特别是某点的焦半径等于这点到准线的距离，化两点间的距离为点线间的距离)应用起来非常方便，还有其他的一些性质这里就不一一证明了. 如：∠ANB＝90°，以CD为直径的圆切AB于点F等.
(2)以上证明的五个结论是抛物线中非常重要的结论，要切实掌握其推证思路．方法技巧
1．抛物线的焦点弦
若直线l过抛物线的焦点与抛物线相交于两点A、B，则线段AB通常称作抛物线的焦点弦，焦点与抛物线上任一点的连线段，通常称作抛物线的焦半径，涉及焦半径(或焦点弦)的问题，常考虑应用定义求解．
若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论：2．关于抛物线的最值问题
(1)A为抛物线弧内一定点，F为焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|＋|PF|的最小值问题常用定义转化，由A向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的P点．(2)直线l与抛物线无公共点，求抛物线上的点到l的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离，转化为二次函数求最值，或设出与l平行且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距离，后者更简便．3．由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论．失误防范
1．关于抛物线定义
要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线. 2．关于抛物线的标准方程
由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的共同点在于：
(1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．命题预测
通过分析近几年的广东高考试题可以看出，一方面以选择题、填空题的形式考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识，另一方面以解答题的形式考查抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位置关系的综合问题，着力于数学思想方法及数学语言的考查，题目的运算量一般不是很大，属于中档题．
预测2013年广东高考仍将以抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系为主要考点，考查学生的数学思想方法的运用及运算能力．典例透析【答案】 C
【名师点评】 本题考查抛物线的定义及其应用，关键是灵活应用了焦半径公式，使问题的解决简单明了．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．以椭圆＋＝1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
解析：选D.由椭圆的方程知，
a2＝13，b2＝9，焦点在x轴上．
∴c＝＝＝2.
∴抛物线的焦点为(－2,0)，
∴抛物线的标准方程是y2＝－8x.
2．抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是( )
A. B．－
C．8 D．－8
解析：选B.将抛物线的方程化为标准形式x2＝y，其准线方程是y＝－＝2，得a＝－.故选B.
3．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于( )
A．－4p2 B．－3p2
C．－2p2 D．－p2
解析：选A.∵OA⊥OB，∴O·O＝0.
∴x1x2＋y1y2＝0.①
∵A、B都在抛物线上，∴∴
代入①得·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.
4．(2010·高考湖南卷)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4
B．6
C．8 D．12
解析：选B.如图所示，抛物线的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，由抛物线的定义知：|PF|＝|PE|＝4＋2＝6.
5．(2010·高考重庆卷)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
解析：设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2，∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.
答案：2
6．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________米．
解析：设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，
故方程为x2＝－8y，水面上升米，则y＝－，代入方程，得x2＝－8·(－)＝12，x＝±2.
故水面宽4 米．
答案：4
7．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，)，求抛物线与双曲线方程．
解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c，设抛物线方程为y2＝4c·x.
∵抛物线过点(，)，∴6＝4c·.
∴c＝1，故抛物线方程为y2＝4x.
又双曲线－＝1过点(，)，
∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，
∴－＝1.
∴a2＝或a2＝9(舍)．
∴b2＝，故双曲线方程为：4x2－＝1.
1．(2010·高考山东卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析：选B.∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
2．(2012·河源质检)已知曲线f(x)＝x3＋x2＋x＋3在x＝－1处的切线恰好与抛物线y＝2px2相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为( )
A．4 B.
C．8 D.
解析：选A.由已知可得k＝f′(－1)＝3×(－1)2＋2×(－1)＋1＝2，又由切点为(－1,2)得其切线方程为y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4.设此直线与抛物线切于点(x0,2px)，则k＝4px0＝2，得px0＝，又2x0＋4＝2px，解得x0＝－4，p＝－，由此可得抛物线的方程为x2＝－4y，其过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为4，故应选A.
3．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上 ②焦点在x轴上 ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 ④抛物线的通径的长为5 ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能满足此抛物线方程y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)．
解析：在①②两个条件中，应选择②，则由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)；
对于③，由焦半径公式r＝1＋＝6，
∴p＝10，此时y2＝20x，不符合条件；
对于④，2p＝5，此时y2＝5x，不符合题意；
对于⑤，设焦点(，0)，则由题意，
满足·＝－1.
解得p＝5，此时y2＝10x，
所以②⑤能使抛物线方程为y2＝10x.
答案：②⑤
4．(2010·高考大纲全国卷Ⅱ)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若＝，则p＝________.
解析：
如图，设B(x0，y0)，由题意知
MK＝BH，
∴x0＋
＝2，
∴x0＝＋2.
∴y0＝，又直线AB方程为y＝(x－1)，代入得
＝，∵p>0，∴p＝2.
答案：2
5．已知直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．
解：由题意得kOD＝，
∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，又直线AB过点D(2,1)，
∴直线AB的方程为y＝－2x＋5，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵以AB为直径的圆过点O，∴O·O＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，
由得4x2－(2p＋20)x＋25＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5)
＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p，
∴＋(－5p)＝0，∴p＝，
∴抛物线方程为y2＝x.
6．已知点C(1,0)，点A、B是圆O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)法一：
连结CP，由·＝0知，AC⊥BC，
∴|CP|＝|AP|
＝|BP|＝|AB|，
由垂径定理知
|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，
即|OP|2＋|CP|2＝9，
设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简得，x2－x＋y2＝4.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
根据题意知，x＋y＝9，x＋y＝9,2x＝x1＋x2,2y＝y1＋y2，
∴4x2＝x＋2x1x2＋x，4y2＝y＋2y1y2＋y，
故4x2＋4y2＝(x＋y)＋(2x1x2＋2y1y2)＋(x＋y)＝18＋2(x1x2＋y1y2)①
又∵·＝0，∴(1－x1，－y1)·(1－x2，－y2)＝0，
∴(1－x1)×(1－x2)＋y1y2＝0，
故x1x2＋y1y2＝(x1＋x2)－1＝2x－1，
代入①式得，4x2＋4y2＝18＋2(2x－1)，
化简得，x2－x＋y2＝4.
(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，
由方程组得，x2＋3x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－4，
由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2，
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．
1．(教材习题改编)顶点在原点，焦点坐标为(－2,0)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
答案：D
2．已知抛物线y＝x2，则它的焦点坐标是( )
A．(0，) B．(，0)
C．(，0) D．(0，)
答案：D
3．(教材习题改编)顶点在原点，关于坐标轴对称，且过点(2，－3)的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．x2＝－y
C．y2＝x或x2＝－y D．以上都不正确
答案：C
4．(2010·高考上海卷)若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为________．
解析：由抛物线定义知，点P的轨迹是以点F(2,0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线，故其方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
5．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，A(8,8)且直线l经过抛物线的焦点F，则线段AB的中点到准线的距离为________．
解析：因为抛物线的焦点为F(2,0)，
则直线l的方程为y＝(x－2)，
由解得B，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝，所以线段AB的中点到准线的距离为.
答案：
6．(2011·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B点在直线y＝－3上，M点满足∥，·＝·，M点的轨迹为曲线C.
求C的方程；
P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
解：设M，由已知得B.又A，
所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，＝(x，－2)．
再由题意可知(＋)·＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0.
所以曲线C的方程为y＝x2－2.
设P为曲线C：y＝x2－2上一点．
因为y′＝x，所以l的斜率为x0.
因此直线l的方程为y－y0＝x0，即x0x－2y＋2y0－x＝0.
所以O点到l的距离d＝.又y0＝x－2，
所以d＝＝≥2.
当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
