2023年高考一轮复习第一节集合 教案 （word版含答案）

第一章 预备知识
第一节　集合 教学设计
教学目标：
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言 列举法或描述法 描述不同的具体问题.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.
1．集合与元素
元素的特性 确定性、互异性、无序性
元素与集合的关系 若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b A
集合的表示法 列举法、描述法、图示法
2.常见数集的记法
自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
N N*(或N＋) Z Q R
3.集合间的基本关系
表示关系 文字语言 记法
集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A B或B A
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A A?B或B?A
相等 集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素 A B且B A A＝B
空集 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集
4.集合的基本运算
语言表示 图形表示 符号语言
并集 所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
交集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
补集 若全集为U，则集合A的补集为 UA UA＝{x|x∈U，且x A}
5.集合的运算性质
交集 A∩B＝B∩A，A∩B A，A∩B B，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A B A∩B＝A
并集 A∪B＝B∪A，A∪B A，A∪B B，A∪A＝A，A∪ ＝A，A B A∪B＝B
补集 U( UA)＝A， U ＝U， UU＝ ，A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
(2)在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性．
(3) U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
1．若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，则下列式子中正确的是(　 )
A．M＝N B．M N C．N M D．M∩N＝
答案：C
2．已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，则集合A真子集的个数为(　 )
A．3 B．4 C．8 D．7
答案：D
3．(人教A版必修第一册P10·例2改编)已知集合A＝{x|－1答案：(1,2)
4. (苏教版必修第一册P21·T7改编)设全集U＝{x∈N*|x<9}，集合A＝{3,4,5,6}，则 UA＝________.
答案：{1,2,7,8}
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　集合的含义与表示　
[题点全训]
1．(多选)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(　 )
A．－1 A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34∈A
解析：选BCD　当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，得k＝－ Z，所以－11 A，所以B正确；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正确．
2．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　 )
A．2 B．3 C．4 D．6
解析：选C　由题意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4，故选C.
3．已知集合P＝{－1,2a＋1，a2－1}，若0∈P，则实数a的取值集合为(　 )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－，1，－1)) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－，0))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－，1)) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－，－1))
解析：选C　当2a＋1＝0时，a＝－，经检验满足题意；当a2－1＝0时，a＝±1，经检验，a＝1满足题意，故a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－，1)).故选C.
4．如果集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，则a的值为(　 )
A．0 B．4 C．0或4 D．不能确定
解析：选C　当a＝0时，集合A＝，只有一个元素，满足题意；当a≠0时，由集合A中只有一个元素，可得Δ＝42－4a＝0，解得a＝4.综上，a的值为0或4.
[一“点”就过]
解决集合含义问题的关键点
(1)确定构成集合的元素．
(2)确定元素的限制条件．
(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
基础点(二)　集合间的基本关系　
[题点全训]
1．已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　 )
A．M?N B．N?M
C．M RN D．N RM
解析：选B　依题意知，M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N?M.故选B.
2．已知集合{1,2} A {1,2,3,4,5,6}，则满足条件的A的个数为(　 )
A．16 B．15 C．8 D．7
解析：选A　因为{1,2} A {1,2,3,4,5,6}，
所以集合A中必须含有1,2两个元素，可以含有元素3,4,5,6，因此满足条件的集合A有24＝16(个)．
3．设a，b∈R，集合P＝{x|(x－1)2(x－a)＝0}，Q＝{x|(x＋1)(x－b)2＝0}，若P＝Q，则a－b＝(　 )
A．0 B．2 C．－2 D．1
解析：选C　由题意得P＝Q＝因为P＝Q，所以当且仅当a＝－1，b＝1时，P＝Q成立．故a－b＝－2，故选C.
[一“点”就过]
判断集合间关系的三种方法
列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系
结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断
数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　集合的基本运算　
[典例]　(1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　 )
A． 　 B．S C．T D．Z
(2)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{x∈Z|x2－4x＋3≤0}，B＝{2,3}，则 U(A∪B)＝(　 )
A．{3} 　 B．{4} C．{3,4} D．{1,3,4}
[解析]　(1)集合S是由奇数组成的集合，集合T是由被4除余1的整数组成的集合，所以T S，则S∩T＝T.故选C.
(2)因为集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－3)≤0}＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以A∪B＝{1,2,3}，又因为全集U＝{1,2,3,4}，所以 U(A∪B)＝{4}，故选B.
[答案]　(1)C　(2)B
[方法技巧]　集合的基本运算问题的求解策略
先“简”后“算” 进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，区分数集与点集等
遵“规”守“矩” 定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”；并集的运算中“并”是合并的意思；补集的运算要关注“你有我无”的元素
借“形”助“数” 在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图或数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍
[针对训练]
1．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(　 )
A．A∩B＝
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪( RB)＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩( RB)＝{x|2解析：选BD　∵A＝{x|(x－3)(x＋1)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1≤x≤2}，A不正确；A∪B＝{x|－2≤x≤3}，B正确；∵ RB＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪( RB)＝{x|x<－2或x≥－1}，A∩( RB)＝{x|22.已知全集U＝R，集合A＝{x|(x2－4)(x2－9)＝0}，B＝{x|x2>x＋6}，则如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为(　 )
A．{－2} B．{2}
C．{－3，－2,2} D．{－2,2,3}
解析：选D　∵A＝{－3，－2,2,3}，B＝{x|(x－3)·(x＋2)>0}＝(－∞，－2)∪(3，＋∞)，
又Venn图中的阴影部分表示的集合为A∩( UB)，
而 UB＝[－2,3]，∴A∩( UB)＝{－2,2,3}．
3．已知( RA)∩B＝ ，则下列选项中一定成立的是(　 )
A．A∩B＝A B．A∩B＝B
C．A∪B＝B D．A∪B＝R
解析：选B　作出Venn图如图所示，则B A，所以A∩B＝B.
重难点(二)　根据集合的运算或关系求参数　
[典例]　(1)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　 )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
(2)(2022·西安模拟)集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B A，则实数a的取值范围是(　 )
A. B．(－∞，－1)[0，＋∞)
C. D．∪(0,1)
[解析]　(1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B.
(2)∵B A，∴①当B＝ 时，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．
②当B≠ 时，即ax＋1≤0有解，当a>0时，可得x≤－，要使B A，则需要解得0当a<0时，可得x≥－，
要使B A，则需要解得－≤a<0.
综上，实数a的取值范围是.
[答案]　(1)B　(2)A
求参问题的四个注意点
(1)注意两个转化
A∩B＝A A B；A∪B＝A B A.
(2)注意空集的特殊性
①若B A，则分B＝ 和B≠ 两类进行讨论．
②若A∩B＝ ，则集合A，B可能的情况有：
A，B均为空集；A与B中只有一个空集；
A，B虽然均为非空集合但无公共元素．
(3)注意结合数轴分析端点值的大小．
(4)注意对结果进行检验，以避免集合中元素重复．　　
[针对训练]
1．设集合A＝{0,2,4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，若A∪B＝{0,1,2,3,4}，则m＋n的值是(　 )
A．1 B．3 C．5 D．7
解析：选D　因为集合A＝{0,2,4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，A∪B＝{0,1,2,3,4}，则B＝{1,3}，所以1,3是方程x2－mx＋n＝0的两根，所以因此m＋n＝4＋3＝7.
2．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B A，则实数m的取值范围是________．
解析：∵B A，
①当B＝ 时，2m－1>m＋1，解得m>2；
②当B≠ 时，解得－1≤m≤2.
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视元素的互异性)已知3∈{a＋2，a2＋2}，则实数a的值为(　 )
A．1或－1 B.1 C．－1 D．－1或0
解析：选C　当a＋2＝3时，得a＝1，此时a2＋2＝3，不满足集合中元素的互异性，不合题意；当a2＋2＝3时，得a＝±1，若a＝1，则a＋2＝3，不满足集合中元素的互异性，不合题意；若a＝－1，则a＋2＝1，满足3∈{a＋2，a2＋2}．
2．(易混淆集合的代表元素)已知集合A＝{x|y＝log2(x3－1)}，B＝{y|y＝}，则A∩B＝(　 )
A．(1，＋∞) B．(－1,2]
C．[2，＋∞) D．
解析：选A　A＝{x|y＝log2(x3－1)}＝{x|x3－1>0}＝{x|x>1}，B＝{y|y＝}＝{y|y≥0}，所以A∩B＝(1，＋∞)．
3．(忽视空集致误)已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若B A，则m的取值范围是(　 )
A．(－∞，2] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．[0,2]
解析：选A　当m<0时，B＝ ，满足B A；
当m≥0时，若B A，只需解得0≤m≤2.
综上，m的取值范围是.
二、融会贯通应用创新题
4．(创新解题思维·排除法)已知集合M＝{x∈Z|－2A．{x|－3C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
解析：选C　由集合M中的元素为整数可排除选项A和B，由2 N可排除选项D，故选C.
5．(创新命题情境)某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”“合格”两个等级，结果如表：
优秀 合格 合计
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为(　 )
A．5 B．10 C．15 D．20
解析：选C　用集合A表示除草优秀的学生，集合B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则 UA表示除草合格的学生， UB表示植树合格的学生，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都合格的人数为y，作出Venn图，如图．
由图可得20－x＋x＋30－x＋y＝45，化简得x＝y＋5，因为ymax＝10，所以xmax＝10＋5＝15.故选C.
6．(结合新定义·开放性问题)定义集合A和B的运算为A*B＝{x|x∈A，x B}，试写出含有集合运算符号“*”“∪”“∩”，并对任意集合A和B都成立的一个式子：________________.
解析：如图所示，利用Venn图，由题中的定义可得，A*(A∩B)＝{x|x∈A，x (A∩B)}＝{x|x∈(A∪B)，x B}＝(A∪B)*B.
故符合题意的式子为A*(A∩B)＝(A∪B)*B.
答案：A*(A∩B)＝(A∪B)*B(答案不唯一)
[课时验收评价]
1．已知集合Q＝{x|x2－2x≤0，x∈N}，且P Q，则满足条件的集合P的个数为(　 )
A．8 B．9 C．15 D．16
解析：选A　由不等式x2－2x≤0，解得0≤x≤2，即Q＝{x|0≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，又由P Q，可得满足条件的集合P的个数为23＝8.
2．(2022·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　 )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：选B　集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的个数为4.
3．(2021·全国甲卷)设集合M＝{1,3,5,7,9}，N＝{x|2x>7}，则M∩N＝(　 )
A．{7,9} B．{5,7,9}
C．{3,5,7,9} D．{1,3,5,7,9}
解析：选B　解不等式2x>7，得x>，则M∩N＝{5,7,9}．故选B.
4．(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，则 U(M∪N)＝(　 )
A．{5} B．{1,2} C．{3,4} D．{1,2,3,4}
解析：选A　由题意，得M∪N＝{1,2,3,4}．又U＝{1,2,3,4,5}，所以 U(M∪N)＝{5}．故选A.
5．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　 )
A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}
解析：选C　因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．
6．(2022·湛江一模)已知( RA)∩B＝ ，则下面选项中一定成立的是(　 )
A．A∩B＝A B．A∩B＝B
C．A∪B ＝B D．A∪B＝R
解析：选B　对于A选项，由A∩B＝A得A B，不妨设A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞0}，则( RA)∩B＝{x|0＜x≤1}≠ ，故A不满足题意；对于B选项，由A∩B＝B得B A，显然( RA)∩B＝ ，故B满足题意；对于C选项，由A∪B＝B得A B，同A选项，故C不满足题意；对于D选项，不妨设A＝{x|x≤1}，B＝{x|x＞0}，则( RA)∩B＝{x|x＞1}≠ ，故D不满足题意．故选B.
7．已知A＝{x||x|≤1}，B＝，则A∩( RB)＝(　 )
A．[－1,1] B．
C.∪ D．(－1,1)
解析：选C　∵A＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，B＝＝，∴ RB＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，＋∞))，∴A∩( RB)＝∪，故选C.
8.(2022·淄博模拟)已知全集U＝R，集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－<0))))，B＝{x||x|≤1}，则如图阴影部分表示的集合是(　 )
A．[－1,0) B．[－1,0)∪[1,2)
C．(1,2) D．(0,1)
解析：选C　解不等式1－<0得09．(2021·潍坊三模)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{3,4}，则集合{5}＝(　 )
A． U(A∪B) B．( UA)∪( UB)
C．( UA)∪B D．( UB)∪A
解析：选A　对于A， U(A∪B)＝{5}，故A正确；对于B，( UA)∪( UB)＝{3,4,5}∪{1,2,5}＝{1,2,3,4,5}，故B错误；对于C，( UA)∪B＝{3,4,5}∪{3,4}＝{3,4,5}，故C错误；对于D，( UB)∪A＝{1,2,5}∪{1,2}＝{1,2,5}，故D错误．故选A.
10．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A B，则实数a的取值范围是(　 )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
解析：选B　集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1a}，因为A B，所以a≤－1.
11．已知集合A＝，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－，m∈Z))))，C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝＋，n∈Z))))，则集合A，B，C的关系是(　 )
A．A?C?B B．C?A?B
C．A?C＝B D．A＝B＝C
解析：选C　∵集合C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝＋，n∈Z))))，
∴当n＝2a(a∈Z)时，x＝＋＝a＋；
当n＝2a＋1(a∈Z)时，x＝＋＝a＋.
又∵集合A＝，∴A?C.
∵集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－，m∈Z))))，
集合C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝＋，n∈Z))))，－＝＋，∴C＝B.综上可得A?C＝B.
12．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是(　 )
A．M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
解析：选BD　对选项A，因为M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对选项B，设M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，此时M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对选项C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，故C错误；对选项D，设M＝{x∈Q|x＜}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．
13．已知集合A＝{1，a2}，B＝{a，－1}，若A∪B＝{－1，a，1}，则a＝________.
解析：因为A＝{1，a2}，B＝{a，－1}，A∪B＝{－1，a,1}，所以a＝a2，解得a＝0或a＝1(舍去，不满足集合元素的互异性)．故a＝0.
答案：0
14．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠ ，则k的取值范围是________．
解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝，且M∩N≠ ，所以－≥－3，解得k≤6.所以k的取值范围是(－∞，6]．
答案：(－∞，6]
15．某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为________．
解析：将已知条件用Venn图表示出来如图所示，所以听讲座的人数为62＋7＋5＋11＋45＋4＋50＝184.
答案：184
16．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B A，则实数m的取值范围为________．
解析：由题意得，A＝{x|－1≤x≤6}．
当B＝ 时，m－1>2m＋1，即m<－2，满足B A.
当B≠ 时，若B A，则
解得0≤m≤.综上，m＜－2或0≤m≤.
答案：(－∞，－2)∪