课件69张PPT。第三章 三角函数、解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数重点难点
重点：①终边相同的角、轴线角和象限角的表示方法．②角度数与弧度数的换算．③三角函数的定义．④各三角函数值在每个象限的符号．
难点：①三角函数定义及符号．②弧度制．
基础梳理
1．任意角
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为_______、________、_______．正角负角零角②按终边位置不同分为_________和__________．
(2)终边相同的角
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)或α＋k·2π(k∈Z)．
象限角轴线角思考探究
1．终边相同的角相等吗？
提示：不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．2．弧度与角度的互化
(1)1弧度的角
长度等于_________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．
半径长(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝ .
(3)角度与弧度的换算3．任意角的三角函数
sinαcosαtanαMPOMAT思考探究
2．三角函数值和点P在角α的终边上的位置是否有关？
提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，对于确定的角α，其终边位置也就确定了，因此三角函数的大小只与角有关．课前热身
答案：D2．若α＝m·360°＋θ，β＝n·360°－θ(m，n∈Z)，则α、β终边的位置关系是( )
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
答案：C
答案：B
考点1 终边相同角的表示
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． (1)写出终边在直线y＝ x上的角的集合【思路分析】
利用终边相同的角进行表示及判断．
【规律小结】
利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍，然后判断角α所在的象限即可．
互动探究
若例1(3)中的α是第三象限角，
试确定2α， 终边所在的位置．
考点2 弧长与扇形的面积公式
涉及弧长和扇形面积的计算，可用的公式有角度和弧度两种表示方法，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用． (1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角；
(2)已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才能使扇形面积最大?【思路分析】
(1)设出圆心角θ、半径r，列方程组求解；(2)用r表示S，转化为关于r的二次函数．
∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大
即半径为10 ,圆心角为2时, 扇形面积
最大．
【名师点评】
应用上述公式时，要先把角统一用弧度表示．有关最值的问题，一般转化为求函数的最值，把所求问题表示成某一变量的函数，进而求得最值．
考点3 三角函数的定义
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题;若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的值
已知角α终边经过点P(x，【思路分析】【规律小结】
已知角α终边上一点P,应用定义求三角函数值时,需求出点P到原点的距离r,若点P的坐标含有字母，在字母的符号不确定的情况下需进行分类讨论．
方法技巧
1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．2．(1)三角函数线是有向线段，在用字母表示时，应分清其起点、终点，其顺序不能颠倒．
(2)三角函数曲线即三角函数的图象，与三角函数线是不同的概念，不要混淆．
3．sinα不是sin与α的乘积,它是一个比值,是三角函数记号,是一个整体,实质就是“f(x)”,其他几个三角函数也是这样．
4．怎样计算任意角的三角函数值
计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是：
(1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；
(2)正化主:当已知角是大于360°的角时,可用k·360°＋α 的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间(0°,360°)上的角的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90°到360°间的角时，可利用180°±α，360°－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果)．
失误防范
1．注意易混概念的区别:第一象限
角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°
＝π rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用
3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示．命题预测
从近几年的广东高考试题来看，以三角函数的定义为载体，求三角函数值成为这几年高考热点，试题一般以基础题为主，难度不会太大，属于中、低档题目．
预测2013年广东高考对三角定义及三角函数符号仍会考查．
典例透析
(2010·高考课标全国卷)如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为
角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )
【答案】 C
【名师点评】
本题出题角度新颖，考查了三角函数的定义、图象、性质及学生识图、用图的能力．试求若t＝π时，P点的坐标本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．已知sinθ＝，且θ在第二象限，那么2θ在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.sinθ＝＞，又θ在第二象限，故＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z，∴π＋4kπ＜2θ＜π＋4kπ，k∈Z，∴2θ在第三象限．
2．已知锐角α终边上一点P的坐标是(4sin3，－4cos3)，则α等于( )
A．3 B．－3
C．3－ D.－3
解析：选C.点P位于第一象限，
且tanα＝－cot3＝－tan＝tan，
∵3－∈，∴α＝3－.
3．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设圆半径为R，由题意可知：圆内接正三角形的边长为R.∴圆弧长为R.∴该圆弧所对圆心角的弧度数为＝.
4．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，则m的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B.r＝，
∴cosα＝＝－，∴m>0.
∴＝，∴m＝±.
∵m>0，∴m＝.
5．α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，则sinα的值为________．
解析：∵OP＝，∴cosα＝＝x，
又因为α是第二象限角，∴x<0，得x＝－，
∴sinα＝＝.
答案：
6．已知角α的终边落在直线y＝－3x(x<0)上，则－＝________.
解析：因为角α的终边落在直线y＝－3x(x<0)上，
所以角α是第二象限角，因此sinα>0，cosα<0，
故－＝－＝1＋1＝2.
答案：2
7．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sinα≥；
(2)cosα≤－.
解：
(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋π，k∈Z}．
(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋π≤α≤2kπ＋π，k∈Z}．
1．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．60°或120°
解析：选A.两式平方后相加得sin(A＋B)＝，
∴A＋B＝30°或150°，
又∵3sinA＝6－4cosB>2，∴sinA>>，
∴A>30°，∴A＋B＝150°，此时C＝30°.
2.
如图所示，已知x轴上一点A(1,0)按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ角(0<θ≤π)，经过2秒钟，点A在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角θ的弧度数为( )
A. B.
C.或 D.或
解析：选C.根据题意，角θ满足0<θ≤π，2θ的终边在第三象限，14θ的终边与OA重合．
∴2kπ＋π<2θ<2kπ＋，k∈Z,14θ＝2nπ，n∈Z，
∴
由①和②可知，θ∈(，)，
代入③，有<<，得4≤n≤5，
∴n＝4或5，∴θ＝或.
3．函数y＝sinx＋的定义域是________．
答案：(k∈Z)
4．下列四个命题
①若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα＝；
②若α>β且α、β都是第一象限角，则tanα>tanβ；
③若θ是第二象限角，则sincos>0；
④若sinx＋cosx＝－，则tanx<0.
其中正确命题的序号为________．
解析：①取a＝1，则r＝，sinα＝＝；
再取a＝－1，r＝，sinα＝＝－，故①错误．
②取α＝2π＋，β＝，可知tanα＝tan＝，tanβ＝，故tanα>tanβ不成立，②错误．
③∵θ是第二象限角，∴sincos＝sinθ>0，
∴③正确．
④由sinx＋cosx＝－<－1可知x为第三象限角，故tanx>0，④不正确．
答案：③
5．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝π(cm)，
S弓＝S扇－S△＝×π×10－×102×sin
＝50(－)(cm2)．
(2)法一：∵扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，
∴R＝，
∴S扇＝α·R2＝α()2＝α·
＝·≤，
∴当且仅当α＝，即α＝2(α＝－2舍去)时，
扇形面积有最大值.
法二：由已知2R＋l＝c，∴R＝(l∴S＝Rl＝··l＝(cl－l2)
＝－(l－)2＋，
∴当l＝时，Smax＝，此时α＝＝＝2.
∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.
6．(2012·东莞调研)已知向量a＝(m，－1)，b＝(sinx，cosx)，f(x)＝a·b且满足f＝1.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的最大值及其对应的x值；
(3)若f(α)＝，求的值．
解：(1)f(x)＝a·b＝msinx－cosx，
f＝1，即msin－cos＝1，所以m＝1，
所以f(x)＝sinx－cosx.
(2)f(x)＝sinx－cosx＝sin，
当x－＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)max＝.
(3)f(α)＝，即sinα－cosα＝，
则有(sinα－cosα)2＝，
所以2sinαcosα＝，
＝
＝2sinαcosα＝.
1．若点P在角π的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为( )
A．(1，) B．(，－1)
C．(－1，－) D．(－1，)
答案：D
2．(2011·高考山东卷)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为( )
A．0 B.
C．1 D.
解析：选D.∵点(a,9)在函数y＝3x的图象上，∴9＝3a，∴a＝2，∴tan＝tan ＝.
3．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．x轴上 B．y轴上
C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上
解析：选A.|cosα|＝1，则角α的终边在x轴上．故选A.
4．(2012·汕头质检)若＜α＜2π，则直线＋＝1必不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.判断cosα＞0，sinα＜0，数形结合．
5．(教材习题改编)弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．
答案：4 6π
6．已知角α与3α的终边相同，α∈(0,2π)，则α＝________.
解析：由条件知，3α＝α＋2kπ(k∈Z)，∴α＝kπ(k∈Z)．
∵α∈(0,2π)，∴α＝π.
答案：π
