课件69张PPT。第5课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
?重点难点
重点：三角函数的图象与性质．
难点：①五点法画图．②三角函数的单调区间．③三角函数图象的平移变换、对称变换和伸缩变换．④三角函数模型的应用．
基础梳理
1．简谐运动的有关概念Aωx＋φ2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点．如下表所示：
思考探究3．图象变换：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象可由函数y＝sinx的图象作如下变换得到：
(1)相位变换：y＝sinx→y＝sin(x＋φ),把y＝sinx图象上所有的点_______ (φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位向左( 2)周期变换：y＝sin(x＋φ) →y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标_________0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)到原来的 倍(纵坐标不变)．伸长(3)振幅变换:y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ),把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标伸长(A＞1)或_______
(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变),相位变换是平移变换，周期变换和振幅变换都是伸缩变换．
缩短课前热身
1．若直线y＝a与函数y＝sinx的图象相交，则相邻的两交点间的距离的最大值为( )答案：D
答案：C
考点1 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
利用五点作图法画三角函数图象的关键是准确找出五个关键点,在找五个关键点的过程中用到了“整体思想”,即把ωx＋φ看作一个整体． 设函数【思路分析】
要作函数的图象或讨论函数的性质，应先将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式．考点2 求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式
妙析y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的确定
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m， (2012·揭阳调研)已知函数(1)求f(x)的表达式；
(2)试写出f(x)的对称轴方程．
互动探究
在例2中,已知不变,求f(x)的对称中心考点3 三角函数模型的应用
(1)根据图象求出解析式或根据解析式作出图象．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．
如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与
地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
【思路分析】
(1)以圆心O为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义求出点B的纵坐标，则h与θ之间的关系式可求．(2)把θ用t表示出来，代入h与θ的函数关系式即可．
【误区警示】
在解答过程中易出现求得B的坐标为(4.8cosθ,4.8sinθ)的错误，导致错误的原因是没有理解三角函数的定义
方法技巧
1．五点法作函数图象及函数图象变换问题
(1)当明确了函数图象基本特征后，
“描点法”是作函数图象的快捷方式运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．
(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对自变量x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少
2．由图象确定函数解析式
由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定
A、ω、φ的题型，
失误防范
1．由函数y＝sin x(x∈R)的图象经过变换得到函数y＝A·sin(ωx＋φ)的图象,在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但要注意：先伸缩，后平移时要把x前面的系数提取出来．2．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性
命题预测
从近几年的广东高考试题来看,函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质一直是高考数学的热点内容之一,对其图象和性质的考查多为一个小题,一个大题,一般以基础题的形式出现,属于低、中档难度的题目,整个命题过程主要侧重于三角函数的图象及其变换、求三角函数的解析式
预测2013年广东高考，仍将以三角函数的图象及其变换，求三角函数的解析式为主要考点，重点考查数形结合的思想
典例透析
(本题满分12分)(2010·高考山东卷)已知函数【名师点评】
本题考查三角函数的恒等变换,已知三角函数值求角、三角函数的伸缩变换及三角函数的性质等知识，考查三角恒等变换能力、推理运算能力及利用所学知识综合分析、解决问题的能力
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1．要得到函数y＝－2sinx的图象，只需将函数y＝2cos
的图象上所有点的( )
A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平行移动个长度单位
B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个长度单位
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个长度单位
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个长度单位
解析：选C.把函数y＝2cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的两倍，得到函数y＝2cos的图象，再向左平移个长度单位，得到函数y＝2cos的图象，即y＝－2sinx.故选C.
2.
函数y＝tan的部分图象如图所示，则(O－)·＝( )
A．－4 B．2
C．－2 D．4
解析：选D.由题意知A(2,0)，B(3,1)，所以(－)·＝(1,1)·(3,1)＝4，故选D.
3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：选C.由T＝π＝得ω＝1，所以f(x)＝sin，则f(x)的对称轴为2x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以x＝为f(x)的一条对称轴，故选C.
4．(2010·高考辽宁卷)设ω>0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A. B.
C. D．3
解析：选C.由函数图象向右平移个单位后与原图象重合，得π是此函数周期的整数倍．又ω>0，∴·k＝π(k∈N*)，
∴ω＝k(k∈N*)，∴ωmin＝.
5．设函数y＝cosπx的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左到右依次为A1，A2，…，An，…，则A10的坐标是________．
解析：对称中心横坐标为x＝2k＋1，k∈N，令k＝9得x＝19.
答案：(19,0)
6．若函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－π，π]上单调递增，则ω的最大值为________．
解析：f(x)的包含原点的增区间是[－，]，
由题意知：[－π，π]?[－，]，
∴ω≤，∴ω的最大值为.
答案：
7．已知函数f(x)＝，g(x)＝sin2x－.
(1)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样的变化得出？
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合．
解：(1)f(x)＝cos2x＝sin
＝sin2，
所以要得到f(x)的图象只需要把g(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得到的图象向上平移个单位长度即可．
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＋
＝cos＋，
当2x＋＝2kπ＋π(k∈Z)时，h(x)min＝，
此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
1．(2010·高考安徽卷)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
解析：选D.∵T＝12，∴ω＝＝，
从而设y关于t的函数为y＝sin.
又∵t＝0时，y＝，∴φ＝，∴y＝sin，
∴2kπ－≤t＋≤2kπ＋，
即12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z时，y递增．
∵0≤t≤12，
∴函数y的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．
2．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，其导函数f′(x)的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)＝2sin(x＋)
B．f(x)＝4sin(x＋)
C．f(x)＝2sin(x＋)
D．f(x)＝4sin(x＋)
解析：选B.f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，
由图知＝4×，∴ω＝，又Aω＝2，
∴A＝4, 将点代入得φ＝，故选B.
3．函数y＝12sin＋5sin的最大值是________．
解析：y＝12sin＋5cos
＝12sin＋5cos
＝13sin，
故ymax＝13.
答案：13
4．给出下列命题：
①函数f(x)＝4cos的一个对称中心为；
②已知函数f(x)＝min{sinx，cosx}，则f(x)的值域为；
③若α、β均为第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ.
其中所有真命题的序号是________．
解析：对于①，令x＝－，则2x＋＝－＋＝－，有f＝0，因此为f(x)的对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f(x)的值域为；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°>60°，但sin 390°＝答案：①②
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图象关于点B(－，0)对称，点B到函数y＝f(x)图象的对称轴的最短距离为，且f()＝1.
(1)求A，ω，φ的值；
(2)若0<θ<π，且f(θ)＝，求cos2θ的值．
解：(1)依题意有＝4×＝2π，∴ω＝1.
又f(－)＝Asin(－＋φ)＝0，
∴sin(φ－)＝0.
∵0<φ<，∴－<φ－<，
∴φ－＝0，∴φ＝.
又f()＝Asin(＋)＝A＝1，
∴A＝.
(2)f(θ)＝sin(θ＋)＝sinθ＋cosθ＝
?1＋2sinθcosθ＝?2sinθcosθ＝－<0，
∵sinθ>0，∴cosθ<0，
∴sinθ－cosθ＝＝，
∴cos2θ＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝－.
6．已知函数f(x)＝sinxcosx＋＋a(a为常数)．
(1)求函数f(x)的最小正周期，并指出其单调减区间；
(2)若函数f(x)在上的最大值是2，试求实数a的值．
解：(1)∵f(x)＝sin2x＋＋a
＝sin＋＋a，
∴最小正周期T＝＝π，
单调递减区间为(k∈Z)．
(2)令u＝2x＋，
则f(u)＝sinu＋＋a，u∈，
f(x)的最大值为＋a＝2，解得a＝.
1．函数y＝3sin(x＋)的周期、振幅依次是( )
A．4π，3 B．4π，－3
C．π，3 D．π，－3
答案：A
2．函数y＝sin(2x＋)的图象( )
A．关于点(，0)对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点(，0)对称 D．关于直线x＝对称
答案：A
3．(2010·高考大纲全国卷Ⅱ)为了得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需把函数y＝sin(2x＋)的图象( )
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
答案：B
4．函数y＝的图象如图，则( )
A．k＝，ω＝，φ＝ B．k＝，ω＝，φ＝
C．k＝－，ω＝2，φ＝ D．k＝－2，ω＝2，φ＝
解析：选A.y＝kx＋1过(－2,0)，∴k＝.
y＝2sin(ωx＋φ)中，＝－＝π，
∴T＝4π，即＝4π，∴ω＝.
又y＝2sin过(0,1)点，∴φ＝，故选A.
5．若函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ值是________．
答案：kπ＋(k∈Z)
6．(2011·高考重庆卷)设函数f＝sin xcos x－cos(π＋x)cos x.
求f的最小正周期；
若函数y＝f的图象按b＝平移后得到函数y＝g的图象，求y＝g在上的最大值．
解：f＝sin 2x＋cos2x
＝sin 2x＋
＝sin 2x＋cos 2x＋
＝sin＋.
故f的最小正周期为T＝＝π.
依题意g＝f＋
＝sin＋＋
＝sin＋.
当x∈时，2x－∈，g为增函数，
所以g在上的最大值为g＝.
