课件59张PPT。第3课时 二项式定理重点难点
重点：二项式展开式的通项和二项式系数的性质.
难点：二项式系数的性质、二项式系数与项的系数的区别.基础梳理k＋1思考探究
在公式中，交换a，b的顺序对各项是否有影响？等距离当n是偶数时,__________取得最大值.
当n是奇数时，中间两项________ 和________相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和中间一项2n等于2n－1课前热身答案：B
答案：C3．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1＝________.
答案：1294．已知(x＋1)15＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝________.
答案：214
答案：35考点1 求展开式中的指定项
通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋15个元素，只要知道了其中的4个元素,就可以求出第5个元素，在求展开式中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为解方程(或方程组)．这里必须注意隐含条件n，r均为非负整数且r≤n.【思路分析】 利用通项公式，根据指定项的特点确定r的值，注意隐含条件的应用．【名师点评】 (1)解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；
(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．互动探究
1．本例题已知条件不变，问：“这个展开式中是否含有x的一次项？”若没有，请说明理由；若有，请求出．考点2 求二项展开式中系数最大的项
根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r＋1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并求解此不等式组求得． (1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
【思路分析】 根据已知条件求出n，再根据n的奇偶性，确定出二项式系数最大的项．【思维总结】 在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负符号.当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关,还与二项式有关．考点3 赋值法在二项展开式中的应用
赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意赋值要有利于问题的解决,可以取一个或几个值，常赋的值为0,±1.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数和，令x＝－1可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差,而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和． 若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，
求：(1)a7＋a6＋…＋a1；
(2)a7＋a5＋a3＋a1；
(3)a6＋a4＋a2＋a0.【思路分析】 所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值法”，即“赋值法”整体解决．
【解】 (1)令x＝0，则a0＝－1；
令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①
∴a7＋a6＋…＋a1＝129.【方法指导】 若(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
设f(x)＝(ax＋b)n.互动探究
2．在本例条件下求|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解：∵(3x－1)7展开式中，a7、a5、a3、a1均大于零，而a6、a4、a2、a0均小于零,∴|a7|＋|a6|＋…＋|a1|
＝(a1＋a3＋a5＋a7)－(a0＋a2＋a4＋a6)＋a0
＝8256－(－8128)－1＝16383.
考点4 组合数恒等式的证明
对于组合数恒等式的证明，一般从两个角度思考，角度一：构造排列组合模型，对所取元素分类，对应排列组合数，讨论求解；角度二：构造二项式定理，比较两端x的某次幂进行．
【思路分析】 从等式两端组合数的结构特征入手，从两个角度进行思考．【证明】 法一：构造排列组合模型来解，从n＋r个不同元素中取出m个元素的组合数，这件事也可这样来做，将n＋r个元素分为两类,一类中含有r个元素，另一类中含有n个元素，第一类中不取，第二类中取m个元素，【名师点评】 解决此类问题的关键是如何根据给定等式，如何构造组合模型，如何构造两个二项式的乘积,且注意x的哪一次幂．方法技巧失误防范
1．区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．
项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．2．切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念．
3．求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第几项．命题预测
从近几年的广东高考试题来看,考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主,如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题.
预测2013年广东高考，求二项展开式的特定项和特定项的系数仍然是考查的重点，同时应注意二项式系数性质的应用．典例透析【答案】 84
【名师点评】 本题同教材P40的第8(4)题相类似，考查了二项式定理中的通项公式和学生的运算能力、解决问题和分析问题的能力，难度较小．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．已知(x－)7展开式的第4项等于5，则x等于( )
A. B．－
C．7 D．－7
解析：选B.由T4＝Cx4(－)3＝5得x＝－，故选B.
2．若(x－)n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为( )
A. B.
C．－ D.
解析：选B.由题意知C＝＝15，所以n＝6，故(x－)n＝(x－)6，令x＝1得所有项系数之和为()6＝，故选B.
3．如果(3x2－)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为( )
A．10 B．6
C．5 D．3
解析：选C.∵Tk＋1＝C(3x2)n－k·(－)k
＝(－1)k·C3n－k·2k·x2n－5k，
∴由题意知2n－5k＝0，即n＝，∵n∈N*，k∈N，
∴n的最小值为5.
4．在(x＋y)n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于( )
A．13,14 B．14,15
C．12,13 D．11,12,13
解析：选D.分三种情况：(1)若仅T7系数最大，则共有13项，n＝12；(2)若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n＝11；(3)若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n＝13，所以n的值可能等于11,12,13.故选D.
5．若(x－)9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
解析：Tr＋1＝Cx9－rx－r(－a)r＝(－a)rCx9－2r.
令9－2r＝3，得r＝3.
∴x3的系数为－a3C＝－84，
∴a3＝1，∴a＝1.
答案：1
6．9192除以100的余数是________．
解析：9192＝(90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C·90＋C＝M×102＋92×90＋1(M为整数)＝100M＋82×100＋81.
∴9192除以100的余数是81.
答案：81
7．已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于(x2＋)5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．
解：由(x2＋)5得，
Tr＋1＝C(x2)5－r()r＝()5－r·C·x.
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
∴r＝4，∴常数项T5＝C×＝16.
又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n.
由题意得2n＝16，∴n＝4.
由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，∴Ca4＝54，∴a＝±.
1．(2011·高考课标全国卷)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A．－40 B．－20
C．20 D．40
解析：选D.令x＝1得5＝1＋a＝2，所以a＝1.
因此5展开式中的常数项即为5展开式中的系数与x的系数的和.5展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r·x－r＝C25－r·x5－2r·r.
令5－2r＝1，得2r＝4，即r＝2，因此5展开式中x的系数为C25－22＝80.令5－2r＝－1，得2r＝6，即r＝3，因此5展开式中的系数为C25－3·3＝－40.
所以5展开式中的常数项为80－40＝40.
2．已知a、b为常数，b>a>0，且a、－、b成等比数列，(a＋bx)6的展开式中所有项的系数和为64，则a等于( )
A．－ B.
C．－1 D.
解析：选B.由a、－、b成等比数列得ab＝，
由(a＋bx)6展开式中所有项的系数和为64得
(a＋b)6＝64，
∴，∴，∴a＝.
3．若C＝C(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.
解析：3n＋1＝n＋6或3n＋1＋n＋6＝23得n＝4或n＝(舍去)．令x＝－1，有44＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.
答案：256
4．(2012·东莞质检)二项式n展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中系数最大的项为________．
解析：T1＝C0n()n，T2＝C·()n－1·，T3＝
C()n－22，由条件知，2×C1n＝C0n＋2·C2n，
∵n≥2，∴n＝8，
展开式的第r＋1项Tr＋1＝Cr8()8－r·r
＝rCr8·x，
解得2≤r≤3，∵r∈Z，∴r＝2或3，
∴系数最大的项为T3＝2Cx0＝7和T4＝3Cx－＝7x－，
∴展开式中系数最大的项为7和7x－.
答案：7和7x－
5．已知(4 ＋)n展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.
(1)求含有x3的项；
(2)求二项式系数最大的项．
解：(1)由已知得C＝45，即C＝45，
∴n2－n－90＝0，解得n＝－9(舍)或n＝10，
由通项公式得Tr＋1＝C(4·x－)10－r(x)r.
＝C·410－r·x－＋r.
令－＋r＝3，得r＝6，
∴含有x3的项是T7＝C·44·x3＝53760x3.
(2)∵此展开式共有11项，
∴二项式系数最大项是第6项，
∴T6＝C(4x－)5(x)5＝258048x.
6．已知f(x)＝(ax＋2)6，f′(x)是f(x)的导数，若f′(x)的展开式中x的系数大于f(x)的展开式中x的系数，求a的取值范围．
解：f(x)的展开式中x的系数是C25a6－5＝192a，
f′(x)＝6(ax＋2)5·(ax＋2)′＝6a(ax＋2)5，
f′(x)的展开式中x的系数是6aC24a5－4＝480a2，
依题意得480a2＞192a，∴a＞或a＜0.
1．(教材习题改编)在(－)8的展开式中的常数项是( )
A．7 B．－7
C．28 D．－28
答案：A
2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
A．9 B．8
C．7 D．6
答案：B
3．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为( )
A．24 B．18
C．16 D．6
答案：D
4．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝( )
A．45 B．55
C．70 D．80
解析：选C.由二项式定理得
(1＋)5＝1＋C·＋C·()2＋C·()3＋C·(2)4＋C·()5
＝1＋5＋20＋20＋20＋4
＝41＋29，
∴a＝41，b＝29，a＋b＝70.故选C.
5．在n的二项展开式中，若常数项为60，则n等于________．
答案：6
6．(2012·浙江金华十校联考)在(＋)24的展开式中，x的幂指数为整数的项共有________项．
解析：展开式第r＋1项Tr＋1＝C()24－r·r
＝C·x12－，
∵12－为整数，0≤r≤24且r∈N，
∴r＝0,6,12,18,24.
答案：5
