课件56张PPT。第5课时 古典概型、几何概型重点难点
基础梳理
1．基本事件的特点
(1)基本事件是不能再分的事件，其他事件(不包括不可能事件)可以用它来表示.
(2)任何两个基本事件是互斥的.2．古典概型
(1)满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型：
①有限性：在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个；
②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的. 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______ (______或______)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为____________
(2)几何概型的概率公式长度面积体积几何概型．思考探究
古典概型与几何概型的区别是什么？
提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个．课前热身答案：A2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
答案：D
答案：C4．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为________．考点1 简单的古典概型问题
(1)计算古典概型事件的概率可分三步：
①算出基本事件的总个数n；②求出事件A所包含的基本事件个数m；③代入公式求出概率P. (2010·高考福建卷)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m,n∈{1,2,3,4}．
(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；
(2)若“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．【思路分析】 由am⊥(am－bn)转化为m，n的关系．
【解】 (1)有序数组(m，n)的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4),(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1),(3,2),(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3),(4,4)，共16个．互动探究
1．在本例题条件下求事件B：“am∥(am＋bn)”发生的概率．考点2 复杂的古典概型问题
求复杂事件的概率问题，关键是理解题目的实际含义，必要时将所求事件转化为彼此互斥事件的和，或者是先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率．【思路分析】 根据概率公式建立方程求出红球个数n.利用对立事件求解“至少有一个是红球的概率”．【思维总结】 本题的特殊之处在于由题设条件可以推出P(A)＝0，进而确定红球的个数．一般地，如果P(A)≠0,也可以通过组合数的计算,求出n的值．但在求解n的过程中，要注意组合数C中n，m的限制条件．考点3 几何概型问题
计算几何概型的基本思路
(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解．
(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D.(3)把随机事件A转化为与之对应的子区域d.
(4)利用几何概型概率公式计算． 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．
如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．【思路分析】 设出甲、乙两船到达时间，列出不等关系式．
【解】 设甲、乙两船到达的时间分别为x、y，则0≤x<24,0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.【规律方法】 几何概型中最常见的为与面积有关的问题，其方式有两种形式：一是与几何图形有关；二是一些实际问题(如会面型)可转化为面积型，解决这两类问题的关键是对所求事件A构成的区域形状及面积的计算作数形结合,直观明了．互动探究
2．本例条件不变，如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解：当乙船的停泊
时间为2小时，甲
船的停泊时间为4
小时，两船不需等
待码头空出,则满足x－y>2或y－x>4,方法技巧
1．事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件有多少个；第三,事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．回答好这三个方面的问题,解题才不会出错．
2．几何概型的两个特点：一是无限性,即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(总体积、长度)”之比来表示．
3．几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，二者的共同点是基本事件都是等可能的，不同点是基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的．基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关．失误防范
1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件数和事件发生数时，他们是否是等可能的．
2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝?时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(2)要计算P(A∪B),需要求P(A)、P(B),更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．
3．几何概型求解时应注意：
(1)对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数,建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．(2)由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关.命题预测
从近几年的广东高考试题来看，古典概型是高考的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计或随机变量的分布列一起考查，属容易或中档题．以考查基本概念、基本运算为主．而各地对几何概型考查相对较少，属中档题，主要考查基础知识．
预测2013年广东高考，古典概型仍然是考查的重点，同时应注意古典概型与统计、离散型随机变量结合命题．典例透析 (2010·高考课标全国卷)设函数y＝f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f(x)及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…,xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为________．【解析】 由0≤f(x)≤1可知曲线y＝f(x)与直线x＝0，x＝1，y＝0围成了一个曲边梯形．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形的面积为1,共有N对数，即有N个点，且满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的有N1个点,
【名师点评】 本题同教材P140的例4相类似，试题从表面来看难度较大，考生感到无从下手，其实很简单，面积比就等于点数比．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由Δ＝1－4n≥0得n≤，又n∈(0,1)，故所求事件的概率为P＝.
2．(2010·高考北京卷)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数有5种选法，从{1,2,3}中随机选取一个数有3种选法，由分步计数原理知共有5×3＝15种选法．而满足b>a的选法有：当b＝3时，a有2种，当b＝2时，a有1种，共有2＋1＝3种选法．由古典概型知b>a的概率P＝＝，故选D.
3．在区间上随机取一个数x，则使cosx的值介于0到之间的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.∵x∈，∴要使0≤cosx≤，应有－≤x≤－或≤x≤，由几何概型知，所求概率P＝＝.
4．(2012·广州调研)已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.
由得
D(4,2)，区域Ω为△OAB，区域A为△OCD，所求概率P＝＝＝.
5．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0，2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________．(结果用分数表示)
解析：基本事件总数为C.
∵B、C、D三点共线，A、C、E、F四点共线，
∴从六个点中任取三点能构成三角形的取法共有C－C－C(种)，故所求概率为P＝＝.
答案：
6．若集合A＝{a|a≤100，a＝3k，k∈N*}，集合B＝{b|b≤100，b＝2k，k∈N*}，在A∪B中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A∩B中的概率为________．
解析：易知A＝{3,6,9，…，99}，B＝{2,4,6，…，100}，
则A∩B＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16个．
A∪B中元素共有33＋50－16＝67个，
∴所求概率为.
答案：
7．(2010·高考山东卷)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.
故满足条件n1－P1＝1－＝.
1．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
解析：选B.到点O的距离小于等于1的点，组成一个以O为球心，1为半径的半球，
∵V正方体＝23＝8，V半球＝×π×13＝.
故所求概率为P＝＝1－.
2．某校体育器材室中共存放了A、B、C、D、E 5个篮球，甲、乙两位好友分别从中各随机选择一个，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的篮球中，“D”和“E”恰好只有一个被选中的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.甲、乙两位好友选择篮球的方法共有5×4＝20(种)，而D和E恰好只有一个被选中的选法有CCA＝12(种)，则D和E恰好只有一个被选中的概率为＝，选择C.
3．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<VS－ABC的概率是________．
解析：设三棱锥P－ABC的高为h，
∵VP－ABC<VS－ABC，
∴S△ABC×h<×S△ABC×3，
∴h<，即点P位于中截面以下，
故所求概率为：P＝1－＝.
答案：
4．(2012·梅州质检)已知一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形ABCD内的任意位置，如果通过大量的试验发现粒子落入△BCD内的频率稳定在附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为______．
解析：由几何概型知粒子落在△ABD与△CBD中的概率之比等于△ABD与△CBD的面积之比，而△ABD与△CBD的面积之比又等于点A和点C到直线BD的距离之比，所以点A和点C到直线BD的距离之比约为＝，故填.
答案：
5．投掷一个质地均匀的，每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；
(2)若以落在区域C内的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．
解：(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)九个，而这些点中，落在区域C内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)四个，
∴所求概率为P1＝.
(2)∵区域M的面积为4，而区域C的面积为10π，
∴所求概率为P2＝＝.
6．(2012·中山质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①设事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取两个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．
解：(1)由题意可知：＝，解得n＝2.
(2)将标号为2的小球记作a1，a2
①两次不放回抽取小球的所有基本事件为：(0,1)，(0，a1)，(0，a2)，(1,0)，(1，a1)，(1，a2)，(a1,0)，(a1,1)，(a1，a2)，(a2,0)，(a2,1)，(a2，a1)，共12个，
事件A包含的基本事件为：(0，a1)，(0，a2)，(a1,0)，(a2,0)，共4个．
∴P(A)＝＝.
②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4”，
(x，y)可以看成平面中的点，
则全部结果所构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，x，y∈Ω}，
∴P(B)＝＝＝1－.
1．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是( )
A．0.01 B．0.02
C．0.05 D．0.1
答案：C
2．甲、乙两人随意入住两个房间，则甲、乙两人同住一个房间的概率是( )
A. B.
C. D.
答案：C
3．(教材习题改编)在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，现从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：B
4．(2012·佛山调研)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为( )
A. B.
C. D．π
解析：选C.由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|<1，根据几何概型可知，动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为＝，故选C.
5．(2010·高考湖南卷)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为__________．
答案：
