课件57张PPT。第6课时 离散型随机变量及其分布列重点难点
重点：随机变量分布列的意义，两点分布、条件概率、独立重复试验等概念的理解及有关公式运用.
难点：各种概率分布的判断及应用.基础梳理
1．离散型随机变量
随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量．如果随机变量所有可能取的值,可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做___________随机变量．离散型如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做________随机变量.
2．离散型随机变量的分布列
(1)离散型随机变量的分布列
若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每一个连续型值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表p1p2pipn称为离散型随机变量X的概率分布列,简称X的分布列．有时为了表达简单,也用等式_____________________________表示X的分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n①________________________；
②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于这个范围内每个随机变量值的概率_______pi≥0，i＝1,2，…，n之和．思考探究
如何求离散型随机变量的分布列？
提示：首先确定随机变量的取值，求出离散型随机变量的每一个值对应的概率，最后列成表格．3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
若随机变量X的分布列是
, 1－pp则这样的分布列称为两点分布列．
如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称X服从______分布,而称p＝P(X＝1)为成功概率．
(2)超几何分布两点在含有M件次品的N件产品中，任取n件,其中恰有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为
________________________________,其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N,n,M,N∈N*.称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从______________
超几何分布给出了求解这类问题的方法，可以当公式直接运用．超几何分布．课前热身
1．袋中有3个白球，5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )
A．至少取到1个白球
B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
答案：C答案：C答案：C4．若某一射手射击所得环数X的分布列为则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是________．
答案：0.885．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为
答案：0.1 0.6 0.3考点1 离散型随机变量分布列的性质
要充分注意到分布列的两条重要的性质：
(1)pi≥0，i＝1,2，…；
(2)p1＋p2＋…＝1.
它们可用来判断是否为分布列，求值运算及检验结果正确性． 设离散型随机变量X的分布列为
求：2X＋1的分布列．
【思路分析】 先由分布列的性质，求出m，再由函数对应关系求出2X＋1的值及概率．【解】 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
∴m＝0.3.
首先列表为：从而由上表得2X＋1的分布列：【规律小结】 利用分布列的性质,可以求分布列中的参数值，对于随机变量的函数(仍是随机变量)的分布列,可以按分布列的定义来求．互动探究
本例题目条件不变，求|X－1|的分布列．解：考点2 离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量的分布列应按下述三个步骤进行：
(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率；
(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．
(2010·高考福建卷改编)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m,n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．【思路分析】 (2)由m的值确定m2的值,再求其概率．
【解】 (1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m,n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2),(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．故ξ的分布列为【规律方法】 分布列的求解应注意以下三点：
(1)清楚随机变量取每个值对应的随机事件；
(2)计算准确无误；
(3)运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确．考点3 超几何分布列
对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.【思路分析】 对于X服从超几何分布应明确N、M、n的意义．
【解】 (1)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A,设袋中白球的个数为x，于是可得其分布列为【规律小结】 在超几何分布中，可利用古典概型的计算公式和计数原理计算随机变量X取每个值的概率，并用表格的形式给出X的分布列．方法技巧
1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．
2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率．
3．解决概率问题的步骤第一步,确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验,把所给问题归结为某一种.
第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生等等.
第三步，运用公式求概率失误防范
掌握离散型随机变量的分布列须注意的问题
(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．(3)“互斥事件”与“相互独立事件”的区别
它们是两个不同的概念，相同点都是对两个事件而言的，不同点是：“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．命题预测
从近几年的广东高考试题来看，离散型随机变量的分布列是考查的热点，题型为解答题，分值为12分左右，属中档题，分布列常与排列、组合、概率、均值与方差等知识结合考查，以考查基本知识、基本概念为主．预测2013年广东高考，离散型随机变量的分布列仍然是考查的热点,同时应注意概率与分布列相结合的题目，重点考查学生的运算能力和理解能力．规范解答 (本题满分12分)(2010·高考广东卷)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)．重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图,如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
(3)从该流水线上任取5件产品,求恰有2件产品的重量超过505克的概率．【解】 (1)由频率分布直方图知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12(件).2分
(2)依题意Y的可能取值为0,1,2.3分∴Y的分布列为【名师点评】 本小题考查频率分布直方图的理解及应用，离散型随机变量的分布列，利用组合知识求概率等．
考生在解题时易出现错误为在第(3)问中计算超过505克的概率出错,误认为0.66.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )
A．ξ＝4 B．ξ＝5
C．ξ＝6 D．ξ≤5
解析：选C.“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.
2．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝9 D．n＝10
解析：选D.∵P(X＝k)＝(k＝1,2,3，…，n)，
∴0.3＝P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝.
∴n＝10.
3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝＝.
5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，
其中N＝6，M＝2，n＝3，则
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
答案：
6．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
解析：设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，
则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，
∴a＝，
由得－≤d≤.
答案：[－，]
7．某校积极响应《全民健身条例》，把每周五下午5∶00～6∶00定为职工活动时间，并成立了行政和教师两支篮球队，但由于工作性质所限，每月(假设为4周)每支球队只能组织两次活动，且两支球队的活动时间是相互独立的．
(1)求这两支球队每月两次都在同一时间活动的概率；
(2)设这两支球队每月能同时活动的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解：(1)设这两支球队在同一时间活动为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)由题易知ξ＝0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以，ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
1．随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(＜X＜)的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.∵P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，
∴＋＋＋＝1，∴a＝，
∵P(＜X＜)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：
an＝，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )
A．C2·5 B．C2·5
C．C2·5 D．C2·5
解析：选B.S7＝a1＋a2＋…＋a7＝3表示七次取球试验中，有2次取到红球，而一次取球中，取到红球的概率P1＝，
∴所求概率为P＝C2×5.
3．已知随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
m
则P(X＝10)＝________.
解析：由离散型随机变量的分布列知：
＋＋…＋＋m＝1
∴m＝1－2
＝1－2×＝，
∴P(X＝10)＝.
答案：
4．设随机变量X只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每一个值的概率均相等，则P(X＞8)＝________.若P(X＜x)＝，则x的范围是________．
解析：∵X取每一个值的概率都相等．
∴P(X＞8)＝P(X＝9)＋P(X＝10)＋P(X＝11)＋P(X＝12)＋…＋P(X＝16)＝＝.
(或P(X＞8)＝1－P(X≤8)＝1－P(X＝8)－P(X＝7)－P(X＝6)－P(X＝5)＝)
若P(X＜x)＝，则P(X＜x)＝P(X＝5)．
∴x∈(5,6]．
答案： (5,6]
5．袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球(球的大小均相同)，从中任取2个球，设每取出一个黑球得0分，每取出一个白球得1分，每取出一个红球得2分，已知得0分的概率为.
(1)求袋中黑球的个数及得2分的概率；
(2)设所得分数为ξ，求ξ的分布列．
解：(1)设有黑球x个，则＝，解得x＝4.
P(ξ＝2)＝＋＝.
(2)ξ可取0,1,2,3,4，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
6．(2011·高考山东卷)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
解：(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，，分别表示甲不胜A，乙不胜B，丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有：DE，DF，EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.
又由(1)知 F，E，D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋P(D )
＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，
P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.
由对立事件的概率公式得
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.35
0.4
0.15
因此Eξ＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.
1．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( )
A.
X
0
1
2
P
0.3
0.4
0.5
B.
X
0
1
2
P
0.3
－0.1
0.8
C.
X
1
2
3
4
P
0.2
0.5
0.3
0
D.
X
0
1
2
P
答案：C
2．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( )
A．2颗都是4点
B．1颗1点，另1颗3点
C．2颗都是2点
D．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点
答案：D
3．100张奖券中，有4张中奖，从中任取2张，则2张都中奖的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.P(X＝2)＝＝.
4．已知随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.3
x
0.1
则x＝________.
答案：0.3
5．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
a
b
则ab的最大值为________．
解析：由离散型随机变量的分布列的性质，
得0.1＋0.3＋a＋b＝1，即a＋b＝0.6，
由基本不等式得：ab≤2＝2＝0.09.
即ab的最大值为0.09.
答案：0.09
6．从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.96.
(1)求从该批产品中任取一件是二等品的概率p;
(2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列.
解：记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”，
则A0、A1互斥，且A＝A0∪A1,
故P(A)＝P(A0∪A1)＝P(A0)＋P(A1)
＝(1－p)2＋Cp(1－p)＝1－p2，
由条件知0.96＝1－p2，∵p≥0，∴p＝0.2.
(2)ξ的可能取值为0、1、2.∵该批产品共100件，
∴由(1)知其二等品有100×0.2＝20件，
故P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
