课件60张PPT。第8课时 离散型随机变量的均值与方差、正态分布重点难点
重点：理解掌握随机变量的期望、方差的概念和正态分布的概念.
难点：随机变量的期望与方差的意义、正态曲线的性质.基础梳理
1．均值
(1)若离散型随机变量X的分布列为则称EX＝_______________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的_______________
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝___________.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平．aEX＋bnpp2．方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为σX(2)D(aX＋b)＝___________.
(3)若X服从两点分布，则DX＝___________
(4)若X～B(n，p)，则DX＝_____________a2DXp(1－p)．np(1－p)．思考探究
1．随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？
提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差． (3)正态曲线的特点
①曲线位于x轴_____,与x轴________；
②曲线是单峰的，它关于直线________对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值_________；
④曲线与x轴之间的面积为_____；上方不相交x＝μ1⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定．_______，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越______；_______，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越_______σ越小集中σ越大分散．课前热身答案：B答案：B3．口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任意取3只球以X表示取出的球的最大号码，则X的期望EX的值是( )
A．4 B．4.5
C．4.75 D．5
答案：B4．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．
答案：0.75．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3次，每次1件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.考点1 离散型随机变量的均值与方差
求离散型随机变量X的均值与方差的方法步骤．
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．
(2)求X取每个值的概率．(3)写出X的分布列．
(4)由均值的定义求EX.
(5)由方差的定义求DX.
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(2)求p，q的值；
(3)求数学期望Eξ.【规律方法】 离散型随机变量的分布列、均值、方差是三个紧密相连的有机统一体，一般在试题中综合在一起进行考查．其解题的关键是求出分布列，然后直接套用公式即可．在解题过程中注意利用等可能性事件、互斥事件、相互独立事件或独立重复试验的概率公式计算概率．考点2 均值与方差的实际应用
离散型随机变量均值与方差的应用问题,一般应先分析题意，明确题目欲求的是均值还是方差，在此基础上将题中考查的数量指标用随机变量表示，把实际问题转化为随机变量的均值与方差．价格下降的概率都是p(0
(2)当EX1【思路分析】 (1)求分布列，应先确定X2的取值，再求X2的取值对应的概率；
(2)由EX1＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2
＝－p2－0.1p＋1.3.
(2)由EX11.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，
解得－0.4因为0p的取值范围是0关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1. 设X～N(5,1)，求P(6＜X＜7)．
【思路分析】 利用正态分布的对称性，P(6＜X＜7)＝P(3＜X＜4)．
【解】 由已知μ＝5，σ＝1.
∵P(4＜X＜6)＝0.6826，P(3＜X＜7)＝0.9544.
∴P(3＜X＜4)＋P(6＜X＜7)
＝0.9544－0.6826＝0.2718.【名师点评】 在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，而不是x＝0(μ≠0)．互动探究
若其他条件不变，则P(X≥7)及P(5＜X＜6)应如何求解？
解：由σ＝1，μ＝5，
P(3＜X＜7)＝P(5－2×1＜X＜5＋2×1)＝0.9544，方法技巧
1．释疑离散型随机变量的均值
(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．
(2)EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，它描述X取值的平均状态．(3)教材中给出的E(aX＋b)＝aEX＋b,说明随机变量X的线性函数Y＝aX＋b的均值等于随机变量X均值的线性函数．
2．离散型随机变量的方差
(1)DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度，失误防范
1．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要先将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布列，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差．2．离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E(ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定.
3．D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D(aξ＋b)≠aD(ξ)＋b，D(aξ＋b)≠aD(ξ)．4．在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要参数μ，σ求出，然后确定三个区间(范围)：(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ,μ＋2σ),(μ－3σ，μ＋3σ)与已知概率值进行联系求解．命题预测
从近几年的广东高考试题来看，离散型随机变量的均值与方差是高考的热点,题型为填空题或解答题，属中档题．常与排列、组合、概率等知识综合命题，既考查基本概念，又注重考查基本运算能力和逻辑推理、理解能力．预测2013年广东高考，离散型随机变量的均值与方差仍然是高考的热点,同时应特别注意均值与方差的实际应用．规范解答 (本题满分12分)(2010·高考浙江卷)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖．(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；
(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2)．【解】 (1)由题意得ξ的分布列为本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．(2010·高考广东卷)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝( )
A．0.1588 B．0.1587
C．0.1586 D．0.1585
解析：选B.根据正态分布的对称性得P(x>4)＝＝＝0.1587.
2．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则( )
A．m>n B．mC．m＝n D．不确定
解析：选C.正态总体N(1,9)的曲线关于x＝1对称，区间(2,3)与(－1,0)与对称轴距离相等，故m＝n.
3．某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且Eξ＝1.5，则a－b的值为( )
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A．－0.1 B．0
C．0.1 D． 0.2
解析：选B.?
故a－b＝0.
4．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
解析：选C.由ξ～N(0，σ2)，且P(ξ>2)＝0.023，
知P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.
5．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ＝________.
解析：当ξ＝0时，P(ξ＝0)＝＝，当ξ＝1时，P(ξ＝1)＝＝，当ξ＝2时，P(ξ＝2)＝＝，∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝.
答案：
6．若p为非负实数，随机变量ξ的概率分布如下表，则Eξ的最大值为________，Dξ的最大值为________.
ξ
0
1
2
P
－p
p
解析：Eξ＝p＋1≤(0≤p≤)；Dξ＝－p2－p＋1≤1.
答案： 1
7．一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款的概率；
(2)求η的分布列及期望Eη.
解：(1)设“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”为事件A，则“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”为事件.
P()＝(1－0.4)3＝0.216，
P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.
(2)η的可能取值为200元，250元，300元．
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝1－P(η＝200)－P(η＝250)
＝1－0.4－0.4＝0.2.
η的分布列为：
η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
Eη＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
1．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.记“同时取出的两个球中含红球个数”为X，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
EX＝0×＋1×＋2×＝.
2．某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球(球的大小相同)，参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元( )
A．450元 B．900元
C．600元 D．675元
解析：选D.摸到数字0的概率为，再摸一次，故得500元、400元、300元、0元的概率分别为×＝，故分布列为
ξ
1000
800
600
500
400
300
0
P
∴E(ξ)＝1000×＋800×＋600×＋500×＋400×＋300×＋0×＝675.
3．某县农民的月均收入ξ服从正态分布，即ξ～N(1000,402)，则此县农民月均收入在1000元到1080元间人数的百分比为________．
解析：P(1000<ξ≤1080)＝P(920<ξ≤1080)
＝P(1000－80<ξ≤1000＋80)
＝×0.9544＝0.4772.
答案：47.72%
4．(2011·高考湖北卷改编)已知随机变量ξ服从正态分布N，且P＝0.8，则P＝________.
解析：
∵P＝0.8，
∴P＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P＝P＝0.2，
∴P＝1－P－P＝0.6.
∴P＝P＝0.3.
答案：0.3
5．有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥)上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用η表示更换的面数，用ξ表示更换费用．
(1)求①号面需要更换的概率；
(2)求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；
(3)写出η的分布列，求ξ的数学期望．
解：(1)因为①号面不需要更换的概率为＝，
所以①号面需要更换的概率为P＝1－＝.
(2)根据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为P6(2)＝C()2()4＝＝.
(3)因为η～B(6，)，
又P6(0)＝＝，P6(1)＝＝，
P6(2)＝＝，P6(3)＝＝，P6(4)＝＝，
P6(5)＝＝，P6(6)＝＝.
η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
6
P
ξ＝100η，∴Eξ＝100Eη＝300.
6．(2012·深圳质检)在全球金融风暴背景下，某政府机构调查了某地工薪阶层10000人的月工资收入，并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图，请将频率当做概率解答以下问题：
(1)为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样方法从所调查的10000人中抽出100人做电话询访，则在(2000,3500](元)月工资收入段抽出多少人？
(2)为刺激消费，政府计划给该地所有工薪阶层的人无偿发放购物消费券，方法如下：月工资不多于2000元的每人可领取5000元的消费券；月工资在(2000,3500](元)间的每人可领取2000元的消费券；月工资多于3500元的每人可领取1000元的消费券．用随机变量ξ表示该地某一工薪阶层的人可领取的消费券金额，求ξ的分布列与期望．
解：(1)由直方图可得(2000,3500](元)月收入段共有
10000×(0.0005＋0.0005＋0.0003)×500＝6500(人)．
按分层抽样应抽出6500×＝65(人)．
(2)根据图表，某一工薪阶层的人可领取的消费券金额ξ取值为5000,2000,1000，对应的概率分别为0.3,0.65,0.05，…
其分布列如下：
ξ
5000
2000
1000
P
0.3
0.65
0.05
期望值E(ξ)＝5000×0.3＋2000×0.65＋1000×0.05＝1500＋1300＋50＝2850.
1．若随机变量X的分布列如下，则X的数学期望是( )
X
0
1
P
p
q
A.p B．q
C．1 D．pq
答案：B
2．正态总体N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则( )
A．P1＞P2 B．P1＜P2
C．P1＝P2 D．不确定
答案：C
3．一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的期望值是( )
A．0.83 B．0.8
C．2.4 D．3
答案：C
4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没有命中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次(每次罚球结果互不影响)的得分的数学期望是________．
答案：1.4
5．(2012·中山调研)如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，且D(ξ)＝2，则E(pξ－D(ξ))＝________.
解析：∵ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，∴np＝4，
又∵D(ξ)＝2，∴np(1－p)＝2，∴p＝，
∴E(pξ－D(ξ))＝E＝E(ξ)－2＝0.
答案：0
6．(2011·高考上海卷)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
x
1
2
3
P(ξ＝x)
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________.
解析：设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则
Eξ＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.
答案：2
