课件65张PPT。第2课时 排列与组合重点难点
重点：排列与组合的定义、计算公式，组合数的两个性质．
难点：组合数的性质和有限制条件的排列组合问题．基础梳理
1．排列与排列数
(1)排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，_________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．按照一定的顺序排成一列所有不同排列的个数2．组合与组合数
(1)组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素_____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．合成一组(2)组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_____________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作______.所有不同组合的个数思考探究
如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？
提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题．3．排列数、组合数的公式及性质n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)n！11课前热身
1．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A．8 B．24
C．48 D．120
答案：C2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，不同的选修方案共有( )
A．36种 B．48种
C．96种 D．192种
答案：C3．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )
A．60种 B．70种
C．80种 D．120种
答案：D4．7名志愿者安排6人在周六、周日参加宣传活动，若每天安排3人，则不同的安排方案有________种(用数字作答)．
答案：140答案：5或6考点1 排列数与组合数公式的应用排列数与组合数的计算问题，要注意依据排列数与组合数的公式及其变形，在计算过程中要注意阶乘的运算、组合数性质的使用，同时要注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解．【误区警示】 在解有关排列数(或组合数)的方程或不等式时，必须注意A(C)中的n是正整数，m是非负整数,且n≥m，求出方程或不等式的解后,要进行检验，把不符合的解舍去．考点2 排列、组合问题的类型及解答策略
排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活．实践证明，备考有效的方法是将题型与解法归类，识别模式、熟练运用．下面介绍常见排列组合问题的解答策略.
(1)相邻元素捆绑法．在解决某几个元素必须相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列． (2010·高考重庆卷)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A．504种 B．960种
C．1008种 D．1108种
【思路分析】 甲、乙相邻看作一个元素与其他元素一块排，由于丙不排在第1天，丁不排在第7天，因此按甲乙的排位进行分类.【答案】 C
(2)相离问题插空法．相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．【答案】 A
(3)定序问题属组合．排列时，如果限定某些元素或所有元素保持一定顺序称为定序问题，定序的元素属组合问题. 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是________. 【答案】 10
(4)定元、定位优先排法．在有限制条件的排列、组合问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑. (2010·高考山东卷)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A．36种 B．42种
C．48种 D．54种
【思路分析】 丙占最后一位不必考虑．“甲在前两位，乙不在第一位”,故应以甲为标准进行分类.【答案】 B
(5)至多、至少间接法．含“至多”、“至少”的排列组合问题，是需要分类问题．可用间接法，即排除法，但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况. 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的选法种数共有( )
A．140 B．80
C．70 D．35【答案】 C
(6)选排问题先选后排法．对于排列组合的混合应用题，一般解法是先选(组合)后排(排列). 四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有________种(用数字作答).
【解析】 先从四个小球中取两个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三【答案】 144
(7)部分符合条件淘汰法．在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求. 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( )
A．18对 B．24对
C．30对 D．36对【答案】 D
(8)数字问题首位不能为0. 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 ( )
A．300 B．216
C．180 D．162【答案】 C考点3 排列、组合的综合应用问题
解排列、组合的综合应用问题，要按照“先选后排”的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出(组合)，再对取出的元素进行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法．要根据实际问题探索分类、分步的技巧，做到层次清楚，条理分明． 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定要担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
【思路分析】 “先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考虑．【名师点评】 本题中不仅要选出5个元素，还要求分排在5个空位上，因此是一道“既选又排”的排列与组合的综合问题，该类问题的处理方法是“先选后排”，同时注意特殊元素优先安排的原则，若是选出5人而没有担任5项不同工作，将是“只选不排”即组合问题,二者是有区别的．方法技巧
1．对于有附加条件的排列组合应用题,通常从三个途径考虑：
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．
2．排列、组合问题求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化．失误防范
1．解决排列、组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列、组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．2．要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解,检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．命题预测
排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一．从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现，题型为选择题、填空题，题量多是一道，分值为4～5分,属于中档题．内容以考查排列、组合的基础知识为主．题目难度与课本习题难度相当，但也有个别题目难度较大，重点考查分析、解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法．预测2013年广东高考，排列、组合及排列与组合的综合应用仍是高考的重点，同时应注意排列、组合与概率、分布列等知识的结合，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．典例透析 (2011·高考大纲全国卷)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种 B．10种
C．18种 D．20种【答案】 B
【名师点评】 本题主要考查排列、组合问题，解决本题的关键是要注意到画册、集邮册都是相同的，应避免重复．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．(2010·高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．30种 B．35种
C．42种 D．48种
解析：选A.总共有C＝35种选法，减去只选A类的C＝1(种)，再减去只选B类的C＝4(种)，故有30种选法．
2．从5张100元，3张200元，2张300元的运动会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的不同的选法共有( )
A．70种 B．80种
C．90种 D．100种
解析：选C.基本事件的总数是C，在三种价格的门票中各自选取1张的方法数是CCC，故其对立事件“选取的3张中至少有2张价格相同”的不同的选法共有C－CCC＝90种．
3．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有( )
A．10种 B．20种
C．30种 D．60种
解析：选B.五个人有两个人的编号与座位号相同，此两人的选法共有C，假如编号为1、2的人坐的号为1、2，其余三人的编号与座号不同，共有2种坐法．
∴符合题意的坐法有2×C＝2×10＝20(种)．
4．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为( )
A．85 B．86
C．91 D．90
解析：选B.由题意，可分三类考虑：
(1)男生甲入选，女生乙不入选：CC＋CC＋C＝31；
(2)男生甲不入选，女生乙入选：CC＋CC＋C＝34；
(3)男生甲入选，女生乙入选：C＋CC＋C＝21，
∴共有入选方法种数为31＋34＋21＝86.
5．(2011·高考北京卷)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
解析：数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：
“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C＝4(个)四位数．
“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C＝6(个)四位数．
“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C＝4(个)四位数．
综上所述，共可组成14个这样的四位数．
答案：14
6．在连续自然数100,101,102，…，999中，对于{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，取三个不同且不相邻的数字按递增或递减的顺序排成的三位数有________个．
解析：分两类：①递减时，若有0，则0在个位，符合要求，从10个数字中选3个不相邻数字，相当于从10个位置中选3个不相邻的位置，故可将所选的3个位置插在其余7个位置的空位之中，故不同的情况共有C种；②递增时，不能有0，则应从1到9的9个数字中，选3个不相邻的数字，同①有C种，故所求的三位数有：C＋C＝91(个)．
答案：91
7．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．
解：(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下3本全选有C种选法．故共有CCC＝60种不同的分配方式．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，故共有CCCA＝360种不同的分配方式．
1．有6名男同学和4名女同学自左至右站成一排，其中女同学不相邻而且最右端必须是女同学的排法种数为( )
A．AA B．CAA
C．CCA D．AA
解析：选B.先从4个女生中取一人站在最右端有C种方法，把六个男生进行全排列，将3个女生插入6个男生的六个空中，有A种，共有CAA种排法．
2．身穿蓝、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有( )
A．48种 B．72种
C．78种 D．84种
解析：选A.法一：两种穿相同颜色衣服的人相邻的排法有AAA＝24种，只有一种穿相同颜色衣服的人相邻的排法有2(AA－24)＝48，则穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有A－24－48＝48，故选A.
法二：按穿蓝衣服的两人站位分有以下6类：
对于①②⑤⑥排上穿黄衣服的两人都只有两类方法．
第③类中排上穿黄衣服的两人只有一类方法．
第④类中排上穿黄衣服的两人有三类方法．
对于上述每一类安排方法，五人的不同站法共有AA＝4种，∴共有不同排法(4×2＋1＋3)×4＝48种．
3．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种(以数字作答)．
解析：(1)当有1名老队员时，其排法有CCA＝36(种)；(2)当有2名老队员时，其排法有C·C·C·A＝12(种)，∴共有36＋12＝48(种)．
答案：48
4．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．
解析：由于有两个o，只要在4个位置选2个安排即可，余下两个字母全排列，故4个字母所有的排法为CA＝12，写对的只有1种，故共有11种错误的可能．
答案：11
5．(1)以AB为直径的半圆上，除A、B两点外，另有6个点，又因为AB上另有4个点，共12个点，以这12个点为顶点共能组成多少个四边形？
(2)在角A的一边上有五个点(不含A)，另一边上有四个点(不含A)，由这十个点(含A)可构成多少个三角形？
解：(1)分类讨论：
A、B只含有一个点时，共有2(C＋CC)＝160(个)；
既含A又含B时，共有C＝15(个)；
既不含A也不含B时，共有C－1－CC＝185(个)．
所以共有160＋15＋185＝360(个)．
(2)含A点时，可构成CC＝20个三角形；
不含A点时，可构成CC＋CC＝70个三角形．
故共有20＋70＝90个三角形．
6．在空间直角坐标系O－xyz中有8个点：P1(1,1,1)、P2(－1,1,1)、…、P7(－1，－1，－1)、P8(1，－1，－1)(每个点的横、纵、竖坐标都是1或－1)，以其中4个点为顶点的三棱锥一共有多少个？
解：这8个点构成正方体的8个顶点，此题即转化成以正方体的8个顶点中的4个点为顶点的三棱锥一共有多少个，则共有三棱锥CC＋(CC－2×4－2)＋CC＝58个．
1．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是( )
A．8 B．12
C．16 D．24
答案：B
2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
答案：B
3．已知{1,2}?X?{1,2,3,4,5}，则满足这个关系式的集合X共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
答案：D
4．在10件产品中有三件是次品，则从中任取三件恰有一件次品的取法有________种．
答案：63
5．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程＋＝1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为________．
解析：由题意知：当m＝1时，n可等于2,3，…，8共对应7个不同的椭圆；当m＝2时，n可等于1,3，…，8共对应7个不同的椭圆．同理可得：当m＝3,4,5,6,7,8时各分别对应7个不同的椭圆．当m＝9时，n可等于1,2,3，…，8共对应8个不同的椭圆，同理，当m＝10时，对应8个不同的椭圆．综上所述，共7×8＋8×2＝72个．
答案：72
6．从集合{1,2,3,4,5,6}中任取两个元素作为双曲线－＝1中的几何量a、b的值，则“双曲线渐近线的斜率k满足|k|≤1”的概率为________．
解析：所有可能取法有A＝30种，由|k|＝≤1知b≤a，满足此条件的有C＝15种，∴所求概率P＝＝.
答案：
