课件57张PPT。第7课时 双曲线重点难点
重点：双曲线定义、标准方程与几何性
质．
难点：双曲线几何性质的应用和求双曲
线方程．基础梳理
1．双曲线的定义
(1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：
①与两个定点F1，F2的距离的________________等于常数2a.差的绝对值②2a_____|F1F2|.
(2)上述双曲线的焦点是________，焦距是________.＜F1、F2|F1F2|思考探究
当2a＝|F1F2|和2a＞|F1F2|时，动点的轨迹是什么？若2a＝0，动点的轨迹又是什么？提示：当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在；
当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．双曲线的标准方程及其简单几何性质x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a坐标原点(1，＋∞)2a实轴与虚轴y＝±x宽阔课前热身
1．平面内有两个定点F1、F2和一动点M，设命题甲：|MF1|－|MF2|是定值；命题乙：点M的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的( )A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
答案：A答案：D答案：D答案：22考点1 双曲线的定义
在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性． 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【思路分析】 利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．互动探究
若将例1中的条件改为：动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2及圆C2：(x－4)2＋y2＝2一个内切、一个外切，那么动圆圆心M的轨迹方程如何？考点2 双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程也是从“定形”
“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值．
【思路分析】 利用待定系数法，双曲线定义和双曲线系等知识求双曲线标准方程．【规律方法】 若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2＋ny2＝1(mn＜0)．考点3 双曲线的几何性质
(1)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)、“四线”(两条对称轴、两条渐近线)、“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形)来研究它们之间的相互联系，明确a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，简化解题过程．
【思路分析】 由渐近线方程过点(4，－2)寻找a与b的关系．【答案】 D方法技巧失误防范
1．注意双曲线的几何量a、b、c关系是c2＝a2＋b2应与椭圆区别．
2．在双曲线有关计算和证明中，要分清焦点在哪个轴上，不知道焦点位置时要分类讨论，或直接设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，据方程判断焦点的位置时，也要注意与椭圆的区别．椭圆看a与b的大小，双曲线看x2、y2系数的正负．
3．解决与双曲线上的点有关问题时，有时候还要区分点在哪支上．
5．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点．命题预测
从近几年的广东高考试题来看，双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，难度为中等偏高，主要考查双曲线的定义及几何性质，考查基本运算能力及等价转化思想．
预测2013年广东高考仍将以双曲线的定义及几何性质为主要考查点，重点考查学生的运算能力、逻辑推理能力．典例透析本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．若双曲线过点(m，n)(m＞n＞0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上
解析：选A.∵m＞n＞0，
∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，
故焦点在x轴上．
2．若k∈R，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是( )
A．－3＜k＜－2 B．k＜－3
C．k＜－3或k＞－2 D．k＞－2
解析：选A.由题意可知解得－3＜k＜－2.
3．(2010·高考大纲全国卷Ⅰ)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B.如图，设|PF1|＝m，|PF2|＝n.则
∴
∴mn＝4.∴|PF1|·|PF2|＝4.
4．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝( )
A. B．2
C. D．2
解析：选B.∵F1、F2为双曲线的左右焦点，∴F1(－，0)，F2(，0)，由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知，|＋|＝|2|＝2，故选B.
5．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．
解析：在椭圆C1中，由，得
椭圆C1的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
曲线C2是以F1、F2为焦点，实轴长为8的双曲线，
故C2的标准方程为：－＝1.
答案：－＝1
6．已知过点P(－2,0)的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程是________．
解析：由题意，
双曲线C的焦点在x轴上且为F1(－4,0)，
F2(4,0)，∴c＝4.
又双曲线过点P(－2,0)，∴a＝2.
∴b＝＝2，
∴其渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：x±y＝0
7．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解：椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.
∴＝3，得a＝3，b＝4，
∴双曲线G的方程为－＝1.
1．已知双曲线的焦点分别为F1(－5,0)、F2(5,0)，若双曲线上存在一点P满足|PF1|－|PF2|＝8，则此双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A.焦点在x轴上，由|PF1|－|PF2|＝8得a＝4，又c＝5，从而b2＝c2－a2＝9.所以双曲线的标准方程为－＝1.故选A.
2．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为( )
A. B．1
C. D．2
解析：选C.∵P是曲线C1与C2的交点，
∴联立方程组解之得，|y|＝，
∴S△PF1F2＝·|F1F2|·|y|＝×4×＝.故选C.
3．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意知＝c，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p，
∵p＝2c，＝4c，∴b2＝2ac，
∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0，解得e＝1±，
∵e>1，∴e＝1＋.
答案：1＋
4．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为______．
解析：设P(x0，y0)，由题意知x0≥1，且A1(－1,0)，F2(2,0)，则·＝(－1－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－x0－2，由P在双曲线x2－＝1上得x－＝1，所以y＝3x－3，所以·＝4x－x0－5＝4－5(x0≥1)，故当x0＝1时，(·)min＝－2.
答案：－2
5.
如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．
解：设双曲线方程为：－＝1(a＞0，b＞0)，
F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，
又∵S△PF1F2＝2，
∴|PF1|·|PF2|·sin ＝2，
∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.
又∵e＝＝2，∴a2＝，
∴双曲线的方程为：－＝1.
6．已知二次曲线Ck的方程：＋＝1.
(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
(2)若双曲线Ck与直线y＝x＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；
(3)m、n为正整数，且m解：(1)当且仅当，即k<4时，方程表示椭圆．
当且仅当(9－k)(4－k)<0，即4(2)法一：由化简得，
(13－2k)x2＋2(9－k)x＋(9－k)(k－3)＝0，
∵Δ≥0，∴k≥6或k≤4(舍)．
∵双曲线实轴最长，∴k取最小值6时，9－k最大即双曲线实轴最长，
此时双曲线方程为－＝1.
法二：若Ck表示双曲线，则k∈(4,9)，不妨设双曲线方程为－＝1，
联立消去y得，
(5－2a2)x2－2a2x－6a2＋a4＝0.
∵Ck与直线y＝x＋1有公共点，
∴Δ＝4a4－4(5－2a2)(a4－6a2)≥0，
即a4－8a2＋15≥0，∴a2≤3或a2≥5(舍)，
∴实轴最长的双曲线方程为－＝1.
法三：双曲线＋＝1中c2＝(9－k)＋(k－4)＝5，
∴c＝，∴F1(－，0)，不妨先求得F1(－，0)关于直线y＝x＋1的对称点F(－1,1－)，
设直线与双曲线左支交点为M，则
2a＝|MF2|－|MF1|＝|MF2|－|MF|≤|FF2|
＝＝2，
∴a≤，∴实轴最长的双曲线方程为－＝1.
(3)由(1)知C1、C2、C3是椭圆，C5、C6、C7、C8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点
设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，m∈{1,2,3}，n∈{5,6,7,8}
则根据椭圆、双曲线定义及·＝0(即PF1⊥PF2)，应有
，所以m＋n＝8.
所以这样的Cm、Cn存在，且或或.
1．(2010·高考安徽卷)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B.
C. D．(，0)
答案：C
2．(教材习题改编)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：A
3．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
答案：C
4．(2010·高考福建卷)若双曲线－＝1(b＞0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
答案：1
5．(2012·汕头质检)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点．若△ABF1是以B为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2的面积之比S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率等于________．
解析：∵S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，∴|AF2|∶|BF2|＝2∶1.
设|BF2|＝x，则|AF2|＝2x，|BF1|＝3x＝2a＋x，即a＝x，
所以|AF1|＝2x＋2a＝4x.
在△ABF1和△F1F2B中分别利用余弦定理可得：
cosB＝＝，
得c＝x，所以离心率e＝.
答案：
6．(2011·高考大纲全国卷)已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝__________.
解析：
在双曲线－＝1中，a2＝9，b2＝27，c2＝a2＋b2＝36，
∴F1(－6,0)，F2(6,0)．
如图，∵M(2,0)，∴|F1M|＝6＋2＝8，|F2M|＝6－2＝4.
在△F1AF2中，
AM为∠F1AF2的平分线，
∴＝，∴＝，即＝，∴|AF1|＝2|AF2|.
又||AF1|－|AF2||＝2a＝6，∴|AF2|＝6.
答案：6
