课件60张PPT。第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系重点难点
重点：直线与圆的位置关系，圆的切线方
程和弦长问题．
难点：圆的综合问题的解题思路．基础梳理
1．直线与圆的位置关系02d
r?直线与圆________．相交相切相离消元得到的一元二次方程的判别式为Δ，则Δ>0?直线与圆________；Δ＝0?直线与圆________ ；Δ<0?直线与圆_________．相交相切相离思考探究
在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？
提示：应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条．2．圆与圆的位置关系020课前热身答案：C2．已知M(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2(r＞0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝r2与此圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
答案：C答案：C4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
答案：x＋3y＝0考点1 直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系，常用两种方法：一是判断直线与圆的方程组成的方程组有无实数解，根据解的情况研究直线与圆的位置关系；二是依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系．
当a为何值时，直线x＋y－2a＋1＝0与圆x2＋y2－2ax＋2y＋a2－a＋1＝0相切？相离？相交？【思路分析】 通过圆心到直线的距离与圆的半径比较大小，判断直线与圆的位置关系．【方法指导】 用几何法判定直线与圆的位置关系的主要步骤是：
(1)把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径r.
(2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d.(3)判断：当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切；当d变式训练考点2 圆与圆的位置关系
(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．【思路分析】 求圆心距d与R＋r，R－r的关系．【思维总结】 两圆的公共弦所在的直线方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
若两圆相交于A、B两点，则直线AB的方程可利用作差得到，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(*)说明：方程(*)中D1－D2与E1－E2不同时为0，故方程(*)表示一条直线．而A、B两点坐标适合两圆方程，当然也适合方程(*)．故过A、B两点的直线方程为(*)．
考点3 圆的切线与弦长
(1)若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过P(x0，y0)点的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过点P(x0，y0)作圆C的切线，若点在圆上切线有一条；若点在圆外切线有两条．
(3)求弦长时可利用弦心距与半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．
【规律方法】 求切线的方程一般有三种方法：(1)设切点，利用切线公式；(2)设切线斜率，利用判别式；(3)设切线斜率，利用圆心到切线的距离等于圆的半径．互动探究
2．本例条件不变，若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．考点4 圆系方程
已知两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．【思路分析】 因所求圆过已知两圆C1、C2的交点，故可设出圆系方程，据点到直线的距离公式，求出参数λ即可．【名师点评】 由于圆系方程中不包括圆x2＋y2－4＝0，故应检验圆x2＋y2－4＝0是否满足条件．而直线l：x＋2y＝0显然通过该圆的圆心，故不满足条件．方法技巧2．过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
(1)几何方法
当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．(2)代数方法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．【注意】 过圆外一点作圆的切线有两条，若在解题过程中只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在，千万别发生遗漏．失误防范
1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．注意利用圆的性质解题，可以简化计算．例如，求圆外一点到圆上任意一点的最小距离或最大距离，利用两点的距离减去或加圆半径就很简便．
3．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在两种方法中都应注意斜率不存在的情况．命题预测
从近几年的广东高考试题来看，直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系等是高考的热点，三种题型都有可能出现，难度属中等偏高；客观题主要考查直线与圆的位置关系，弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、弦长等问题外，还考查基本运算、等价转化、数形结合等思想．
预测2013年广东高考仍将以直线与圆的位置关系为主要考点，考查学生的运算能力和逻辑推理能力．典例透析 (2010·高考广东卷)若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )【答案】 D
【名师点评】 本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系，考查学生的分析能力和运算能力．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9相交于A，B两点，则△ABC(C为圆心)的面积等于( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选A.圆C的圆心C(2，－1)，半径r＝3，
C到直线2x－y＝0的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝4，∴S△ABC＝×4×＝2.
2．直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
解析：选B.圆心到直线的距离
d＝＝2.直线与圆相切．
3．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选B.圆心(－5,12)到原点的距离为13，
∵≥14－13＝1，∴x2＋y2≥1.
4．过点(0，－1)作直线l与圆x2＋y2－2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y＋4＝0
B．3x－4y－4＝0
C．3x＋4y＋4＝0或y＋1＝0
D．3x－4y－4＝0或y＋1＝0
解析：选C.圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.圆心为(1,2)，半径r＝5，又|AB|＝8，从而圆心到直线的距离等于3.由点到直线的距离公式得直线方程为3x＋4y＋4＝0或y＋1＝0.故选C.
5．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为________．
解析：圆方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a，
由已知可得，解得a<－3或1答案：(－∞，－3)∪(1，)
6．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是________．
解析：圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a＋b＝1.
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.
当且仅当a＝b＝时取等号．
答案：4
7．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)，求：
(1)过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.
解：(1)圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.
当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．
当k存在时，设直线y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k，＝1，解得k＝.
∴直线方程为x＝3或y＝x＋.
(2)|AO|＝＝，
lAO：5x－3y＝0，点C到直线OA的距离d＝，
S＝d|AO|＝.
1．(2012·梅州质检)直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)，与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有( )
A．66条 B．72条
C．74条 D．78条
解析：选B.如图所示，在第一象限内，圆x2＋y2＝50上的整点有(1,7)、(5,5)、(7,1)，则在各个象限内圆上的整点的个数共有12个，此12个点任意两点相连可得C＝66条直线，过12个点的切线也有12条，又直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)不过坐标原点，故其中有6条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66＋12－6＝72条，故应选B.
2. 若关于x，y的方程组有解，且所有的解都是整数，则有序数对(a，b)所对应的点的个数为( )
A．24 B．28
C．32 D．36
解析：选C.x2＋y2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a，b)，所以有序数对(a，b)所对应的点的个数为32.
3．(2011·高考湖北卷)过点的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为__________．
解析：由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k，则直线方程为y＋2＝k，又圆的方程可化为2＋2＝1，圆心为，半径为1，
∴圆心到直线的距离d＝＝ ，
解得k＝1或.
答案：1或
4．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
解析：∵圆A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝3，
∵A到l的距离5，∴所求圆B的直径2r2＝2，
即r2＝.
设B(m，n)，则由BA⊥l得＝1，
又∵B到l距离为，∴＝，
解出m＝2，n＝2.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝2
5．在直线y＝2x＋1上有一点P，过点P且垂直于直线4x＋3y－3＝0的直线与圆x2＋y2－2x＝0有公共点，求点P的横坐标取值范围．
解：过点P且垂直于直线4x＋3y－3＝0的直线的斜率是k＝，设点P(x0,2x0＋1)，其方程是y－2x0－1＝(x－x0)，即3x－4y＋5x0＋4＝0，又圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，由圆心(1,0)到直线的距离小于或等于1可得．
≤1，∴－≤x0≤－，
∴P点的横坐标的取值范围是.
6．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
解：(1)如图所示，|AB|＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
∴|AD|＝2，|AC|＝4.
在Rt△ACD中，
可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，
则直线l的方程为：y－5＝kx，
即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：
＝2，得k＝，
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，
∴C·P＝0，
∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
1．(教材习题改编)直线4x＋3y－35＝0与圆x2＋y2＝49的位置关系为( )
A．相切 B．相离
C．相交 D．不确定
答案：A
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
答案：B
3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
答案：D
4．(2011·高考江西卷)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.∪
解析：选B.
C1：(x－1)2＋y2＝1，
C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±，
即直线处于两切线之间时满足题意，则－＜m＜0或0＜m＜.综上知－＜m＜0或0＜m＜.
5．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为________．
答案：(－，)
6．圆心在直线x＋y＝0上，且过圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程为________．
解析：设圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，
即x2＋y2＋x＋y－＝0(λ≠－1)，
圆心，∴－＝0，解得λ＝－2.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24－2(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，
即x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
答案：x2＋y2＋6x－6y＋8＝0
