课件55张PPT。第八章 立体几何第八章 立体几何第1课时 空间几何体的结构特征和三视图重点难点重点：①空间几何体(棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球及其组合体)的结构特征、性质. ②平行投影与中心投影性质，斜二测直观图画法规则与三视图画法原理、规则．
难点：柱、锥、台、球的几何性质的掌握与运用．基础梳理
1．空间几何体的结构特征全等公共顶点平行于底面相似矩形直角边直角腰2.空间几何体的三视图
(1)三视图的名称
几何体的三视图有：______、______、________
(2)三视图的画法
①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．正视图侧视图俯视图．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_____方、____方、______方观察几何体画出的轮廓线．
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是：正前正左正上斜二测(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为______________，z′轴与x′轴和y′轴所在平面_______
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行，平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中不变，平行于y轴的线段长度在直观图中________45°(或135°)垂直．减半．思考探究
空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有什么区别？
提示：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形．4．平行投影与中心投影
平行投影的投影线是______的，而中心投影的投影线__________平行交于一点．课前热身
1．(教材改编题)由6个面围成的几何体，不可能是( )
A．长方体 B．五棱锥
C．四棱台 D．四棱锥
答案：D答案：B3．若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为( )答案：D4．(2010·高考课标全国卷)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．
(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥⑥圆柱
答案：①②③⑤5．有一块多边形的菜
地，它的水平放置的平
面图形的斜二测直观图
是直角梯形(如图)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．考点1 空间几何体的结构特征
(1)准确理解几何体的定义，是真正把握几何体结构特征的关键．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． 下列命题中，正确的是( )
A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
【思路分析】 根据几何体的结构特征，借助熟悉的几何模型进行判定．
【解析】 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，C都不够准确，B中底面不一定为正多边形，故也不正确．
【答案】 D
【规律方法】 平时学习中，几种常见的多面体的结构特征
(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．
(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体．
(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱．考点2 几何体的三视图
对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置． 如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图．【解】 如图：【方法技巧】 画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”,注意虚、实线的区别，同时应熟悉一些常见几何体的三视图．解决由三视图想象几何体，进而进行有关计算的题目，关键是准确把握三视图和几何体之间的关系．互动探究
1．把本例中的几何体上、下颠倒后如图，试画出它的三视图．解：三视图：考点3 几何体的直观图
画几何体的直观图一般采用斜二测画法，步骤清晰易掌握，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握，在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查画法中角度和长度的变化． 已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．【解】 建立如图所示的坐标系xOy′,△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．【方法指导】 解决这类题的关键是根据斜二测画法求出原三角形的底边和高，将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形．其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段长度不变，而平行于y轴的线段长度变为直观图中平行于y′轴的线段长度的2倍．互动探究
2．若将本例中△A′B′C′的边长为a改为△ABC的边长为a，求原△ABC的面积改为求直观图△A′B′C′的面积，结果如何？方法技巧
1．辨析几种特殊的四棱柱
平行六面体、长方体、正方体、直四棱柱等都是一些特殊的四棱柱，要特别注意．(1)直四棱柱不一定是直平行六面体．
(2)正四棱柱不一定是正方体．
(3)长方体不一定是正四棱柱．
2．正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决．3．圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面．
失误防范
1．要特别注意棱柱定义中“其余各面都是平行四边形，且每相邻两个面的公共边都互相平行”的条件不能简化为“其余各面都是平行四边形”. 2．棱台的各侧棱延长线交于一点是判断棱台的主要依据，两底面平行是相似多边形．
3．旋转体的概念
(1)矩形绕一边旋转，应分清哪一边.
(2)直角三角形绕一条“直角边”旋转形成圆锥.(3)直角梯形绕“垂直于两底的腰”旋转形成圆台.
(4)球面与球是两个不同的概念，球面只是球的表面．
4．投影与直观图的概念
(1)平行投影的投射线互相平行，中心投影的投射线相交于一点. (2)直观图与原图形面积的关系讨论中,要牢记原来平行于y轴的变成夹角45°,长度减半.
(3)直观图与三视图的相互转化，应牢记柱、锥、台、球的图形特征及斜二测画法规则和正投影性质，特别注意侧视图的投影方向. (4)画图时，被遮挡部分应画成虚线，和平面几何不同，添加的辅助线被遮挡的画成虚线，否则应画实线.命题预测
从近几年的广东高考试题来看，几何体的三视图是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度中、低档．主要考查几何体的三视图，以及由三视图构成的几何体，在考查三视图的同时，又考查了学生的空间想象能力及运算与推理能力．
预测2013年广东高考仍将以空间几何体的三视图为主要考查点，重点考查学生读图、识图能力以及空间想象能力．典例透析
(2011·高考江西卷)
将长方体截去一个四棱
锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )【解析】 如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B,故选D.【答案】 D
【名师点评】 本题主要考查了空间几何体的三视图，考查了学生的空间想象能力，以及分析问题、解决问题的能力，属基础题．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( )
A．水平放置的角的直观图不一定是角
B．相等的角在直观图中仍然相等
C．相等的线段在直观图中仍然相等
D．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等
解析：选D.角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角；由正方形的直观图可排除B、C，故选D.
2．如图所示是水平放置三角形的直观图，D是BC边的中点，AB、BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB、AD、AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AC，最短的是AD
解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB
3. (2010·高考北京卷)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
解析：选C.由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.
4．(2012·中山调研)如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是( )
解析：选B.箭头所指正面的观察方向与底面直角三角形边长为4的边平行，故该边的射影为一点，与其垂直的直角边的长度3不变，高4不变，故选B.
5．如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由__________块木块堆成．
解析：由三视图知，由4块木块堆成．
答案：4
6．(2010·高考课标全国卷)正视图为一个三角形的几何体可以是________________(写出三种)．
解析：由于正视图为三角形，只需构造一个简单几何体，使得从正面看正好是三角形即可，例如圆锥、三棱锥、三棱柱、正四棱锥或有一侧棱垂直于底面，底面为矩形的四棱锥等，答案不唯一．
答案：圆锥、三棱锥、正四棱锥(答案不唯一)
7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
解：作出圆台的轴截面如图．
设O′A′＝r，
∵一底面周长是另一底面周长的3倍，
∴OA＝3r，SA′＝r，SA＝3r，OO′＝2r.
由轴截面的面积为(2r＋6r)·2r＝392，得r＝7.
故上底面半径为7，下底面半径为21，高为14，母线长为14.
1．圆锥轴截面的顶角θ满足<θ<，则侧面展开图中中心角α满足( )
A.<α< B.<α<
C.<α<π D．π<α<π
解析：选D.设圆锥母线长为R，底面圆的半径为r，
则r＝Rsin.又底面周长l＝2πr＝Rα，
即2πRsin＝Rα，∴α＝2πsin.
∵<θ<，∴∴π<α<π，故选D.
2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A.＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
解析：选D.设直观图为O′A′B′C′，建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，在原来的平面图形中OC⊥OA，且OC＝2，BC＝1，OA＝1＋2×＝1＋，故其面积为×(1＋1＋)×2＝2＋.
3. (2012·广州质检)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C－ABD，其正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为__________．
解析：根据这两个视图可以推知折起后二面角C－BD－A为直二面角，其侧视图是一个两直角边长为的直角三角形，其面积为.
答案：
4．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．
解析：空间四边形在上、下底面上的正投影是③；在右侧面上正投影(侧(左)视图)是②；在后侧面上正投影(正(主)视图)是①，故填①②③.
答案：①②③
5．一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长．
解：如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，
则OC＝x，∴＝，
解得x＝120(3－2)，
∴正方体的棱长为120(3－2) cm.
6.如图所示，已知三棱锥A－BCD的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且∠BAC＝30°，M、N分别在棱AC和AD上，求BM＋MN＋NB的最小值．
解： 将三棱锥A－BCD的侧面沿AB展开在同一平面上，如图所示．
∵AB＝AC，AC＝AD，BC＝CD，
∴△ABC≌△ACD，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
同理∠DAB′＝30°，
∴∠BAB′＝∠BAC＋∠CAD＋∠DAB′＝90°.
由图可知，当B、M、N、B′四点共线时，
BM＋MN＋NB取到最小值．
在△ABB′中，AB＝AB′＝1，∠BAB′＝90°，
∴BB′＝，
∴BM＋MN＋NB的最小值为.
1．下面命题中正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥
答案：D
2．以下命题正确的是( )
A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
答案：C
3．如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是( )
答案：B
4．(2011·高考浙江卷)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析：选B.由题意知，A、C中所给几何体的正视图、俯视图不符合要求，D中所给几何体的侧视图不符合要求．
5．下列图形①②③依次是正六棱柱的________视图，________视图，________视图．
答案：正 俯 侧
