课件66张PPT。第6课时 正弦定理和余弦定理重点难点
重点：正余弦定理及三角形面积公式．
难点：在已知三角形的两边和其中一
边对角的情况下解的讨论．
基础梳理
1．正弦定理和余弦定理b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.三角形中的常见结论
(1)A＋B＋C＝π；
(2)在三角形中大边对大角,大角对大边;
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3．解斜三角形的类型
解斜三角形有下表所示的四种情况：
4．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_______的角叫仰角，在水平线_______的角叫俯角(如图①)．
上方下方5．方位角：从正_____方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．北思考探究
2．仰角、俯角、方位角有何区别？
提示：三者的参照位置不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．课前热身
1．若点A在点B的北偏西30°，
则B点在A点的( )
A．北偏西30° B．北偏西60°
C．南偏东30° D．东偏南30°
答案：C
2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )
A．10° B．50°
C．120° D．130°
答案：D
3．在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )
答案：B
4．我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处,发现敌舰正由岛A沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行,我舰要用2小时追上敌舰，则需要的最小速度为________．
答案：14海里/小时
5．如图，为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A、B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，这条河的宽度为______
答案：60 m
考点1 正弦定理的应用
利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角． (1)(2010·高考山东卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a，b，c.【思路分析】
(1)先求出角B,再利用正弦定理求角A;
(2)直接利用正弦定理求解．
【方法总结】
已知三角形的两边和其中一边的对角,可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对角的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况
考点2 余弦定理的应用
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长．已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，【规律小结】
解三角形时,找三边一角之间的关系,常用余弦定理，两边两角之间的关系常用正弦定理．
考点3 三角形形状的判定
判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别． (2010·高考辽宁卷)在△ABC
中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,
且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)
sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1,试判断△ABC的形状．
【思路分析】
(1)把角的三角函数化为边，(2)把边化为角的三角函数．
【思维总结】
本题考查判断三角形形状，在解题过程中注意灵活利用正、余弦定理来求解．
互动探究
若本例条件变为：
sinC＝2sin(B＋C)cosB，
试判断三角形的形状．
考点4 三角形的面积公式
在△ABC中,A、B、C分别为三个内角,a、b、c分别为三个内角的对边,【名师点评】
本题综合性较强，所以公式的变形及灵活应用，应是训练的重点．
方法技巧
1．判断三角形形状的方法
根据所给条件确定三角形的形状，
主要有两条途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边．具体有如下四种方法：①通过正弦定理实施边角转换；
②通过余弦定理实施边角转换；
③通过三角变换找出角之间的关系；
④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨论．
2．解题技巧
在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosA＋cosB>0.简证如下：C有解?A＋B有解?0
cos(π－B)?cosA>－cosB?cosA＋cosB>0.因此判断C是否有解，只须考虑cosA＋cosB的符号即可．了解这一结论，对做选择题或填空题来说，将十分方便
失误防范
1．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解．注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．
2．一般地，sinα>sinβ?/ α>β，但在△ABC中，sinA>sinB?A>B.
3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”
4．在解实际问题时需注意的两个问题
(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找出这些角；
(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．
命题预测
从近几年的广东高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．预测2013年广东高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．
典例透析
(本题满分12分)(2011·高考湖北卷)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a＝1，b＝2，【名师点评】
本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力，此题的失分点是不能由a＜c，得出A＜C，A为锐角，从而使求解受阻．
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1．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则·的值等于( )
A．0 B．4
C．8 D．－4
答案：B
2．在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝(sinA－sinB)sinB，则角C等于( )
A. B.
C. D.
答案：B
3．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由＝，得b＝＝＝，
∵B角最小，∴最短边是b.
4．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
解析：选A.∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，
∴cosC＝＝－<0，即90°∴△ABC是钝角三角形．故选A.
5．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为________．
解析：利用余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝102＋202－2×10×20×(－)＝700，
∴AC＝10(km)．
答案：10 km
6．(2011·高考北京卷)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sin A＝，则a＝________.
解析：根据正弦定理应有＝，
∴a＝＝＝.
答案：
7．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，B＝π，b＝，a＋c＝4，求a的值．
解：由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accosB
＝a2＋c2－2accosπ
＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.
又∵a＋c＝4，b＝，∴ac＝3.
联立解得a＝1或a＝3.
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2＋c2－bc＝a2，且＝，则角C的值为( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：选C.由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝，∴A＝60°.
又＝，∴＝，
∴sinB＝sinA＝×＝，
∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°.
2．已知非零向量，和满足·＝0，且＝，则△ABC为( )
A．等边三角形 B．等腰非直角三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D.∵＝cos∠ACB＝，
∴∠ACB＝45°，
又∵·＝0，
∴∠A＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，故选D.
3．(2012·广州调研)△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________．
答案：
4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若b 2＋c2＝a2＋bc，且·＝4，则△ABC的面积等于________．
解析：∵b2＋c2＝a2＋bc，∴cosA＝＝，
∵·＝4，∴b·c·cosA＝4，∴bc＝8，
∴S＝AC·ABsinA＝×bc·sinA＝2.
答案：2
5.
如图，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米到达D处，回头看索道，发现张角∠ADC＝160°，从D处再攀登800米到达C处，问索道AC长多少？(精确到米，使用计算器计算)
解：在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.
∵∠ADC＝160°，∴∠ADB＝20°，∴∠DAB＝40°.
∵＝，
∴＝，∴AD≈538.9(米)．
在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝160°，
∴AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC
＝538.92＋8002－2×538.9×800·cos160°≈1740653.8，
∴AC≈1319(米)．
∴索道AC长约1319米．
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且·＝S△ABC(其中S△ABC为△ABC的面积)．
(1)求sinA的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积S△ABC＝3，求a的值．
解：(1)∵·＝SABC，∴bccosA＝×bcsinA，
∴tanA＝＝，
又sin2A＋cos2A＝1，A∈(0，π)，∴sinA＝.
(2)S△ABC＝bcsinA＝×2c×＝c＝3，∴c＝5.
∵sinA＝，tanA＝，∴cosA＝，
a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，∴a＝.
1．(教材习题改编)已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于( )
A．135° B．90°
C．45° D．30°
答案：C
2．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则A等于( )
A．60° B．45°
C．120° D．30°
答案：C
3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是( )
A. B.
C. D.
答案：C
4．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b等于( )
A．2 B．4＋2
C．4－2 D.－
解析：选A.由条件知只有一解，如图所示．
在△ABC中，由正弦定理得，
＝＝＝4，
∴b＝2.
5．(2010·高考广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝________.
答案：
6．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2.则角C＝________，a＝________.
解析：△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，
sinC＝＝，则C＝60°.
又由余弦定理可知
()2＝42＋a2－2·4·a·，
即a2－4a－5＝0，∴a＝5或a＝－1(舍)．
因此所求角C＝60°，a边长为5.
答案：60° 5
