课件63张PPT。第3课时 变量间的相关关系、统计案例重点难点
重点：1.利用散点图判断变量之间是否具有相关关系.2.求回归直线方程和利用回归直线作出估计.3.独立性检验．
难点：回归分析与独立性检验的应用．基础梳理
1．变量间的相关关系
相关关系
一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化，但其取值带有一定的_______，这样两个变量之间的关系叫做___________随机性相关关系．2．两个变量的线性相关
(1)散点图
将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…,n)描在平面直角坐标系中，表示两个变量关系的一组数据的图形叫做散点图.(2)正相关、负相关
散点图中各点散布的位置是从______到________的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．左下角右上角散点图中点散布的位置是从________到___________的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．
3．回归分析左上角右下角(1)回归直线方程的求法
①回归直线：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在_________________，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
②回归直线方程的求法——最小二乘法．一条直线附近样本点的中心．叫做y与x间的相关系数．简称相关系数．
当r>0时，表明两个变量________；
当r<0时，表明两个变量_________正相关负相关．R2越接近于1，模型的拟合效果越好．
4．独立性检验
2×2列联表.①当k2>10.828时，有99.9%的把握认为“X与Y有关系”．
②当k2>7.879时，有99.5%的把握认为“X与Y有关系”．
③当k2≤3.841时，认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”．课前热身
1．下列说法中正确的是( )
A．任何两个变量都具有相关关系
B．球的体积和球的半径具有相关关系
C．农作物的产量和施肥量之间是一种确定关系D．某商品的产量和该商品的价格之间是一种非确定关系
答案：D2．观察下列各图形，每个图中的两个变量具有相关关系的是( )
A．(1)(2) B．(1)(4)
C．(3)(4) D．(2)(3)
答案：C3．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是
( )
A．模型1的相关系数r为0.98
B．模型2的相关系数r为0.80C．模型3的相关系数r为0.50
D．模型4的相关系数r为0.25
答案：A4．下面是一个2×2列联表
则表中a、b处的值分别为________．
答案：52,54答案：11.69考点1 判断两个变量的相关关系
(1)判断两变量之间有无相关关系，一种常用的简便可行的方法是绘散点图．散点图是由数据点分布构成的，是分析研究两个变量相关关系的重要手段，从散点图中，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量是线性相关的．
(2)用回归直线进行拟合两个变量的关系． 5个学生的数学和物理成绩如下表：
画出散点图，判断它们是否有相关关系．【解】 以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关．【规律小结】 判断两变量是否有相关关系很容易将相关关系与函数关系混淆．相关关系是一种非确定性关系，即是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系是一种因果关系，如例1中以数学成绩为x轴，以物理成绩为y轴，建系描点后，可知两者并不是函数关系，而是相关关系,并且是线性相关关系．考点2 回归方程的求法及回归分析 (2012·佛山调研)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.【解】 (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示：互动探究
1．在本例条件下，若该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？解：由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．考点3 独立性检验 某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由．
【思路分析】 根据公式K2计算后与临界值比较．【规律小结】 独立性检验应注意的问题．
(1)在列联表中注意事件的对应及有关值的确定，避免混乱．
(2)若要求判断X与Y无关，应先假设X与Y有关系．互动探究
2．在本例条件下，如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？方法技巧
1．求回归方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意回归直线方程中一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同)
2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出回归直线方程．
3．独立性检验是一种假设检验，在对总体的估计中，通过抽取样本，构造合适的随机变量，对假设的正确性进行判断．失误防范
1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．2．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
3．r的大小只说明是否相关并不能说明拟合效果的好坏，R2才是判断拟合效果好坏的依据．4．独立性检验的随机变量K2＝2.706是判断是否有关系的临界值，K2<2.076应判断为没有充分证据显示X与Y有关系，而不能作为小于90%的量化值来判断．
命题预测
从近几年的广东高考试题来看，高考对此部分内容考查有加强趋势，主要是以考查独立性检验、回归分析为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想，在高考中多为选择、填空题，也有解答题出现．
预测2013年广东高考，散点图与相关关系仍是考查的重点，同时应注意线性回归方程、独立性检验在实际生活中的应用．典例透析 (2011·高考广东卷)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.【解析】 儿子和父亲的身高可列表如下：【答案】 185
【名师点评】 本题考查回归分析的基本知识，考查学生用回归分析的方法统计数据、分析数据的能力，考查考生的知识迁移的能力，难度中等．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．(2010·高考湖南卷)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200
C.＝－10x－200 D.＝10x－200
解析：选A.可判断B、D正相关，C不合实际意义．
2．最小二乘法的原理是( )
A．使得yi－(a＋bxi)]最小
B．使得yi－(a＋bxi)2]最小
C．使得y－(a＋bxi)2]最小
D．使得yi－(a＋bxi)]2最小
解析：选D.根据回归方程表示到各点距离的平方和最小的直线方程，即总体偏差最小，亦即yi－(a＋bxi)]2最小．
3．(2011·高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析：选B.∵＝＝，＝＝42.
又＝x＋必过(，)，∴42＝×9.4＋，∴＝9.1.
∴线性回归方程为＝9.4x＋9.1.
∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
4．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，得y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A．83% B．72%
C．67% D．66%
解析：选A.将＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.
5．如图所示，有5组(x，y)数据，去掉__________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．
解析：因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远，故去掉D点．
答案：D
6．(2010·高考广东卷)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：
年份
2005
2006
2007
2008
2009
收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是______，家庭年平均收入与年平均支出有__________线性相关关系．
解析：居民家庭的年平均收入按从小到大排列依次为：11.5、12.1、13、13.3、15，由中位数定义知年平均收入的中位数是13.画出散点图(图略)，由图可知家庭年平均收入与年平均支出具有正线性相关关系．
答案：13 正
7．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)判断性别与休闲方式是否有关系．
解：(1)2×2列联表如下：
休闲方式
性别
看电视
运动
总计
女
43
27
70
男
21
33
54
总计
64
60
124
(2)假设“休闲方式与性别无关”，
计算K2＝≈6.201，
因为K2≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”．
1．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
冷漠
不冷漠
总计
多看电视
68
42
110
少看电视
20
38
58
总计
88
80
168
则认为多看电视与人变冷漠有关系的把握大约为( )
A．99% B．97.5%
C．95% D．90%
解析：选A.可计算K2＝11.377>6.635.故选A.
2．对变量x，y的观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v的观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
解析：选C.由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．
3．(2011·高考辽宁卷)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.
答案：0.254
4．x和y的散点图如图，则下列说法中所有正确命题的序号为________．
①x，y是负相关关系；
②在该相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的相关指数为R，用y＝bx＋a拟合时的相关指数为R，则R>R；
③x、y之间不能建立回归直线方程．
解析：①显然正确；由散点图知，用y＝c1ec2x拟合的效果比用y＝bx＋a拟合的效果要好，∴②正确；x、y之间能建立回归直线方程，只不过预报精度不高，∴③不正确．
答案：①②
5．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据，得线性回归方程＝－2x＋a.当气温为－4 ℃ 时，预测用电量的度数约多少？
解析：＝(18＋13＋10－1)＝10，
＝(24＋34＋38＋64)＝40，
∴a＝－(－2)×＝60，
∴线性回归方程为＝－2x＋60，令x＝－4得，＝68.
即用电量约为68度．
6．某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x之间的一组数据如下：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
已知：x＝280，y＝45309，xiyi＝3487，此时r0.05＝0.754.
(1)求，；
(2)判断纯利润y与每天销售件数x之间是否线性相关．
解：(1)＝(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，
＝(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86，
(2)根据已知x＝280，y＝45309，xiyi＝3487，
得相关系数
r＝≈0.973.
由于0.973>0.754，所以纯利润y与每天销售件数x之间具有显著的线性相关关系．
1．下列关系中，是相关关系的为( )
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；
②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；
④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
答案：A
2．有关线性回归的说法，不正确的是( )
A．具有相关关系的两个变量是非确定关系
B．散点图能直观地反映数据的相关程度
C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D．散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强
答案：D
3．对于事件A和事件B，通过计算得到K2的观测值k≈4.514，下列说法正确的是( )
A．有99%的把握说事件A和事件B有关
B．有95%的把握说事件A和事件B有关
C．有99%的把握说事件A和事件B无关
D．有95%的把握说事件A和事件B无关
答案：B
4．对于两个变量y与x，分别选择了4个不同模型，计算得它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( )
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
解析：选A.相关指数越大，模型的拟合效果越好．
5．据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系？__________(填“是”或“否”)．
答案：否
