课件66张PPT。第7课时 对数与对数函数重点难点
重点：①对数的概念、性质、运算法则、换底公式．②对数函数的概念、图象与性质．难点：①对数的换底公式．
②对数函数在a>1与0
基础梳理
1．对数的概念及运算法则
(1)对数的定义
如果___________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_____________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．ax＝N(a>0，且a≠1)x＝logaN思考探究
1．由定义可知对数的底数与真数的取值范围是什么？
提示：底数大于零且不等于1，真数大于零．(2)对数的常用关系式
①对数恒等式：alogaN＝___________________；
换底公式：_______________________________________N(a>0且a≠1，N>0)________________________________________logad(d>0，a、b、c均大于0且不等于1)(3)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那
么①loga(M·N)＝_______________；
logaM＋logaN______________logaM－logaN③logaMn＝__________ (n∈R)；nlogaM思考探究
2．若MN>0，运算法则①②还成立吗？
提示：不一定成立． 2．对数函数的图象与性质(0，＋∞)(1,0)y<0y>0增函数减函数3.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数_______________________互为反函数，它们的图象关于直线
y＝x对称
y＝logax(a>0且a≠1)课前热身
1．下列4个数中最大的是( )
A．(ln2)2 B．ln(ln2)
答案：D
2．在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，
实数a的取值范围是( )
A．a＞5或a＜2
B．2＜a＜5
C．2＜a＜3或3＜a＜5
D．3＜a＜4
答案：C
3．(2010·高考山东卷)函数f(x)
＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案：A
答案：5
5．若函数y＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则a＋b＝________.
答案：4
考点1 对数式的化简与求值
(1)化同底是对数式变形的首选方向，其中经常用到换底公式及其推论．
(2)结合对数定义，适时进行对数式与指数式的互化．(3)利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化．
(1)计算：lg5(lg8＋lg1000)＋【解】(1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3lg22
－lg6＋lg6－2
＝3lg5lg2＋3lg5＋3lg22－2
＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2
＝3lg2＋3lg5－2
＝3(lg2＋lg5)－2 ＝1.【方法指导】
对数的运算常有两种解题思路：一是将对数的和、差、积、商、幂转化为对数真数的积、商、幂；二是将式子化为最简单的对数的和、差、积、商、幂，合并同类项后再进行运算，解题过程中，要抓住式子的特点，灵活使用运算法则，
如lg2＋lg5＝1，lg5＝1－lg2等．
互动探究考点2 对数函数的图象与性质
研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象．特别地，要注意底数a>1与0A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
【思路分析】
(1)作出图象找出a、b的关系．(1)【解析】如下图，
由f(a)＝f(b)，得|lga|＝|lgb|.
【答案】 C
(2)【解】 ∵f(x)＝logax，
则y＝|f(x)|的图象如图：
由图示，
考点3 对数函数的综合问题
无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质，首先要分清其底数a∈(0,1)还是a∈(1，＋∞)，其次再看定义域．如果将函数变换，务必保证等价性．
已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数？若存在，求出a的取值范围．【思路分析】【解】 ∵a>0，且a≠1，
∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数
又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，
∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，
【误区警示】
本题易忽视2－a>0这一条件，而得到a>1的错误答案，失误的原因是没有保证u＝2－ax在[0,1]上恒为正．
互动探究
2．若将本例中的函数与区间分别变为f(x)＝log2(x2－ax－a),(－∞,1],则实数a的存在情况如何？
方法技巧
1．指数式ab＝N(a>0且a≠1)与对数式logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．2．在运算性质logaMn＝nlogaM(a>0且a≠1，M>0)时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
4．常见复合函数类型
失误防范
1．同底数的对数比较大小用单调性．同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指数式．要注意与中间量0、1的比较．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象越靠近y轴(逆时针底数依次变小),在直线x＝1右侧,底大图低(区分x轴上方与下方)．2．指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
3．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．
命题预测
从近几年的广东高考试题看，对数函数的性质是高考的热点，题型一般为选择题、填空题，属中低档题，主要考查利用对数函数的性质比较对数值大小，求定义域、值域、最值以及对数函数与相应指数函数的关系．
预测2013年广东高考仍将以对数函数的性质为主要考点，重点考查运用知识解决问题的能力．
典例透析
(2011·高考江西卷)若f(x)【答案】 C
【名师点评】
本题考查求函数定义域的方法、对数函数的性质及运算，属于容易题.在求解时应注意真数大于0.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．当0A．都是增函数
B．都是减函数
C．①是增函数，②是减函数
D．①是减函数，②是增函数
解析：选A.①②均为偶函数，且00时，y＝a|x|为减函数，y＝loga|x|为减函数，∴当x<0时，①②均是增函数．
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝( )
A．log2x B．logx
C. D．x2
解析：选B.y＝ax?x＝logay，f(x)＝logax，
a＝loga＝?f(x)＝logx.
3．(2010·高考天津卷)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．aC．a解析：选D.a＝log54<1，log531，故b4．(2010·高考辽宁卷)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
解析：选A.由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝logm2＋logm5＝logm10.
∵＋＝2，∴logm10＝2，∴m2＝10，m＝.
5．已知f(x)＝|log2x|，则f()＋f()＝________.
解析：f()＋f()＝|log2|＋|log2|＝3－log23＋log23－1＝2.
答案：2
6．若xlog32＝1，则4x＋4－x＝________.
解析：由已知得：x＝＝log23.
∴4x＋4－x＝4log23＋4－log23＝(2log23)2＋(2log23)－2
＝32＋3－2＝.
答案：
7．计算：(1)|1＋lg0.001|＋ ＋lg6－lg0.02；
(2).
解：(1)原式＝|1－3|＋|lg3－2|＋lg300
＝2＋2－lg3＋lg3＋2＝6.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝＝＝1.
1．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有( )
A．f()B．f()C．f()D．f(2)解析：选C.由f(2－x)＝f(x)，得x＝1是函数f(x)的一条对称轴，又x≥1时，f(x)＝lnx单调递增，
∴x<1时，函数单调递减．∴f()2．设0A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，loga3) D．(loga3，＋∞)
解析：选C.∵0即a2x－2ax－2>1，∴(ax)2－2ax－3>0，
∴ax>3或ax<－1(舍)∴x3．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝________.
解析：∵f(x＋2)＝f(x－2)，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)周期为4，
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，
∵16<20<32，∴4∴f(log220)＝f(log220－4)＝f＝－f
＝－f＝－＝－1.
答案：－1
4．已知函数f(x)＝则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是________．
解析：当x≤0时，3x＋1>1?x＋1>0，∴－1当x>0时，log2x>1?x>2，∴x>2.
综上所述，x的取值范围为{x|－12}．
答案：{x|－12}
5．已知函数f(x)＝loga(a＞0，b＞0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性．
解：(1)使f(x)有意义，则＞0，
∵b＞0，∴x＞b或x＜－b，
∴f(x)的定义域为{x|x＞b或x＜－b}．
(2)由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
∵f(－x)＝loga＝loga
＝loga()－1＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
6．已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝ax－1(a>1且a≠1)的图象关于直线y＝x－1对称，并且y＝f(x)在区间[3，＋∞)上总有f(x)>1.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求实数a的取值范围．
解：(1)设点(x，y)是函数y＝f(x)的图象上的任一点，
且点(x，y)关于直线y＝x－1的对称点为(x0，y0)，
则点(x0，y0)是函数y＝ax－1图象上的点．
∴解得
∵y0＝ax0－1，∴x－1＝ay，∴y＝f(x)＝loga(x－1)．
(2)∵y＝f(x)在区间[3，＋∞)上总有f(x)>1，且对任意x≥3，有x－1≥2，
∴当a>1时，有loga(x－1)≥loga2，
∴loga2>1，解得a<2.∴1当0∴不符合题意，
∴满足题意的a的取值范围是{a|1
1．函数y＝log5(2－x)＋的定义域为( )
A．(0,2) B．(1,2)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1,2)
答案：D
2．(2010·高考浙江卷)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
3．(2011·高考大纲全国卷)函数y＝2(x≥0)的反函数为( )
A．y＝(x∈R) B．y＝(x≥0)
C．y＝4x2(x∈R) D．y＝4x2(x≥0)
解析：选B.∵y＝2(x≥0)，∴＝，∴x＝，互换x、y得y＝(x≥0)，因此y＝2(x≥0)的反函数为y＝(x≥0)．
4．对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：
①loga(1＋a)＜loga；②loga(1＋a)＞loga；
③a1＋a＜a1＋；④a1＋a＞a1＋.
其中成立的是( )
A．①与③ B．①与④
C．②与③ D．②与④
解析：选D.由于0＜a＜1?a<?1＋a<1＋，
∴loga(1＋a)＞loga，a1＋a＞a1＋.∴选D.
5．(2012·汕尾调研)函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，若f(x1)－f(x2)＝1，则f(x)－f(x)等于( )
A．2 B．1
C. D．loga2
解析：选A.x1＞0，x2＞0，
f(x)－f(x)＝logax－logax
＝2(logax1－logax2)＝2[f(x1)－f(x2)]＝2.
