课件56张PPT。第9课时 函数与方程重点难点
重点：①函数的零点和方程解的联系。②运用数形结合判定方程解的分布．
难点：①二次方程根的分布问题．
②二分法的应用．
基础梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_____________成立的实数x叫做
函数y＝f(x)(x∈D)的零点．f(x)＝0(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与________有交点?函数y＝f(x)有_________．x轴零点思考探究
1．是否任意函数都有零点？
提示：并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间_________内有零点,即存在c∈(a，b)，使得__________，这个___也就是f(x)＝0的根．f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c思考探究
2．在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？
提示：在上面的条件下,(a，b)内的零点至少有一个c,还可能有其他零点,个数不确定．2．二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零
点的关系
(x1,0)(x2,0)3．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间___________，使区间的两个端点逐步逼近_________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
f(a)·f(b)<0一分为二零点课前热身
1．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)f(2)f(4)＜0，则函数f(x)在下列区间有零点的是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．(0,4)
答案：D2．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有4个交点，则该函数的所有零点之和为( )
A．0 B．2
C．1 D．4
答案：A
4．若函数f(x)＝ax－b(a，b≠0)有一个零点是－ ，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
答案：0或－2
3．关于x的方程exlnx＝1的实根个数是________．
答案：1
5．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
答案：a＞1
考点1 函数零点的求解与判断
判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
判断函数f(x)＝4x＋x2－ x3在区间[－1,1]上零点的个数,并说明理由
【思路分析】 借助函数零点存在性定理和函数在[－1,1]上的单调性来判断．
【规律小结】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．
互动探究
1．若例1中x的范围改为R，试回
答原来问题．
解：∵f′(x)＝4＋2x－2x2，
令f′(x)＝0，∴x＝2，－1.
∴x＝2是f(x)的极大值点．
x＝－1是f(x)的极小值点，考点2 二分法求方程的近似解
用二分法求函数零点近似值的步骤，可借助于计算器一步步地求解，也可以借助于表格或数轴逐步缩小零点所在的区间，而运算终止的条件是区间长度小于精确度ε. 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点．(精确度0.1)
【思路分析】 依据二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤．
【解】 由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，∴f(x)在区间[1,1.5]上存在零点．取区间(1，1.5)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：
∵|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1，
∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125，1.375]内，故函数零点的近似值为1.3125.
【方法指导】
求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度ε，当区间长度小于精确度ε时,运算即告结束,此时区间内的任何一个值均符合要求,而我们通常取区间的一个端点值作为近似解．
考点3 函数零点的综合应用
函数零点的应用主要体现了函数与方程的思想，函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0,然后通过方程进行研究.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决,函数与方程的思想是中学数学的基本思想．
(2012·江门质检)已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围【思路分析】
可把函数转化为方程,其方程的两根满足x1<1，x2>1，利用(x1－1)(x2－1)<0求解；也可利用图象求解．
【解】法一：设方程x2＋(a2－1)x
＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1
∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
由根与系数的关系，
得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，
即a2＋a－2<0，∴－2即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2【方法指导】
此类方程根的分布问题通常有两种解法：一是方程思想，利用根与系数的关系；二是函数思想，构造二次函数利用其图象分析，从而求解．
互动探究
2．若例3中函数不变，后面的内容改为：一个零点在0与1之间，另一个零点在1与2之间，求实数a的范围，应如何求解？
解：函数图象大致如图：
方法技巧
1．函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；
(3)解方程f(x)＝0.
2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．3．二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围,当达到一定的精确度要求时,所得区间内的任一点均是这个函数零点的近似值
失误防范
1．把握函数的零点应注意的问题
(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零．(2)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
(3)二次方程当Δ＝0时，有两个相等的实数根，但对应的二次函数零点只有一个(二重零点)．(4)二次方程根的分布问题中，列关
系式时，要考虑全面，保持等价性．
2．对函数零点存在的判断中，必须强调：
(1)f(x)在[a，b]上连续；
(2)f(a)·f(b)<0；
(3)在(a，b)内存在零点．
事实上，这是零点存在的一个充
分条件，但不必要．
命题预测
从近几年的广东高考试题来看，函数的零点、方程根的问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质；主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．
预测2013年广东高考仍将以函数的零点、方程根的存在问题为主要考点，重点考查相应函数的图象与性质．
典例透析
(2011·高考课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
【答案】 C
【名师点评】
本题考查零点所在区间的判断，其方法是利用零点存在性定理，试题难度不大，本题f(x)变为ex＋x－2时，零点所在区间是哪个？
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答案：10
1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
解析：选C.∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，
所以零点为0和－.
2．(2010·高考福建卷)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由，得x＝－3.
由，得x＝e2，∴f(x)的零点个数为2.故选C.
3．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一个解，则a的取值范围是( )
A．a<－1 B．a>1
C．－1解析：选B.当a＝0时，x＝－1不合题意，故排除C、D.当a＝－2时，方程可化为4x2＋x＋1＝0，而Δ＝1－16<0，无实根，故a＝－2不适合，排除A.
4．已知函数f(x)＝x3－2x2＋2有唯一零点，则下列区间上必存在零点的是( )
A．(－2，－) B．(－，－1)
C．(－1，－) D．(，0)
解析：选C.由题意，可知f(－1)·f(－)<0，故f(x)在(－1，－)上必存在零点，故选C.
5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)<0，
所以下一个有根区间为(2,2.5)．
答案：(2,2.5)
6．若函数f(x)的图象是连续不断的，根据下面的表格，可断定f(x)的零点所在的区间为________(只填序号)．
①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5]
⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
答案：③④⑤
7．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.求证：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.
证明：令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g()＝f()－＝－，
∴g(0)·g()<0.
又函数g(x)在[0，]上连续，
所以存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0.
即f(x0)＝x0.
1．已知函数f(x)＝log2x－()x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0A．恒为负 B．等于零
C．恒为正 D．不小于零
解析：选A.由题意知f(x0)＝0，f(x)＝log2x－()x在(0，＋∞)上为增函数，又02．定义域和值域均为[－a，a](常数a>0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，给出下列四个命题中：
(1)方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解；
(2)方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解；
(3)方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解；
(4)方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解．
那么，其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.由图可知，f(x)∈[－a，a]，g(x)∈[－a，a]，由左图及f[g(x)]＝0得g(x)＝x1∈，g(x)＝x2∈，g(x)＝，由右图知方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及g[f(x)]＝0得f(x)＝x0∈，由左图知方程g[f(x)]＝0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及f[f(x)]＝0得f(x)＝x1∈，f(x)＝x2∈，f(x)＝，又由左图得到方程f[f(x)]＝0最多有三个解，故(3)错误；由右图及g[g(x)]＝0得g(x)＝x0∈，由右图知方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择B.
3．函数f(x)＝的图象和函数g(x)＝log2x的图象交点的个数为________．
解析：作出f(x)，g(x)的图象如图．
由图象易知有3个交点．
答案：3
4．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．
解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知，∴，
∴f(x)＝x2－x－6.
∵不等式af(－2x)＞0，
即－(4x2＋2x－6)＞0?2x2＋x－3＜0，
解集为{x|－＜x＜1}．
答案：{x|－＜x＜1}
5．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，求实数k的取值范围．
解：∵Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1?(2,3)，故要使函数f(x)＝
x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)·f(3)＜0，即(6－3k)·(12－4k)＜0，∴2＜k＜3，∴实数k的取值范围为(2,3)．
6．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]．
(1)f(x)＝0在区间[0,2]上有一解．
∵f(0)＝1>0，∴应有f(2)≤0?m≤－.
(2)f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则
∴－≤m≤－1.
由(1)(2)知：m≤－1.
1．(教材习题改编)如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
答案：B
2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在区间为( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
答案：A
3．函数f(x)＝x3－2x2＋x的零点是( )
A．0 B．1
C．0和1 D．(0,0)和(1,0)
答案：C
4．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]∪{1}
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，1)
解析：选B.依题意得(1)或(2)或(3)，
显然(1)无解；解(2)得m＜0；解(3)得m＝1.
又当m＝0时，f(x)＝－2x＋1，它显然有一个正实数的零点，所以应选B.
5．若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点是1，则f(－1)＝________.
