课件79张PPT。第10课时 函数模型及其应用重点难点
重点：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数模型．
难点：建立数学模型和分析问题、解决问题的能力的培养．
基础梳理
1．几类函数模型2．三种增长型函数之间增长速度的比较
(1)指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数
y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但
由于ax的增长______xn的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时有________.
快于ax＞xn(2)对数函数y＝logax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)
对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会_______y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，当x＞x0时有_______________.
慢于logax＜xn由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在(0,＋∞)上总会存在一个x0，使x＞x0时有ax＞xn＞logax(a>1，n>0)．
3．用基本初等函数解决非基本函数问题的途径
(1)化整为零：即将非基本函数“拆”成基本初等函数，以便用已知知识解决问题；(2)图象变换：某些非基本函数的图象可看成是由基本初等函数图象通过图象变换得到的,如果搞清了变换关系,便可借助基本初等函数解决非基本函数的问题；
(3)函数的性质：主要有周期性、有界性、单调性、奇偶性等，灵活运用这些性质，可以解决方程、不等式方面的不少问题．
课前热身
1．某机床在生产中所需垫片可以外购,也可自己生产，其中外购的单价是每个1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元．设该厂每月所需垫片x个,则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是( )
A．x＞1800 B．x＞1600
C．x＞500 D．x＞1400
答案：B
2．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为( )
A．x＝15，y＝12
B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10
D．x＝10，y＝14
答案：A
3.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，下列四种说法：①前三年中,产量增长的速度越来越快;
②前三年中,产量增长的速度越来越慢;
③第三年后，产品停止生产；
④第三年后，这种产品产量保持不变．
其中说法正确的是( )
A．②与③ B．②与④
C．①与③ D．①与④
答案：A
4．温家宝总理代表中国政府在哥本哈根气候变化会议上做出庄严承诺：2005年至2020年，中国二氧化碳排放强度下降40%，则2005年至2020年二氧化碳排放强度平均每年降低的百分数为________．
解析：设从2005年至2020年平均每年降低的百分数为x，则2020年的排放量为(1－x)15，即(1－x)15＝0.4，解得x＝0.059.
答案：5.9%
5．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)＝40Q－ Q2,则总利润L(Q)的最大值是______万元
答案：2500
考点1 二次函数模型
二次函数模型为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型． 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为
已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【思路分析】
(1)平均成本为总成本与年产量的商；
(2)利润为总销售额减去总成本．【方法指导】
用二次函数解决实际问题时，一般要借助函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要注意实际问题中函数的定义域，否则极易出错．
考点2 指数函数模型
指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率，x为时间)的形式．另外,指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用．
2012年1月1日，某城市现有人口总数100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)．
(1.01210＝1.127)
【思路分析】先写出1年后、2年后、
3年后的人口总数→写出y与x的函数关系→计算求解→作答．
【解】 (1)1年后该城市人口总数为
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)
2年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2.
3年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%
＝100×(1＋1.2%)3. …
x年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)x.
所以该城市人口总数y(万人)与年数
x(年)的函数关系式是y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后人口总数为
100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)．
所以10年后该城市人口总数为112.7万
互动探究
例2的条件不变，试计算：
(1)大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)?
(2)如果20年后该城市人口总数不超过120万人,则年自然增长率应控制在多少?(2)设年自然增长率为x，依题意有
100×(1＋x)20≤120，由此得(1＋x)20≤1.20，由计算器计算得1＋x≤1.009，∴x≤0.9%.
所以年自然增长率应控制在小于
或等于0.9%.
考点3 分段函数模型
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．
【思路分析】
(1)据利润L＝每件的利润
(x－3－a)×销售量(12－x)2列式
(2)借助导数求Q(a)．
【解】(1)分公司一年的利润L(万元)
与售价x的函数关系式为
L＝(x－3－a)· (12－x)2，x∈[9,11]．
(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12
－x)＝(12－x)(18＋2a－3x)．
考点4 函数模型的综合应用
有一个受到污染的湖泊，其湖水的体积为V立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r立方米．现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合.
用g(t)表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数,我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水,【思路分析】
(1)湖水污染质量分数为常数，即g(t)为常数函数；
(2)污染程度越来越严重，即证明g(t)为增函数；
(3)转化为方程即可解决．【名师点评】
高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握．解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答．
方法技巧
求解函数应用题的一般方法
“数学建模”是解决数学应用题的重要方法，解应用题的一般程序是：
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系；(2)建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型；
(3)求模:求解数学模型，得到数学结论;
(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．
失误防范
1．求解函数应用题时，关键环节是审题,审题时一要弄清问题的实际背景,注意隐含条件；二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语言，用数学表达式加以表示；三是弄清给出什么条件，解决什么问题，通过何种数学模型加以解决；四是严格按各种数学模型的要求进行推理运算，并对运算结果作出实际解释．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学解对实际问题的合理性
?
命题预测
从近几年的广东高考试题来看，建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．
预测2013年广东高考仍将以函数建模为主要考点，同时考查利用导数求最值问题．规范解答
(本题满分14分)(2011·高考江苏卷)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，
设AE＝FB＝x(cm)．
( 1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【名师点评】
本题是常见函数应用问题，主要考查运用函数知识解决实际问题的能力、处理数据的能力和运算求解能力．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．《优化方案》系列丛书第三年的销量比第一年的销量增长了44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是( )
A．x＞22%
B．x＜22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年的销量确定
解析：选B.(1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2＜0.22.故选B.
2．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )
解析：选B.根据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.
3．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是( )
A．x＝60t
B．x＝60t＋50t
C．x＝
D．x＝
解析：选D.到达B地需要＝2.5(小时)，
所以当0≤t≤2.5时，x＝60t；
当2.5当3.54．在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的两倍，需要的时间为( )
A．5 h B．10 h
C．15 h D．30 h
解析：选B.假设一开始两种细菌数量均为m，则依题意经过x小时后，细菌A的数量是f(x)＝m·2 ，细菌B的数量是g(x)＝m·4，令m·2＝2·m·4，解得x＝10.
5．某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是________元．
解析：车费为8＋(7.4－3)×1.5＝14.6≈15(元)．
答案：15
6．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车．(精确到1小时)
解析：设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL，则有0.3·()x≤0.09，即()x≤0.3，估算或取对数计算得5小时后，可以开车．
答案：5
7．国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值u(美元)与其重量w(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
(1)写出u关于w的函数关系式；
(2)若把一颗该种钻石按重量比1∶3切割成两颗钻石时，求价值损失的百分率．
解：(1)依题意设u＝kw2(k>0)，
又当w＝3时，u＝54000，∴k＝6000.
故u＝kw2＝6000w2.
(2)设这颗钻石的重量为a克拉，
由(1)可知，按重量比为1∶3切割后的价值为
6000(a)2＋6000(a)2.
价值损失为6000a2－[6000(a)2＋6000(a)2]．
价值损失的百分率为
＝0.375＝37.5%.
1．(2010·高考陕西卷)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝[] B．y＝[]
C．y＝[] D．y＝[]
解析：选B.由题意，当x＝17时，A选项错误，当x ＝16时，[]＝2，[]＝2，所以C、D选项错误，故选B.
2．如图所示是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
解析：选C.根据距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图象可知，开始张大爷离家的距离匀速增加，然后一段时间内离家的距离保持不变，最后离家的距离匀速减小，直到回到家．
对于A项，最后时刻没有回到家，所以不正确；
对于B、D项，虽然最后都回到了起点，但在整个路线中，没有一段路线保持到家的距离不变，所以不正确；
对于C项，路线是由圆的两条半径和一段圆弧构成，并且起点和终点相同，且在圆弧上行走的时候，其离家距离保持不变，符合函数关系图，故选C.
3．某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价________．
解析：设商品原价为a，应提价为x，
则有a(1－10%)(1＋x)＝a，
∴x＝－1＝－1＝≈11.11%.
答案：11.11%
4．某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：
①如一次购物不超过200元，不给予折扣；
②如一次购物超过200元而不超过500元，按标准价给予九折优惠；
③如一次购物超过500元，其中500元的部分给予九折优惠，超过500元的剩余部分给予八五折优惠．
某人两次去购物，分别付款176元和432元．如果他只去一次购买同样的商品，则他应该付款为________元．
解析：设购物应付款x元，实际付款y元，则由题意知：
y＝，那么该人两次实际购物应付款分别为x1＝176元，x2＝432÷0.9＝480(元)，则x1＋x2＝656(元)，如果他只去一次，则应付款y＝0.85×656＋25＝582.6(元)．
答案：582.6
5．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足 f(t)＝20－|t－10|(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
解：(1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)·(20－|t－10|)
＝(40－t)(40－|t－10|)
＝
(2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1200,1225]，
在t＝5时，y取得最大值为1225；
当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1200]，
在t＝20时，y取得最小值为600.
故第5天，日销售额y取得最大值为1225元；
第20天，日销售额y取得最小值为600元．
6．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能最快完成全部任务？
解：设x名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，
所以制作100张课桌所需时间为P(x)＝，
制作200把椅子所需时间为
Q(x)＝＝，
完成全部任务所需的时间为P(x)与Q(x)的最大值F(x)．
为求得F(x)的最小值，需满足
P(x)＝Q(x)，即＝，解得x＝12.5，
考虑到x表示人数，所以x∈N*.
∵P(12)>P(13)，Q(12)故考查P(12)与Q(13)．
P(12)＝≈1.19，Q(13)＝≈1.18.
即F(12)>F(13)．
所以用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．
1．下列函数中，随x的增大而增大的速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝100lnx
C．y＝x100 D．y＝100·2x
答案：A
2．2012年6月30日到银行存入a元，若年利率为x，且不扣除利息税，则到2020年6月30日可取回( )
A．a(1＋x)8元 B．a(1＋x)9元
C．a(1＋x8)元 D．a＋(1＋x)8元
答案：A
3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
答案：D
4．一根弹簧原长15 cm，已知在20 kg内弹簧长度与所挂物体的重量成一次函数，现测得当挂重量为4 kg的物体时，弹簧长度为17 cm，问当弹簧长度为22 cm时，所挂物体的重量应为____________kg.
答案：14
5．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x、y之间的函数关系式为________．
解析：设镭每年的衰变率为r，则y＝1×(1－r)x，依题意得
1×(1－r)100＝0.9576，所以1－r＝0.9576，从而得y＝1×(1－r)x＝(0.9576)x，即y＝0.9576.
答案：y＝0.9576
