课件61张PPT。第11课时 变化率与导数、导数的计算重点难点
重点：①导数的概念．②公式及运算法则．③导数的应用．
难点：①切线方程的求法．②复合函数的导数及积商的导数公式．
基础梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为②几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的______________．(瞬时速度就是位移函数s(t)在时间t0处的导数)相应地，切线方程为_____________________．
切线的斜率y－y0＝f′(x0)·(x－x0)思考探究
1．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点P0(x0，y0)的切线，两说法有区别吗？
提示：有．前者P0一定为切点，而后者P0不一定为切点． 思考探究
2．f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？
提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是一个常数，是函数f′(x)在点x0处的函数值． 2．基本初等函数的导数公式
0nxn－1cosx－sinxaxlnaex3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝_______________；
(2)[f(x)·g(x)]′＝_______________________；
f′(x)±g′(x)f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
y′u· u′x答案：A
课前热身
1．设曲线y＝ax2在点(1,a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行,则a等于( )答案：D
3．在曲线y＝x2＋x上取一点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，那么 为
( )
A．Δx－2 B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2
答案：C
答案：3
5．(教材习题改编)已知f(x)＝13－8x＋ x2，且f′(x0)＝2.则x0＝________.
考点1 利用导数的定义求导数 用导数的定义求函数f(x)＝ 的导数【思路分析】
【方法指导】
函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数．
考点2 导数的计算
求函数的导数要准确地把函数拆分为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用求导法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式． 求下列函数的导数．
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx;【思路分析】【解】 (1)法一：
∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)
＝6x4＋3x3－8x2－4x，
∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)
＋(3x3－4x)(2x＋1)′
＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2
＝24x3＋9x2－16x－4.
(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′
＝2xsinx＋x2cosx.
(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′
＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xexln3＋3xex－2xln2
＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.【误区警示】
(1)运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则；(2)求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因．
考点3导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义,就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．相应地,切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).因此要求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可．
(1)(2010·高考大纲全国卷Ⅱ)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切
线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1(2)(2010·高考课标全国卷)曲线y＝
在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
【思路分析】
(1)由点(0，b)在直线x－y＋1＝0
上可求b的值；(2)求导可求斜率．
【答案】 (1)A (2)A
【规律小结】
求曲线切线方程的步骤:
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数,即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
(2)由点斜式方程求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
变式训练方法技巧
1．在对导数的概念进行理解时,要特
别注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数
值,不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
2．对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
3．复合函数的求导方法
求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数解决．(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；
(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；
(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
(4)复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程．失误防范
1．利用导数定义求导数时,要注意到x与Δx的区别,这里的x是常量,Δx是变量
2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆3．求曲线的切线时，要分清“在点P处的切线”与“过P点的切线”，前者只有一条，而后者包括了前者．
4．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
命题预测
从近几年的广东高考试题来看，求导公式和法则，以及导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识．补集运算；从考查形式上看，主要以小
预测2013年广东高考仍将以导数的几何意义为背景设置成的导数与解析几何的综合题为主要考点．重点考查运算及数形结合能力．
典例透析
(2011·高考湖北卷)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)A．5太贝克 B．75ln 2太贝克
C．150ln 2太贝克 D．150太贝克
【答案】 D
【名师点评】
此题为应用题，但抓住题眼是函数M(t),研究函数的变化率,就知道此题的入手点,其次是求复合函数的导数本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．(2010·高考江西卷)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析：选B.由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，从题中可知f′(x)为奇函数，故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2，故选B.
2．下列函数求导运算正确的个数为( )
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；
④()′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.求导运算正确的有②③2个，故选B.
3．若函数f(x)＝excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )
A．0 B．锐角
C．直角 D．钝角
解析：选D.由已知得：
f′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．
∴f′(1)＝e(cos1－sin1)．
∵>1>.
而由正、余弦函数性质可得cos1∴f′(1)<0.
即f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k<0.
∴切线的倾斜角是钝角．
4．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数
D．f(x)＋g(x)为常数函数
解析：选C.由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，
即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
5．曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．
解析：f′(x)＝cosx＋ex，∴在x＝0处的切线斜率k＝f′(0)＝e0＋cos0＝2.又切点坐标为(0,3)，
∴切线方程为y＝2x＋3.
答案：y＝2x＋3
6．下列图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝________.
解析：∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，
∴导函数f′(x)的图象开口向上．
又∵a≠0，其图象必为图(3)．
由图象特征知f′(0)＝a2－1＝0，且－a>0，∴a＝－1.
故f(－1)＝－－1＋1＝－.
答案：－
7．求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)(1＋)；(2)y＝；
(3)y＝tanx；(4)y＝(1＋sinx)2.
解：(1)∵y＝(1－)(1＋)＝－＝x－ －x ，
∴y′＝(x－ )′－(x )′＝－x－ －x－ .
(2)y′＝()′＝
＝＝.
(3)y′＝()′＝
＝＝.
(4)y′＝[(1＋sinx)2]′
＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′
＝2(1＋sinx)·cosx
＝2cosx＋sin2x.
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，都有f(x)≥0，则的最小值为( )
A．3 B.
C．2 D.
解析：选C.f′(x)＝2ax＋b，由条件f′(0)>0得b>0，
又对任意x∈R都有f(x)≥0，∴，
∴b≤2.
∴＝＝＋1≥＋1≥2，等号在，即b＝2a＝2c时成立．
∴的最小值为2.
2．(2010·高考江西卷)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．215
解析：选C.∵{an}是等比数列，且a1＝2，a8＝4，
∴a1·a2·a3·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212.
∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，
∴f′(0)等于f(x)中x的一次项的系数．
∴f′(0)＝a1·a2·a3·…·a8＝212.
3．已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f ′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a＋1)，则A、B、C的大小关系是________．
解析：记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝，表示直线MN的斜率，A＝f′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率；C＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．所以，A>B>C.
答案：A>B>C
4．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1()＋f2()＋…＋f2013()＝________.
解析：f2(x)＝(sinx＋cosx)′＝cosx－sinx，
f3(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx，
f4(x)＝(－sinx－cosx)′＝－cosx＋sinx，
f5(x)＝(－cosx＋sinx)′＝sinx＋cosx，
…
可知：f1()＋f2()＋f3()＋f4()＝f5()＋f6()＋f7()＋f8()＝…＝0，
∴f1()＋f2()＋f3()＋…＋f2013()
＝f1()＝sin＋cos＝1.
答案：1
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2.
(1)求x<0时，f(x)的表达式；
(2)令g(x)＝lnx，问是否存在x0，使得f(x)、g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2.
(2)若f(x)、g(x)在x＝x0处的切线互相平行，
则f′(x0)＝g′(x0)，
则f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝，
解得x0＝±，
又由题知x0>0，
∴得x0＝.
6．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)．
(1)求切线l的方程；
(2)求S(t)的最大值．
解：(1)因为f ′(x)＝(e－x)′＝－e－x，
所以切线l的斜率为－e－t，
故切线l的方程为
y－e－t＝－e－t(x－t)，
即e－tx＋y－e－t(t＋1)＝0.
(2)令y＝0得x＝t＋1，又令x＝0得y＝e－t(t＋1)，
∵t≥0，∴t＋1＞0，e－t(t＋1)＞0，
∴S(t)＝(t＋1)·e－t(t＋1)＝(t＋1)2e－t，
从而S′(t)＝e－t(1－t)(1＋t)．
∵当t∈(0,1)时，S′(t)>0，
当t∈(1，＋∞)时，S′(t)<0，
所以S(t)的最大值为S(1)＝.
1．(2010·高考课标全国卷)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
答案：A
2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是( )
A．0秒 B．1秒末
C．2秒末 D．1秒末和2秒末
答案：D
3．函数y＝xcosx－sinx的导数为( )
A．xsinx B．－xsinx
C．xcosx D．－xcosx
答案：B
4．(2012·顺德考前热身)已知函数f(x)＝2ln(3x)＋8x，则 ＝________.
解析： 就是f(x)的导数f′(x)在x＝1时的值．即是f′(1)＝10.
答案：10
5．已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝________.
解析：f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2得，f′(2)＝12＋2f′(2)，∴f′(2)＝－12，∴f(x)＝3x2－24x，∴f′(x)＝6x－24，
∴f′(5)＝6.
答案：6
