课件71张PPT。第12课时 利用导数研究函数的性质重点难点
重点：①用导数判定函数单调性的方法．②函数极值的概念及求法、函数的最值．
难点：①导函数的图象与函数单调性的关系．②构造函数证明不等式．
基础梳理
1．函数的单调性
(1)(函数单调性的充分条件)设函数y
＝f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f(x)为____________函数;如果f′(x)<0,则f(x)为____________函数．
单调递增单调递减(2)(函数单调性的必要条件)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果y＝f(x)在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内有___________ (或_____________)f′(x)≥0(f′(x)≤02．函数的极值
(1)设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)
f(x0)，我们就说f(x0)是f(x)的一个________，记作_____________．极大值与极小值统称为_______．
极小值y极小值＝f(x0)极值(2)判别f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是___________．极小值3．函数的最大值与最小值
(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]内可导的函数f(x)必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值．
(2)求极值与最值的步骤：
第1步 求导数f′(x)；
第2步 求方程f′(x)＝0的所有实数根;
第3步 考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．
?第4步 将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
思考探究
导数为零的点都是极值点吗？
提示：不一定是.例如：函数f(x)＝x3,有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．课前热身
1．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线
斜率为( )
A．1 B．2答案：A
答案：B3．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是( )
A．a＞2 B．a＜－1
C．－1＜a＜2 D．a＞2或a＜－1
答案：D
4．如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断：
①f(x)在[－2，－1]上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在[－1,2]上是增函数，
在[2,4]上是减函数；
④x＝3是f(x)的极小值点．
其中正确的判断是________．
答案：②③
5．函数f(x)＝xlnx在(0,5)上的单
调递增区间是________．
考点1 求函数的单调区间
求函数单调区间的基本步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0或f′(x)<0，解出相应的x的范围，当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
求下列函数的单调区间．
【思路分析】
考点2 由单调性确定参数范围
已知函数单调性，求参数范围．设函数f(x)在(a，b)内可导,若f(x)在(a，b)内是增函数，则可得f′(x)≥0,从而建立了关于待求参数的不等式;同理,若f(x)在(a,b)内是减函数,则可得f′(x)≤0. 已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
【思路分析】(1)通过解f′(x)≥0求单调递增区间;(2)转化为恒成立问题,求a.
【解】 (1)f′(x)＝ex－a.
若a≤0，f′(x)＝ex－a>0恒成立，
即f(x)在R上递增．
若a>0，ex－a>0?ex>a?x>lna.
∴f(x)的单调递增区间为(lna，＋∞)．
(2)∵ f′(x)在R内单调递增，
∴f′(x)≥0在R上恒成立．
∴ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成立．
∴a≤(ex)min，又∵ex>0，∴a≤0.
【误区警示】 (2)中易忽略“a≤0”中的“＝”．互动探究
1．在例2条件下，问是否存在实数a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：法一：由题意知ex－a≤0在
(－∞，0]上恒成立．
∴a≥ex在(－∞，0]上恒成立．
∵ex在(－∞，0]上为增函数．
∴x＝0时，ex最大为1.
∴a≥1.同理可知ex－a≥0在
[0，＋∞)上恒成立．
∴a≤ex在[0，＋∞)上恒成立，
∴a≤1，
综上，a＝1.
法二：由题意知，x＝0为f(x)的极小值点．
∴f′(0)＝0，即e0－a＝0，∴a＝1.
考点3 求函数的极值和最值
求可导函数f(x)极值的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近f′(x)>0，右侧附近f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近f′(x)<0，右侧附近f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．
(2010·高考重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．【思路分析】 【解】(1)由题意得
f′(x)＝3ax2＋2x＋b.
因此g(x)＝f(x)＋f′(x)
＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
因为函数g(x)是奇函数，所以
g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，【误区警示】 变式训练
2．已知f(x)＝xlnx.设实数a>0，求函数F(x)＝ 在[a,2a]上的最小值．考点4 构造函数证明不等式
在利用导数研究函数的性质,证明不等式等解题过程中,常常要构造函数,构造方程等来促成问题的解决．
(2010·高考安徽卷)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
【思路分析】
(2)中构造函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1，转化为求证g(x)恒大于零．
【解】 (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2),单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，
对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞),都有g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0,故ex>x2－2ax＋1.【规律小结】
对于类似本题中不等式证明而言，我们可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明．用导数方法证明不等式,其步骤一般是:
构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论
方法技巧
1．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．
2．求极值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小．失误防范
1．利用导数讨论函数的单调性需注意的几个问题
(1)确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于0的点外,还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．
(3)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增
(或减)函数的充分条件．
2．可导函数的极值
(1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.
命题预测
从近几年的广东高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用．
预测2013年广东高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向
规范解答
(本题满分12分)(2011·高考重庆卷)设
【名师点评】
本题考查了利用导数求函数极值及单调性问题，属容易题．
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1．下面为函数y＝xsinx＋cosx的递增区间的是( )
A．(，) B．(π，2π)
C．(，) D．(2π，3π)
解析：选C.y′＝(xsinx＋cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈(，)时，恒有xcosx>0.故选C.
2．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是( )
A．(a，b) B．(a，c)
C．(b，c) D．(a＋b，c)
解析：选A.f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知1、－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，∴1－1＝－＝0，b＝0，故选A.
3．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是( )
A．2 B．1
C．0 D．由a确定
解析：选C.f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，
∴f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值，选C.
4．已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
解析：选B.由f′(x)＝0，得极值点为x＝0和x＝±1.仅当x＝0时，f(x)取得极大值．故x的值为0.
5．函数f(x)＝x＋的单调减区间为________．
解析：f′(x)＝1－＝，
令f′(x)<0，
解得－3故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．
答案：(－3,0)，(0,3)
6．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
解析：f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，
f′(2)＝0?c＝2或c＝6，若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，
令f′(x)>0?x<或x>2，f′(x)<0?故函数在(－∞，)及(2，＋∞)上单调递增，在(，2)上单调递减，∴x＝2是极小值点，故c＝2不合题意，同理可验证c＝6符合题意，所以c＝6.
答案：6
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)．若y＝f(x)图象上的点(1，－)处的切线斜率为－4，求y＝f(x)的极大值．
解：∵f′(x)＝x2＋2ax－b，
∴由题意可知：f′(1)＝－4且f(1)＝－，
即解得
∴f(x)＝x3－x2－3x，
f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
由此可知，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝－1时，f(x)取得极大值.
1．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(b)>f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(b)g(a)
解析：选C.令y＝f(x)·g(x)，
则y′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，
由于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，
所以y在R上单调递减，
又xf(b)g(b)．
2．(2012·珠海调研)函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y＝f(x)的图象的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.导函数的正、负体现原函数的单调性，很明显原函数的极大值点在y轴的右侧，再加上原函数过原点，容易知道顶点在第一象限．
3．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，
得x＝±1，
可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，
极小值为f(1)＝－2，
如图所示，－2答案：(－2,2)
4．设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．
解析：设P(a，a2－a＋1)，y′|x＝a＝2a－1∈[－1,3]，
∴0≤a≤2.∴a2－a＋1＝2＋，当a＝时，取最小值，当a＝2时，取最大值3，故P点纵坐标范围是.
答案：
5．已知函数f(x)＝x2＋bsinx－2(b∈R)，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知函数g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围．
解：(1)F(x)＝f(x)＋2＝x2＋bsinx－2＋2＝x2＋bsinx，
依题意，对任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.
即x2＋bsinx－(－x)2－bsin(－x)＝0，
即2bsinx＝0，
所以b＝0，
所以f(x)＝x2－2.
(2)∵g(x)＝x2－2＋2(x＋1)＋alnx，
∴g(x)＝x2＋2x＋alnx，
g′(x)＝2x＋2＋.
∵函数g(x)在(0,1)上单调递减，
∴在区间(0,1)内，
g′(x)＝2x＋2＋＝≤0恒成立，
∴a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立 .
∵－(2x2＋2x)在(0,1)上单调递减，
∴a≤－4为所求．
6．证明不等式lnx>，其中x>1.
证明：设f(x)＝lnx－(x>1)．
则f′(x)＝－＝，
∵x>1，∴f ′(x)>0.
∴f(x)在(1，＋∞)内为单调增函数．
又∵f(1)＝0，当x>1时，f(x)>f(1)＝0，
即lnx－>0.∴lnx>.
1．(教材习题改编)函数f(x)＝x3－3x的单调递减区间是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
答案：C
2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则实数a等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：D
3．(教材习题改编)函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内的极小值点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：A
4．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝′
＝＝，
又∵x＝1为函数的极值点，
∴有f′(1)＝0.
∴1＋2×1－a＝0，即a＝3.
答案：3
5．函数f(x)＝12x－x3的极大值为________．
答案：16
6．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．
解：f′(x)＝3ax2＋6x－1.
∵f(x)是R上的减函数．∴f′(x)≤0恒成立．
即3ax2＋6x－1≤0在x∈R上恒成立，
∴a＜0且Δ＝36＋12a≤0，∴a≤－3.
