2023年高考一轮复习第二节　常用逻辑用语 教案

第二节　常用逻辑用语
教学目标：
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.
2.理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，理解数学定义与充要条件的关系.
3.理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确对两种命题进行否定.
1．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
p是q的充分条件 p q A B
p是q的必要条件 q p A B
p是q的充要条件 p q且q p A＝B
p是q的充分不必要条件 p q且qp A?B
p是q的必要不充分条件 p q且q p A?B
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p AB且A B
2.全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等
3.全称(存在)量词命题及含一个量词的命题的否定
命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定
全称量词命题 对M中任意一个x，p(x)成立 x∈M，p(x) x∈M，綈p(x)
存在量词命题 存在M中的一个x，p(x)成立 x∈M，p(x) x∈M，綈p(x)
(1)不能将“若p，则q”与“p q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p q”，即“p q”等价于“若p，则q”为真命题．
(2)p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．
(3)命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假．
1．(人教A版必修第一册P30·例4(1)改编)(多选)已知命题p： x∈R，x＋2≤0，则(　 )
A．p是真命题 B．綈p： x∈R，x＋2>0
C．綈p是真命题 D．綈p： x∈R，x＋2>0
答案：CD
2．(人教A版必修第一册P22·T2(5)改编)设x＞0，y＞0，则x2>y2是x>y的(　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
3．△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的(　 )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
4．(苏教版必修第一册P43·T10改编)若命题“ x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围是________．
答案：(－∞，1)
5．(人教B版必修第一册P36·T5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________．
答案：(－∞，3)
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　含量词命题的否定　
[题点全训]
1．(2022·菏泽一模)命题“ x∈R，x2≥0”的否定是(　 )
A． x∈R，x2≥0 B． x∈R，x2<0
C． x∈R，x2<0 D． x∈R，x2≤0
答案：C
2．已知命题p：“ x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为(　 )
A． x∈R，ex－x－1≥0 B. x∈R，ex－x－1＞0
C． x∈R，ex－x－1＞0 D． x∈R，ex－x－1≥0
答案：C
3．设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为(　 )
A．所有正方形都不是平行四边形
B．有的平行四边形不是正方形
C．有的正方形不是平行四边形
D．不是正方形的四边形不是平行四边形
答案：C
基础点(二)　含量词命题的真假判断　
[题点全训]
1．下列命题为假命题的是(　 )
A． x∈R,2x－1＞0 B． x∈N*，(x－1)2＞0
C． x∈R，lg x＜1 D． x∈R，tan x＝2
解析：选B　当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当x＝1时取等号，故B不正确；易知A、C、D正确，故选B.
2．(多选)下列命题是真命题的是(　 )
A． a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数
B． x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋ 的值恒为正数
C． x∈R，x4＜x5
D． x∈R，x2－2x＋1≤0
解析：选AD　当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；
y＝sin x＋cos x＋＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋))＋，
当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋))＝－1时，y＝0，故B为假命题；
当x＝0时，x4＝x5，故C为假命题；
x2－2x＋1＝(x－1)2，当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故D为真命题．
[一“点”就过]
(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论．
(2)判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　充分、必要条件的判断　
[典例]　(1)(2021·天津高考)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立；若a2>36，则a>6或a<－6，推不出a>6，故必要性不成立．所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件．
(2)若a·c＝b·c，则|a||c|cos〈a，c〉＝|b||c|·cos〈b，c〉，即|a|cos〈a，c〉＝|b|cos〈b，c〉．若令a·c＝b·c＝0，则cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉＝0，此时|a|不一定等于|b|，则a不一定等于b，充分性不成立．若a＝b，则a·c＝b·c，必要性成立．所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.
[答案]　(1)A　(2)B
[方法技巧]　判断充分、必要条件的2种方法
定义法 直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么
集合法 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题
[针对训练]
1．(多选)下列说法正确的是(　 )
A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B．“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件
C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B
D．“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
解析：选BC　c＝0时，由ac＝bc不能得出a＝b，A错误；＞与a＜b相互不能推导，如a＝2，b＝－1时，满足＞但不满足a＜b，反之若a＝－1，b＝2，满足a＜b但不满足＞，∴“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件，B正确；由充分、必要条件与集合之间的包含关系可知C正确；由a＞b＞0能得出an＞bn，当a＝－4，b＝－2时，a2＞b2，但a＜b，D错误．
2．(2021·临沂模拟)(多选)下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是(　 )
A．xc2>yc2 B.<<0
C．|x|>|y| D．ln x>ln y
解析：选ABD　对于A选项，若xc2>yc2，则c2≠0，则x>y，反之，若x>y，当c＝0时得不出xc2>yc2，所以xc2>yc2是x>y的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由<<0可得yy，但x>y不能推出<<0，因为x，y的正负不确定，所以<<0是x>y的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由|x|>|y|可得x2>y2，则(x＋y)·(x－y)>0，不能推出x>y，由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝－2)，所以|x|>|y|是x>y的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x>ln y，则x>y，反之，若x>y，得不出ln x>ln y，所以ln x>ln y是x>y的充分不必要条件，故D正确．
重难点(二)　充分、必要条件的应用　
[典例]　已知集合A＝，集合B＝{x|x2－(a＋2)x＋2a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为(　 )
A. B.
C. D．
[解析]　由题意可知A?B，又B＝{x|x2－(a＋2)x＋2a<0}＝{x|(x－a)(x－2)<0}，
①当a<2时，B＝{x|a2时，B＝{x|2综上所述，a<－.
[答案]　A
[方法技巧]　由充分、必要条件求参数范围的策略
巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形
端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍
[针对训练]
1．(2022·西安模拟)已知条件p：(x－m)(x－m－3)>0；条件q：x2＋3x－4<0.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　 )
A．[－7,1] B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
C．(－7,1) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
解析：选B　设集合P＝{x|xm＋3}，Q＝{x|－42．已知条件p：x2－3x＋2≤0，条件q：(x－a)(x－a－5)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　 )
A．[－3,1] B．(－3,1] C．[－3,1) D．(－3,1)
解析：选A　由x2－3x＋2≤0可得1≤x≤2，即p：x∈[1,2]；由(x－a)(x－a－5)≤0可得a≤x≤a＋5，即q：x∈[a，a＋5]．若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，所以[1,2]?[a，a＋5]，所以或解得－3≤a≤1.
重难点(三)　根据含量词命题的真假求参数　
[典例]　已知命题“ x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，求实数a的取值范围．
[解]　由题意得不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立．
①当a＝0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意．
②当a≠0时，若不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立，则解得0综上可得，0≤a<4，所以实数a的取值范围是[0,4)．
根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．　　
[针对训练]
若“ x∈，使得2x2－λx＋2<0成立”是真命题，则实数λ的取值范围为(　 )
A．[4,5] B．[5，＋∞)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：选D　若“ x∈，使得2x2－λx＋2＜0成立”是真命题，即“ x∈，使得λ＞2x＋成立”是真命题，设f(x)＝2x＋，由x∈得，当x＝1时，函数f(x)取最小值4，故实数λ的取值范围为(4，＋∞)，故选D.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(不对命题完全否定致误)已知命题p： x≥0，ex<1且sin x>1，则綈p为(　 )
A． x<0，ex<1且sin x>1
B． x<0，ex≥1或sin x≤1
C． x≥0，ex<1或sin x>1
D． x≥0，ex≥1或sin x≤1
解析：选D　命题p： x≥0，ex<1且sin x>1，为全称量词命题，所以綈p： x≥0，ex≥1或sin x≤1，故选D.
2．(混淆条件与结论致误)(多选)设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是(　 )
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞－1 D．x＞3
解析：选BC　由于x＞2 x＞1，x＞2 x＞－1，但x＞1 x＞2，x＞－1x＞2，故选B、C.
3．(混淆“充分条件”与“充分不必要条件”)已知p：－1解析：因为p是q的充分不必要条件，则{x|－13，解得m>1.因此，实数m的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
二、融会贯通应用创新题
4．(弘扬传统文化)荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的(　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．
5．(创新命题形式)甲同学写出三个不等式，p：<0，q：x2－ax＋3a≤0，r：2x>，然后将a的值告诉了乙、丙、丁三位同学，要求他们各用一句话来描述，以下是甲、乙、丙、丁四位同学的描述：①乙：a为整数；②丙：p是q成立的充分不必要条件；③丁：r是q成立的必要不充分条件；④甲：三位同学说的都对，则实数a的值为(　 )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
解析：选B　p：<0 0 x>－3.
三位同学说的都对，p是q成立的充分不必要条件是真命题，设f(x)＝x2－ax＋3a，
则有 a≤－；
r是q成立的必要不充分条件是真命题，
所以有f(x)＝x2－ax＋3a＝0的两个根都大于－3，
则有Δ≥0且 a>－，
所以－所以a＝－1，故选B.
6．(体现开放探究)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
解析：根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0)即可．如f(x)＝sin x，x∈[0,2]或f(x)＝
答案：f(x)＝sin x，x∈[0,2](答案不唯一)
[课时验收评价]
1．命题“ x>1,2x－1>0”的否定是(　 )
A． x>1,2x－1≤0 B． x≤1,2x－1>0
C． x>1,2x－1≤0 D． x>1,2x－1>0
解析：选A　根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得，该命题的否定为 x>1,2x－1≤0，故选A.
2．(多选)下列命题是真命题的有(　 )
A． x∈R，log2x＝0 B． x∈R，cos x＝1
C． x∈R，x2＞0 D． x∈R,2x＞0
解析：选ABD　因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A、B均为真命题；02＝0，选项C为假命题；2x＞0，选项D为真命题．
3．(2022·济宁模拟)“直线m垂直于平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的(　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　因为当直线m垂直于平面α内的所有直线时，才能得到m⊥α，所以由直线m垂直于平面α内的无数条直线不一定能推出m⊥α，但是由m⊥α一定能推出直线m垂直于平面α内的无数条直线，所以“直线m垂直于平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的必要不充分条件．
4．设x>0，y>0，则“x＋y＝1”是“xy≤”的(　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　当x＋y＝1时，xy≤＝，
当且仅当x＝y＝时取等号，
故“x＋y＝1”是“xy≤”的充分条件；
当xy≤时，x＝，y＝满足xy≤，但不满足x＋y＝1，故“x＋y＝1”不是“xy≤”的必要条件．
综上，“x＋y＝1”是“xy≤”的充分不必要条件，故选A.
5．(2022·青岛模拟)“ln(x＋1)<0”的一个必要不充分条件是(　 )
A．－10
C．－1解析：选D　ln(x＋1)<0等价于06．(2022·淄博模拟)已知a，b为正实数，则“≤2”是“ab≤16”的(　 )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　由题意，a，b为正实数，可得a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，若ab≤16，可得≤＝≤＝2，即必要性成立；
反之，例如a＝2，b＝10，此时≤2，而ab＝20，此时ab>16，即充分性不成立，所以“≤2”是“ab≤16”的必要不充分条件．
7．若“ x∈，tan xA. B．－ C. D．－
解析：选B　若“ x∈，tan x因为 x∈，tan x≥tan－＝－，
所以m≤－.
8．(多选)下列四个选项中，q是p的充要条件的是(　 )
A．p：q： B．p：q：
C．p：q： D．p：q：
解析：选ABC　A．由a＝0，b＝0，可得a＋b＝0，ab＝0，反之也成立，∴q是p的充要条件；B.由a＝1，b＝1，可得a＋b＝2，ab＝1，反之也成立，∴q是p的充要条件；C.由a>0，b>0，可得a＋b>0，ab>0，反之也成立，∴q是p的充要条件；D.由a>1，b>1，可得a＋b>2，ab>1，反之不成立，例如取a＝6，b＝.∴q是p的必要不充分条件．故选A、B、C.
9．“ x∈[1,2]，ax2＋1≤0”为真命题的充要条件是(　 )
A．a≤－1 B．a≤－
C．a≤－2 D．a≤0
解析：选A　∵“ x∈[1,2]，ax2＋1≤0”为真命题，
∴a≤－对任意的x∈[1,2]恒成立，由于函数y＝－在区间[1,2]上单调递增，则ymin＝－1，∴a≤－1.
10．(多选)下列命题正确的是(　 )
A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B．命题“ x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“ x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
解析：选ABD　若<1，则a>1或a<0，则“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；
根据存在量词命题的否定为全称量词命题，得“ x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“ x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；
当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；
因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．故选A、B、D.
11．(2022·杭州月考)已知命题p：x2－3x＋2≤0，命题q：x2－4x＋4－m2≤0.若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(　 )
A．(－∞，0] B．[1，＋∞)
C．{0} D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：选D　由x2－3x＋2≤0，得1≤x≤2，
由x2－4x＋4－m2≤0，得2－|m|≤x≤2＋|m|，
若p是q的充分不必要条件，则或解得|m|≥1，所以m≤－1或m≥1.故选D.
12．(多选)下列结论正确的是(　 )
A． x∈(0,1)，logx＞logx
B． x∈(0，＋∞)，x＞sin x
C．命题“ x∈M，f(x)g(x)＝0”的否定是“ x∈M，f(x)≠0且g(x)≠0”
D．“a·b＜0”是“〈a，b〉为钝角”的充分不必要条件
解析：选ABC　当x＝时，logx＝1，logx＝log＜log＝1，故A正确．令f(x)＝x－sin x，x∈(0，＋∞)，∵f′(x)＝1－cos x≥0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＞f(0)＝0，即x－sin x＞0，即x＞sin x，故B正确．“ x∈M，f(x)g(x)＝0”的否定是“ x∈M，f(x)g(x)≠0”，又f(x)g(x)≠0等价于f(x)≠0且g(x)≠0，故C正确．若a·b＜0，则cos〈a，b〉＜0，则〈a，b〉为钝角或180°，若〈a，b〉为钝角，则a·b＜0，故“a·b＜0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件，故D错误．
13．命题“ x∈，cos x>sin x”的否定是
__________________________.
答案： x∈，cos x≤sin x
14．(2022·佛山模拟)若“ x∈[4,6]，x2－ax－1>0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：因为“ x∈[4,6]，x2－ax－1>0”为假命题，
所以“ x∈[4,6]，x2－ax－1≤0”为真命题，
即x－≤a对 x∈[4,6]恒成立，
所以a≥max且x∈[4,6]，
又因为f(x)＝x－在[4,6]上是增函数，
所以f(x)max＝f(6)＝6－＝，所以a≥.
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，＋∞))
15．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)， x1∈[－1,2]， x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上的值域分别为A，B，则A＝[－1,3]，B＝[－a＋2,2a＋2]，由题意可知∴a≤，又∵a>0，∴0答案：
16．已知条件p：x－a<0；条件q：向量a＝(2，－1)，b＝(3，x)的夹角为锐角．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________．
解析：由x－a<0，得x0且向量a，b不共线，所以解得x<6且x≠－.
答案：