2023年高考一轮复习第三节　等式性质与不等式性质 教案

等式性质与不等式性质
教学目标：
1．比较两个实数大小的方法
关系 方法
作差法 作商法
a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0)
a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0)
a0)或>1(a，b<0)
2.不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b ba 可逆
传递性 a>b，b>c a>c；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向，同正
可乘方性 a>b>0，n∈N* an>bn 同正
可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
1．倒数性质
(1)a＞b，ab＞0 ＜；(2)a＜0＜b ＜；
(3)a＞b＞0,0＜c＜d ＞；
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0 ＜＜.
2．两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：
(1)＜；＞(b－m＞0)；
(2)＞；＜(b－m＞0)．
1．(苏教版必修第一册P50·T7改编)实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是(　 )
A.＜1 B．2－x＜2－y
C．lg(x－y)＞0 D．x2＞y2
答案：B
2．(人教B版必修第一册P63·T2改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　 )
A.＞ B.＜
C.＞ D．＜
答案：B
3．(人教A版必修第一册P38·例1改编)已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为________________________________________________________________________．
答案：(x2＋1)2>x4＋x2＋1
4．(人教A版必修第一册P42·T5改编)已知2答案：(7,12)
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　比较两个数(式)的大小　
[题点全训]
1．设A＝，B＝，则A与B的大小关系是(　 )
A．AB
C．仅有x>0时，A解析：选D　A－B＝－＝，令A－B<0，得x<－4或x>－2，令A－B>0，得－42．已知a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为_________________________________．
解析：＝＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())16·＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())16·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())16＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())16，∵∈(0,1)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())16<1，∵1816>0，1618>0，∴1816<1618，即a答案：a3．已知a>0且a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P与Q的大小关系为________．
解析：P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.
当a>1时，a3＋1>a2＋1，
所以>1，则loga>0；
当0所以0<<1，则loga>0.
综上可知，当a>0且a≠1时，P－Q>0，即P>Q.
答案：P>Q
[一“点”就过]
比较两个数(式)大小的常用方法
作差法 作差；变形；定号；得出结论
作商法 作商；变形；判断商与1的大小关系；得出结论
构造函数 利用函数的单调性比较大小
基础点(二)　不等式的性质的理解　
[题点全训]
1．设c>0，则下列各式成立的是(　 )
A．c>2c　　　　　　　　 B.c>c
C．2cc
解析：选D　因为c>0时，2c>1，c<1，
所以2c>c.故选D.
2．(2022·济宁模拟)(多选)已知a，b，c，d均为实数，下列说法正确的是(　 )
A．若a>b>0，则<
B．若a>b，c>d，则a－d>b－c
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a＋b＝1，则4a＋4b≥4
解析：选BD　对于A，当c≤0时，不等式不成立，故选项A不正确．对于B，c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故选项B正确．对于C，例如： a＝2，b＝－1，c＝－1，d＝－2，此时ac＝－23．(多选)已知实数a，b，c满足cA．ab>ac B．c(b－a)>0
C．ac(a－c)<0 D．cb2解析：选ABC　因为c0，
所以ab>ac，故A一定成立；
又b－a<0，所以c(b－a)>0，故B一定成立；
又a－c>0，ac<0，所以ac(a－c)<0，故C一定成立；
当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb2[一“点”就过]
运用不等式的性质判断命题真假的策略
(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．
(2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　判断不等式是否成立　
[典例]　(1)(2021·海南三模)(多选)设a，b，c为实数且a＞b，则下列不等式一定成立的是(　 )
A.＞ B．2 020a－b＞1
C．ln a＞ln b D．a(c2＋1)＞b(c2＋1)
(2)(2022·湖北调研)下列对不等关系的判断，正确的是(　 )
A．若＜，则a3＞b3
B．若＞，则2a＜2b
C．若ln a2＞ln b2，则2|a|＞2|b|
D．若tan a＞tan b，则a＞b
[解析]　(1)对于A，若a＞b＞0，则＜，故A错误；对于B，因为a－b＞0，所以2 020a－b＞1，故B正确；对于C，函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，而a，b不一定是正数，故C错误；对于D，因为c2＋1＞0，所以a(c2＋1)＞b(c2＋1)，故D正确．
(2)对于选项A，当a＝－1，b＝1时满足＜，但a3＜b3，A错误；对于选项B，当a＝1，b＝－2时，满足＞，但2a＞2b，B错误；对于选项C，ln a2＞ln b2 a2＞b2 |a|＞|b| 2|a|＞2|b|，C正确；对于选项D，tan＞tan，但＜，D错误．故选C.
[答案]　(1)BD　(2)C
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．
(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．　　
[针对训练]
1．若a>b，则(　 )
A．ln(a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0 D．|a|>|b|
解析：选C　由a>b，得a－b>0.但a－b>1不一定成立，则ln(a－b)>0不一定成立，故A不一定成立．
因为y＝3x在R上是增函数，当a>b时，3a>3b，故B不成立．因为y＝x3在R上是增函数，当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C成立．因为当a＝3，b＝－6时，a>b，但|a|<|b|，所以D不一定成立．
2．已知x，y∈R，且x>y>0，则(　 )
A.－>0 B．sin x－sin y>0
C.x－y<0 D．ln x＋ln y>0
解析：选C　A项，因为x>y>0，所以－<0，所以A错误；B项，y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x>sin y，所以B错误；C项，因为x>y>0，所以有xy>0时，xy>0，不一定有ln xy>0，所以D错误．
重难点(二)　利用不等式的性质求代数式的范围
[典例]　(1)(多选)已知3A.∈ B.∈
C．a－2b∈(－4,1) D．a－2b∈(－7,4)
(2)若－2[解析]　(1)∵1(2)由－20，且－2[答案]　(1)BD　(2)(0,10)
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．　　
[针对训练]
1．已知α∈，β∈，则2α－的取值范围是(　 )
A. B.
C．(0,1) D．
解析：选D　因为α∈，所以0<2α<1，又β∈，所以0≤≤，所以－≤－≤0，所以－<2α－<1.
2．(2022·郑州模拟)已知2A. B.
C. D．
解析：选B　由题意，2层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视字母符号致误)(多选)下列命题为真命题的是(　 )
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
解析：选BCD　当c＝0时，不等式不成立，∴A中命题是假命题； a2>ab， ab>b2，∴a2>ab>b2，∴B中命题是真命题；a>b>0 a2>b2>0 0<<，∵c<0，∴>，∴C中命题是真命题；> －>0 >0，∵a>b，∴b－a<0，则ab<0，∴D中命题是真命题．故选B、C、D.
2．(谨防多次运用不等式性质扩大范围)已知1A. B.
C. D．
解析：选C　因为8a＋b＝2(a＋2b)＋3(2a－b)，13．(忽视乘法运算的符号)已知－2解析：因为2答案：
二、融会贯通应用创新题
4．(借助数学文化)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[1，2 020]时，符合条件的a共有________个．
解析：由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N*，则3m＝5n＋1.
设k∈N，当m＝5k时，n不存在；
当m＝5k＋1时，n不存在；
当m＝5k＋2时，n＝3k＋1，满足题意；
当m＝5k＋3时，n不存在；
当m＝5k＋4时，n不存在．
故1≤a＝15k＋8≤2 020，解得－≤k≤，
则k＝0,1,2，…，134，共135个．
答案：135
5．(链接生活实际)a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了．据此提炼出一个不等式：______________________________________________________.
解析：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，可得糖水的浓度为×100%；在糖水中加入x克糖，可得糖水的浓度为×100%；由糖水变甜了，可得×100%>×100%，化简整理得，>(a>b>0，x>0)．
答案：>(a>b>0，x>0)
6．(创新思维方式)依据糖水不等式可得出log32______log1510(用“＜”或“＞”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式____________．
解析：①因为0＜log32＜1，所以可得log32＝＜ ＜＝log1510；②由①可得log32＜log1510 ＜＝，即＞.
答案：＜　＞
[课时验收评价]
1．(2022·徐州模拟)设P＝2a2－4a＋3，Q＝(a－1)·(a－3)，a∈R，则有(　 )
A．P≥Q B．P>Q C．P解析：选A　∵P－Q＝2a2－4a＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，∴P≥Q.
2．(2022·珠海调研)已知a，b∈R，满足ab<0，a＋b>0，a>b，则(　 )
A.< B.＋>0
C．a2>b2 D．a<|b|
解析：选C　因为ab<0，a>b，所以a>0，b<0，>0，<0，A不正确；<0，<0，则＋<0，B不正确；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．
3．若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的(　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　－＞0 ＞ a＞b≥0 a2＞b2，但a2－b2＞0－＞0，所以“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件．
4．实数x，y，z满足x2＝4x＋z－y－4且x＋y2＋2＝0，则下列关系成立的是(　 )
A．y>x≥z B．z≥x>y
C．y>z≥x D．z≥y>x
解析：选D　由x2＝4x＋z－y－4知，z－y＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，即z≥y；
由x＋y2＋2＝0知，x＝－(y2＋2)，则y－x＝y2＋2＋y＝y＋2＋>0，即y>x.
综上，z≥y>x，故选D.
5．已知实数x，y满足|x|≤1，且|y|≤1，则|x－y|的最大值为(　 )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B　因为|x|≤1，|y|≤1，
所以－1≤x≤1，－1≤y≤1，所以－1≤－y≤1，
由不等式加法运算法则可得，－2≤x－y≤2，
所以0≤|x－y|≤2.故|x－y|的最大值为2.
6．已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是(　 )
A．M＞N B．M＜N
C．M＝N D．不能确定
解析：选A　∵0＜a＜，∴1＋a＞0,1＋b＞0,1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.
7．(多选)有外表一样，重量不同的六个球，它们的重量分别是a，b，c，d，e，f，已知a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e＞c＋d＋f，a＋b＋f＜c＋d＋e，a＋e＜b.则下列判断正确的有(　 )
A．b＞c＞f B．b＞e＞f
C．c＞e＞f D．b＞e＞c
解析：选ABD　因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e＞c＋d＋f，所以e－c＞c－e，所以e＞c，又因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋f＜c＋d＋e，所以c－f＞f－c，所以c＞f，所以e＞c＞f，所以C错误；又因为a＋e＜b，所以a＜b，e＜b，所以b＞e＞c，b＞e＞f，b＞c＞f均成立，所以A、B、D正确．
8．(2022·广州模拟)若α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是(　 )
A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0
C．－＜α－β＜ D．－＜α－β＜0
解析：选B　从题中－＜α＜β＜可分离出三个不等式－＜α＜　①，－＜β＜　②，α＜β　③.根据不等式的性质，②式同乘以－1得－＜－β＜　④，根据同向不等式的可加性，可得－π＜α－β＜π.由③式得α－β＜0，所以－π＜α－β＜0，故选B.
9．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积．某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金(　 )
A．大于10 g B．小于10 g
C．大于等于10 g D．小于等于10 g
解析：选A　由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b(不妨设a>b)，先称得的黄金的实际质量为m1，后称得的黄金的实际质量为m2.由杠杆的平衡原理得，bm1＝a×5，am2＝b×5，解得m1＝，m2＝，则m1＋m2＝＋.下面比较m1＋m2与10的大小(作差比较法)：因为(m1＋m2)－10＝＋－10＝，又a≠b，所以>0，即m1＋m2>10.故顾客实际所得黄金大于10 g.
10．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为(　 )
A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱
解析：选C　依题意可设买大竹子x根，每根单价为m，购买小竹子78－x根，每根单价为m－1钱，所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)．因为0≤x≤78，所以即即≤m≤.根据选项知m＝8，x＝30，所以买大竹子30根，每根8钱．
11．(2021·梅州二模)(多选)若>>0，则下列不等式中正确的是(　 )
A．a2(1＋b)2ab2
C.－< 　 D．loga＋23>logb＋13
解析：选AC　因为>>0，所以00，>0，所以－<，故C正确；D选项，若a＝2，b＝3，则loga＋23－logb＋13＝log43－log43＝0，故D错误．
12．(多选)若实数x，y满足x>y>0，则(　 )
A.> B.ln(x－y)>ln y
C．x＋y< D．x－y解析：选ACD　对于A，因为x>y>0，所以>>0，故A正确；对于B，因为x>y>0，所以不能判断x－y，y的大小关系，所以不能比较ln(x－y)，ln y的大小关系，故B不正确；对于C，假设x＋y<成立，则(x＋y)2<2(x2＋y2)，化简得x2＋y2－2xy＝(x－y)2>0，此式在x>y>0时恒成立，故C正确；对于D，令函数f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1，又x>0，所以f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又x>y>0，所以f(x)>f(y)，所以ex－x>ey－y，即x－y13．已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________________．
解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝，
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，
∴≥0，∴＋≥＋.
答案：＋≥＋
14．若a∈[12,60]，b∈[16,36]，则a－b的取值范围是________．
解析：因为a∈[12,60]，b∈[16,36]，即12≤a≤60,16≤b≤36，可得－36≤－b≤－16，则－24≤a－b≤44，故a－b的取值范围是[－24,44]．
答案：[－24,44]
15. 给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③ ＞－.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是________．
解析：使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0.当a>b>0时，①②显然成立．对于③，()2－(－)2＝2－2b＝2(－)，∵a＞b＞0，∴2(－)＞0，∴()2－(－)2＞0，即 ＞－.
答案：a>b>0(答案不唯一)
16．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是________．
解析：若ab>0，bc－ad>0成立，不等式bc－ad>0两边同除以ab可得－>0，即ab>0，bc－ad>0 －>0；若ab>0，－>0成立，不等式－>0两边同乘ab，可得bc－ad>0，即ab>0，－>0 bc－ad>0；若－>0，bc－ad>0成立，则－＝>0，又bc－ad>0，则ab>0，即－>0，bc－ad>0 ab>0.
综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成的正确命题有3个．
答案：3