2023年高考一轮复习第四节　基本不等式 教案

第四节　基本不等式
教学目标：
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
(1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(2)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解．
(3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
(4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致．
1．(苏教版必修第一册P57·T8改编)设a＞0，则9a＋的最小值为(　 )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选C　9a＋≥2＝6.当且仅当9a＝，即a＝时等号成立．
2．(人教B版必修第一册P73·例1改编)若x<0，则x＋(　 )
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
解析：选D　因为x<0，则－x＞0，所以－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋))＝(－x)＋－≥2＝2，所以x＋≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立．故选D.
3．(北师大版必修第一册P30·T7改编)矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　 )
A．4 B. C. D．2
解析：选B　依题意可得a，b＞0，则6＝a＋2b≥2＝2·，当且仅当a＝2b时取等号．所以ab≤＝，即矩形面积的最大值为.
4．(多选)若x≥y，则下列不等式中正确的是(　 )
A．3x≥3y B.≥
C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy
解析：选AD　由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有3x≥3y，故A正确；当0＞x≥y时，≥不成立，故B错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确．
5．(人教A版必修第一册P48·T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________．
解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1())2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号．
答案：
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　配凑法求最值　
[题点全训]
1．若x＞2，则函数y＝x＋的最小值为(　 )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：选D　∵x＞2，∴x－2＞0，∴y＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时取等号，∴函数y＝x＋的最小值为6.
2．已知0A. B．3 C. D．4
解析：选C　因为00，所以2x(3－x)＝2·x(3－x)≤22＝，当且仅当x＝3－x，即x＝时取等号．所以2x(3－x)的最大值为.
3．(2021·天津河西区二模)函数y＝(x>－1)的最小值为________．
解析：因为x>－1，则x＋1>0，所以y＝＝＝(x＋1)＋＋5≥2 ＋5＝9，当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立，所以所求函数的最小值为9.
答案：9
[一“点”就过]
1．拼凑法求最值
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2．拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．
基础点(二)　常数代换法求最值　
[题点全训]
1．(2022·长沙一中高三一模)(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　 )
A. 有最大值 B.＋有最小值3
C．a2＋b2有最小值 D．＋ 有最大值
解析：选ACD　对于A选项，由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，由基本不等式可得＋＝(3a＋3b)＝[(a＋2b)＋(2a＋b)]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋＋))≥＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，B选项错误；
对于C选项，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2×2＝＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，C选项正确；
对于D选项，由(＋)2＝a＋b＋2≤2(a＋b)＝2，得＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，D选项正确．
2．若0A．15 B．16 C．17 D．18
解析：选B　∵00，∴＋＝[x＋(1－x)]＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝时等号成立，故选B.
3．已知x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，则x＋y的最小值是________．
解析：因为x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，所以＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝＋8＋2＋≥10＋2 ＝18，当且仅当＝，即x＝12，y＝6时取等号，所以x＋y的最小值为18.
答案：18
[一“点”就过]
1．常数代换法的运用技巧
常数代换的实质是x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为1的式子，然后通过乘积的运算利用基本不等式解题．
2．用常数代换法求最值时应注意的两个方面
(1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身；
(2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理，如T3，等式2x＋8y＝xy两边同时除以xy，则可直接得到结果为常数1的式子：＋＝1.
基础点(三)　消元法求最值　
[题点全训]
1．(2022·辽宁五校联考)已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是________．
解析：由ab－b＋1＝0可得a＝，
由a＝＞0且b＞0得b＞1，
所以＋4b＝＋4b＝＋4(b－1)＋5.
易知＋4(b－1)≥4，所以＋4b≥9，
当且仅当＝4(b－1)，即b＝，a＝时等号成立，故＋4b的最小值是9.
答案：9
2．已知实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值为________．
解析：由已知得x≠0，y＝，所以x2＋y2＝x2＋2＝x2＋－≥，当且仅当x2＝，即x＝± 时取得等号．
答案：
3．(2020·江苏高考)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
解析：由5x2y2＋y4＝1得x2＝－(y≠0)，则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是.
答案：
[一“点”就过]
利用消元法求最值的技巧
消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
不会利用双换元法求含两参数的最值问题
若题目中含有求两个分式的最值问题，解决这类问题最常用的方法就是双换元，分别设两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
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[典例]　若a＞0，b＞0，且＋＝1，则a＋2b的最小值为________．
[解题观摩]　由题意设变形可得则＋＝1，即a＋2b＝＋－，由于＋＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))＝2＋＋≥2＋2＝2＋，当且仅当＝，即m＝＋1，n＝＋1时取等号．所以a＋2b＝＋－≥，当且仅当a＝＋，b＝时取等号，故a＋2b的最小值为.
重难点(一)　基本不等式的实际应用　
[典例]　为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120 km的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(单位：km/h)值的2倍．(说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费)
(1)为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的范围；
(2)若要使运输的总费用最小，汽车的行驶速度为多少？
[解]　(1)设汽车行驶的速度为x km/h，
∵运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费，
∴×60＋1 000＋2x≤1 260，化简得x2－130x＋3 600≤0，解得40≤x≤90，
∴为使运输的总费用不超过1 260元，汽车行驶速度的范围应为[40,90]．
(2)设汽车行驶的速度为x km/h，
∵运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费，
∴×60＋1 000＋2x＝2x＋＋1 000≥2 ＋1 000＝1 240，
当且仅当2x＝，即x＝60时取得等号，
∴若要使运输的总费用最小，汽车应以60 km/h的速度行驶．
利用基本不等式解决实际应用问题的思路
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．　　
[针对训练]
如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD，公园由矩形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成，已知休闲区A1B1C1D1的面积为1 000 m2，人行道的宽分别为5 m和8 m，设休闲区的长为x m.
(1)求矩形ABCD所占面积S(单位：m2)关于x的函数解析式；
(2)要使公园所占面积最小，问休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少m
解：(1)因为休闲区的长为x m，休闲区A1B1C1D1的面积为1 000 m2，所以休闲区的宽为 m，从而矩形ABCD的长与宽分别为(x＋16)m，＋10m，因此矩形ABCD所占面积S＝(x＋16)(x>0)．
(2)S＝(x＋16)＝10＋1 160≥10×2＋1 160＝1 960，当且仅当x＝，即x＝40时取等号，则休闲区的宽为＝25(m)．
因此要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为40 m,25 m.
重难点(二)　基本不等式的综合应用　
考法1　基本不等式与其他知识的交汇
[例1]　(1)若直线ax－by－2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x＋2y＋1＝0截得的弦长为2，则＋的最小值为(　 )
A. B．4 C. D．2
(2)已知向量m＝(a－3，b)，n＝(－2,1)，a>0，b>0，满足m∥n，则＋的最小值为(　 )
A．9 B．4 C．3 D．5
[解析]　 (1)由题意，把圆的方程化为标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，可得圆心坐标为(1，－1)，半径为r＝1，因为直线ax－by－2＝0被圆截得的弦长为2，所以直线ax－by－2＝0必过圆心(1，－1)，代入可得a＋b＝2，又因为a>0，b>0，则＋＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))·(a＋b)＝·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋＋))≥·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2))＝2，当且仅当＝，即a＝b＝1时，等号成立，所以＋的最小值为2.
(2)由m∥n知，a－3＝－2b，即a＋2b＝3，又a>0，b>0，于是有＋＝(a＋2b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋＋))≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2))＝3，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以＋的最小值为3.
[答案]　(1)D　(2)C
考法2　求参数的值或取值范围
[例2]　已知正数x，y满足4x＋9y＝xy且x＋y[解析]　由已知得，＋＝1，x＋y＝(x＋y)·＋＝＋＋13≥2＋13＝25，
当且仅当＝，即x＝15，y＝10时取等号；
由题意得，(x＋y)min即m2－24m>25，解得m<－1或m>25.
[答案]　(－∞，－1)∪(25，＋∞)
(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．
(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围．　　
[针对训练]
1．设a>0，b>0，若4是2a与2b的等比中项，则＋的最小值为(　 )
A．1 B．8 C．4 D．
解析：选A　因为4是2a与2b的等比中项，所以2a·2b＝42＝24，可得a＋b＝4，因为a>0，b>0，所以有＋＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋＋))≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2))＝1，当且仅当＝，即a＝b＝2时取等号．
2．若关于x的不等式＋≥4对任意x>2恒成立，则正实数a的最大值是(　 )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选A　因为x>2，所以x－2>0，所以＋≥4对任意x>2恒成立 ＋＋≥4对任意x>2恒成立 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(＋＋))min≥4，而＋≥2＝，当且仅当＝时，取等号．所以原问题转化为＋≥4，解得0层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视等号成立的条件)(多选)在下列函数中，最小值是2的函数有(　 )
A．f(x)＝x2＋
B．f(x)＝cos x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0C．f(x)＝
D．f(x)＝3x＋－2
解析：选AD　对于选项A，∵x2＞0，∴由基本不等式可得x2＋≥2，当且仅当x2＝，即x＝1或x＝－1时，等号成立，故选项A正确；对于选项B，∵02．(应用基本不等式忽略“正”)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．
解析：因为x<0，所以y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))≥1＋2eq \r( －2x ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－)))＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故y的最小值为1＋2.
答案：1＋2
3．(连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
解析：∵x>0，y>0，∴>0.
∵x＋2y＝5，
∴＝＝＝2＋≥2＝4，
当且仅当2＝时取等号．
∴的最小值为4.
答案：4
二、融会贯通应用创新题
4．(借助数学文化)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为(　 )
A．3 B．8 C．4 D．9
解析：选A　由题意得p＝7，
S＝＝≤·＝3，当且仅当7－b＝7－c，即b＝c＝4时等号成立，∴此三角形面积的最大值为3，故选A.
5．(衔接高等数学)(多选)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时， ≥ ，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有(　 )
A．若x＞0，则x2＋≥3
B．若0＜x＜1，则x2(1－x)≤
C．若x＞0，则2x＋≥3
D．若0＜x＜1，则x(1－x)2≤
解析：选AC　对于A，x＞0，x2＋＝x2＋＋≥3＝3，故A正确；对于B，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())3＝，故B错误；对于C，x＞0,2x＋＝x＋x＋≥3＝3，故C正确，对于D，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x(1－x)2＝×2x(1－x)(1－x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())3＝，故D错误．故选A、C.
6.(体现数学应用)如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.已知AB＝4，AD＝3，那么当BM＝______时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为______．
解析：令BM＝x(x＞0)，由题意可知△CDN∽△MBC，则＝，即＝，∴DN＝，即S矩形AMPN＝AM·AN＝(4＋x)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋))＝24＋3x＋≥24＋2＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时取等号，故当BM＝4时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为48.
答案：4　48
7．(结合新定义问题)如图，三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝2，设点K是△ABC内一点，现定义f(K)＝(x，y，z)，其中x，y，z分别是三棱锥K-PAB，K-PBC，K-PAC的体积，若f(K)＝，则的最小值为________．
解析：由定义得a＋＋b＝×2×，∴a＋b＝1.∴＝＋＝(a＋b)＝4＋＋≥4＋2 ＝4＋2(当且仅当b＝a时取等号)，即最小值为2＋4.
答案：2＋4
8．(强化开放思维)写出一个关于a与b的等式，使＋是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为________．
解析：该等式为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件．
＋＝(a2＋b2)＝1＋9＋＋≥10＋2 ＝16，当且仅当b2＝3a2时取等号，所以＋是一个变量，且它的最小值为16.
答案：a2＋b2＝1
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　 )
A．a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D．a2＋b2>2ab
解析：选C　因为和同号，所以＝＋≥2＝2.
2．已知函数f(x)＝＋x，则(　 )
A．f(x)有最小值 B．f(x)有最小值－
C．f(x)有最大值－ D．f(x)有最大值－
解析：选D　∵x<，∴－x>0，f(x)＝＋x＝＋x－＋＝－＋≤－2＋＝－，当且仅当＝－x，即x＝－时取等号，故f(x)有最大值－.
3．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　 )
A．6 B．8 C．4 D．16
解析：选B　∵a2＋b2＝13，∴a≤＝＝8，当且仅当a＝时等号成立，∴a的最大值为8.
4．(2022·济宁高三月考)若a>0，b>0,3a＋2b＝6，则＋的最小值为(　 )
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：选C　因为a>0，b>0,3a＋2b＝6，所以＋＝(3a＋2b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋＋))≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋2))＝4，当且仅当3a＝2b＝3时，取等号，即＋的最小值为4.
5．已知对任意的正实数x，y，不等式x＋4y≥m恒成立，则实数m的取值范围是(　 )
A．(0,4] B．(0,2]
C．(－∞，4] D．(－∞，2]
解析：选C　∵x>0，y>0，∴x＋4y≥m等价于m≤，即m≤min，又∵＝＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即x＝4y时等号成立，∴m≤4，故m∈(－∞，4]．
6．(2021·天津河西区三模)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析：∵xy＝1，∴x2＋2y2≥2＝2·＝2，当且仅当x2＝2y2，xy＝1时等号成立．
答案：2
7．(2022·惠州一模)已知a，b∈R，若a－3b＝2，则2a＋的最小值为________．
解析：2a＋＝2a＋2－3b≥2×＝2×＝4.当且仅当即时等号成立．
答案：4
8．(2021·天津高考)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________．
解析：∵a>0，b>0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，∴＋＋b的最小值为2.
答案：2
9．(1)已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，))，求函数y＝x(1－2x)的最大值；
(2)已知x>，求函数y＝2x＋的最小值．
解：(1)y＝x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，故函数的最大值为.
(2)∵x>，∴2x－1>0，∴y＝2x＋＝＋＋1≥2 ＋1＝5，当且仅当2x－1＝，即x＝时等号成立，故函数的最小值为5.
10.某市为迎接国庆节提出的文化强国建设的号召，市政府计划建立一个文化产业园区，计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形CDEF文化园展厅，如图，点C，D在底边AB上，E，F分别在腰OB，OA上，已知OA＝OB＝30米，AB＝30 米，OE＝x米，x∈[14,20]．
(1)试用x表示S，并求S的取值范围；
(2)若矩形CDEF展厅的每平方米造价为，绿化区(图中阴影部分)的每平方米造价为(k为正常数)，求总造价W关于S的函数W＝f(S)，并求当OE为何值时总造价W最低．
解：(1)由题意得，△OAB为等腰直角三角形，则EF＝x，DE＝(30－x)，∴S＝x(30－x)＝－(x－15)2＋225，∵x∈[14,20]，∴S∈[200,225]．故S＝－(x－15)2＋225，S∈[200,225]．
(2)由题意得，矩形展厅的造价为·S，绿化区(图中阴影部分)的造价为·(450－S)，∴W＝·S＋·(450－S)＝25k≥300k，当且仅当S＝12×18＝x(30－x)，即x＝18时等号成立，∴W＝f(S)＝25k，当OE为18米时，总造价W最低．
二、重点难点培优训练
1．已知函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若直线＋＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，则3m＋n的最小值为(　 )
A．16 B．8 C．12 D．14
解析：选B　由题意，函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)，令x＋4＝1，可得x＝－3，代入可得y＝－1，∴图象恒过定点A(－3，－1)．∵直线＋＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，∴＋＝2，即＋＝1.∴3m＋n＝(3m＋n)＝5＋＋≥5＋2 ＝8，当且仅当n＝m＝2时取等号，∴3m＋n的最小值为8.
2．(2022·天津和平区高三一模)已知a>0，b>0，则的最小值为________．
解析：因为a>0，b>0，所以a2＋1≥2a，b2＋2≥2b，从而＝≥＝2，
当且仅当a＝1，b＝时等号成立，所以的最小值为2.
答案：2
3．(2022·襄阳四中高三一模)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解得－4答案：(－4,2)
4．中华人民共和国第十四届运动会于2021年在陕西省举办，全运会会徽以及吉祥物已于2019年8月2日晚在西安市对外发布．某公益团队计划联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
解：(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，供货单价为50＋＝52(元)，总利润为5×＝240(万元)．
故总利润为240万元．
(2)销售量为15－0.1x，供货单价为50＋，单套利润为x－50－＝x－50＋，因为15－0.1x>0，所以0