2023年高考一轮复习第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 教案

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第五节　二次函数与一元二次方程、不等式
教学目标：
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.
2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系.
3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式.
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x)) R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
3.分式不等式与整式不等式
(1)＞0(＜0) f(x)·g(x)＞0(＜0)．
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(1)绝对值不等式|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a)．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
(2)解不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)时不要忘记当a＝0时的情形．
(3)不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
①不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立 或②不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立 或
1．不等式≤1的解集是________．
解析：由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得x－1＝0或(x－1)(x＋1)>0，得x＝1或x<－1或x>1，得x<－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|x<－1或x≥1}．
答案：{x|x<－1或x≥1}
2．(苏教版必修第一册P62·T5改编)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝________.
答案：R
3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________．
解析：由题意知－，是ax2＋bx＋2＝0的两根，
则a＝－12，b＝－2.所以a＋b＝－14.
答案：－14
4．(人教A版必修第一册P58·T6改编)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意有4a2－4×18<0，可得－3答案：(－3，3)
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　一元二次不等式的解法　
[题点全训]
1．已知集合A＝{x|－x2＋x＋2＞0}，B＝{x|x2＋3x－4>0}，则A∩B＝(　 )
A．{x|1C．{x|－4－1}
解析：选A　集合A＝{x|－11}，则A∩B＝{x|12．关于x的不等式x2－x＋1＜0(a＞1)的解集为________．
解析：不等式x2－x＋1＜0
可化为(x－a)＜0，
又a＞1，∴a＞，∴不等式的解集为.
答案：
3．不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，则a的取值范围为________．
解析：∵原不等式可化为<0，
即(x－1)·[(a－1)x＋1]<0，
∴由题意得即a＝.
答案：
4．不等式0解析：原不等式等价于
即
即解得
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2答案：{x|－2≤x<－1或2[一“点”就过]
解一元二次不等式的4个步骤
基础点(二)　三个“二次”关系的应用　
[题点全训]
1．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是{x|－1A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x)) B.
C. D．
解析：选A　因为ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是{x|－1所以不等式cx2＋bx＋a<0 －2ax2－ax＋a<0，
即2x2＋x－1<0，解得.
2．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x|－5答案：－1　1
3．(2022·甘肃期末)已知函数f(x)＝，若f(x)>m的解集为，则m的值为________．
解析：因为f(x)>m，所以>m，所以mx2－15x＋9m<0，因为其解集为，所以mx2－15x＋9m＝0的两个根为和6，所以＋6＝，解得m＝2.
答案：2
[一“点”就过]
(1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
(2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
因没有掌握分类讨论的标准错解含参不等式
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[典例]　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
[解]　由a>0，知原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－)) (x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－)) (x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，得③当01，得1综上，当0当a＝1时，不等式解集为 ；
当a>1时，不等式解集为.
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．　　
[针对训练]
解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0.
解：∵x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0，
∴(x－2a)[x－(a＋1)]>0，
令f(x)＝(x－2a)[x－(a＋1)]，
则f(x)的图象开口向上，且与x轴交点横坐标分别为2a，a＋1.
①当2a＝a＋1，即a＝1时，解得x≠2；
②当2a>a＋1，即a>1时，解得x2a；
③当2aa＋1.
综上，当a<1时，不等式的解集为{x|x<2a或x>a＋1}；
当a＝1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2}；
当a>1时，不等式的解集为{x|x2a}．
重难点(一)　一元二次不等式恒成立问题　
考法1　在R上的恒成立问题
[例1]　若关于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集为空集，则实数m的取值范围为(　 )
A. B.∪
C. D．(0，＋∞)
[解析]　因为关于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集为空集，所以关于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1<0的解集为R，当m＝0时，原不等式为－x－1≥0，即x≤－1，不符合题意，舍去；
当m≠0时，原不等式为一元二次不等式，只需解得m<－.
综上所述，m的取值范围为.
[答案]　A
考法2　在给定区间上的恒成立问题
[例2]　当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是(　 )
A．(－∞，0) B.
C. D．
[解析]　当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<2－恒成立，令f(x)＝2－＝2－，则当x＝2时，f(x)min＝－，所以a<－.
[答案]　B
考法3　给定参数范围的恒成立问题
[例3]　若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________．
[解析]　设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则即解得[答案]　
(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．
对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；
对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．　　
[针对训练]
1．若不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，则实数t的取值范围为(　 )
A．(－∞，2) B.
C．[1，＋∞) D．
解析：选D　因为不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，所以t>＝x＋在区间(1,2)上恒成立，由对勾函数的性质可知函数y＝x＋ 在区间(1,2)上单调递增，且当x＝2时，y＝2＋＝，所以x＋<，故实数t的取值范围是t≥.
2．函数f(x)＝x2＋ax＋3，若a∈[4,6]，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是________________________________________________________________________．
解析：令h(a)＝xa＋x2＋3，当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.所以实数x的取值范围是(－∞，－3－ ]∪[－3＋，＋∞)．
答案：(－∞，－3－ ]∪[－3＋，＋∞)
重难点(二)　一元二次不等式的实际应用　
[典例]　某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%
注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．
[解]　(1)下调电价后新增的用电量为，
∴下调电价后的总用电量为a＋，
∴y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)由已知
整理得解得0.60≤x≤0.75.
当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
求解不等式应用题的步骤
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．
(2)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．　　
[针对训练]
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2 000本．要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为________元．
解析：设定价为x元，销售总收入为y元，由题意得，y＝x，整理得y＝－20 000x2＋130 000x，因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，所以y＝－20 000x2＋130 000x≥200 000，解得≤x≤4，所以要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元．
答案：4
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视二次项的符号)不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为(　 )
A. B.
C．[2，＋∞) D．
解析：选B　由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为.
2．(忽视对含参二次项系数的讨论)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　 )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
解析：选C　原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2.综上知实数m的取值范围是(－2,2]．
二、融会贯通应用创新题
3．(创新考查角度)已知二次不等式ax2＋2x＋b＞0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－))))，则s＝a2＋b2－2(a＋b)的最小值为(　 )
A．2－4 B．2＋4
C．4－4 D．4＋4
解析：选C　由于二次不等式ax2＋2x＋b＞0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－))))，则
得ab＝2，且a＞0，b＞0.
所以s＝a2＋b2－2(a＋b)＝(a＋b)2－2(a＋b)－2ab＝(a＋b－1)2－5.
因为a＋b≥2＝2，所以s≥4－4，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．故选C.
4．(创新命题形式)三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路．
甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”．
乙说：“寻找x与y的关系，再作分析”．
丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”．
参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a的取值范围是(　 )
A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[－1,4) D．[－1,6]
解析：选B　选择用丙的方法．
因为xy≤ax2＋2y2，x∈[1,2]，y∈[2,3]，所以xy－2y2≤ax2，等价于≤a，即－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2≤a.
令＝t，则t∈[1,3]．
原式化为t－2t2≤a，对于任意t∈[1,3]恒成立，
因为t－2t2＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－))2＋，
所以当t＝1时，(t－2t2)max＝－1.
所以－1≤a，即a∈[－1，＋∞)．故选B.
5．(体现数学应用)某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t的取值范围是(　 )
A．[1,3] B．[3,5] C．[5,7] D．[7,9]
解析：选B　由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－t))万亩，则税收收入为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－t))×24 000×t%，由题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－t))×24 000×t%≥9 000，整理得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5，所以t的取值范围是[3,5]，故选B.
6．(结合新定义问题)若函数f(x)满足对任意的x∈[n，m](n＜m)，都有≤f(x)≤km成立，则称函数f(x)在区间[n，m](n＜m)上是“被k约束的”．若函数f(x)＝x2－ax＋a2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(，a)) (a＞0)上是“被2约束的”，则实数a的取值范围是(　 )
A．(1,2]　B.　C．(1，] D．(，2]
解析：选A　由题意得≤x2－ax＋a2≤2a对任意的x∈(a＞0)都成立．由a＞且a>0，得a＞1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())＝－1＋a2＞2－1＝1＞恒成立．由f(a)＝a2－a2＋a2＝a2≤2a，且a>1，得17．(强化开放思维)已知集合A＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________________．
解析：因为不等式(x＋4)(x－6)＞0的解集为{x|x＞6或x＜－4}，解集中只有－5在集合A中．
答案：(x＋4)(x－6)＞0(答案不唯一)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝(　 )
A．(－2,3) B．(1,3) C．(3,4) D．(－2,4)
解析：选B　A＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2＜x＜3}，所以A∩B＝(1,3)．
2．若a<0，则关于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为(　 )
A. B.
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<或x>2)))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<2或x>))))
解析：选B　方程(ax－1)(x－2)＝0的两个根为x＝2和x＝，因为a<0，所以<2，故不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为.
3．(多选)若二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则下列结论成立的是(　 )
A．a2＋b2＝5 B．a＋b＝－3
C．ab＝－2 D．ab＝2
解析：选ABD　由题意得，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根，由根与系数的关系，得解得所以ab＝2，a＋b＝－3，a2＋b2＝5.故A、B、D正确.
4．(2022·重庆质检)已知关于x的不等式mx2＋mx＋m<1对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　 )
A．(－∞，0]∪
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)
解析：选B　原不等式可整理为mx2＋mx＋m－1<0，①当m＝0时，－1<0恒成立，故符合题意；
②m≠0时，则有解得m<0.综上，m≤0.
5．若对于任意的x∈[0,2]，不等式x2－2x＋a>0恒成立，则a的取值范围为(　 )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选B　不等式x2－2x＋a>0，转化为a>－x2＋2x，设f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]，则f(x)＝－(x－1)2＋1，当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
6．若不等式x2－ax－b<0的解集是{x|20的解集为________．
解析：由题意，不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2所以不等式bx2－ax－1>0化为－6x2－5x－1>0，即6x2＋5x＋1＝(3x＋1)(2x＋1)<0，解得－答案：
7.如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x米，中间植草坪．为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x的取值范围为________．
解析：易知0×8×6，整理得x2－7x＋6>0，即(x－6)(x－1)>0，解得x<1或x>6，结合0答案：(0,1)
8．当x>2时，x2－(1＋a)x＋a>0，则a的取值范围是________．
解析：x2－(1＋a)x＋a＝(x－1)(x－a)>0.若a≤1，则x1，当x>2时，不等式成立；若a>1，则x<1或x>a，要满足题意，则a≤2，即1答案：(－∞，2]
9．已知关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋4<0(a∈R)．
(1)当a＝－6时，则此不等式的解集为________．
(2)若不等式的解集非空，则实数a的取值范围为________．
解析：(1)当a＝－6时，不等式为x2－5x＋4<0，解得1(2)不等式x2＋(a＋1)x＋4<0的解集非空，则Δ>0，即(a＋1)2－16>0，解得a<－5或a>3，故实数a的取值范围是(－∞，－5)∪(3，＋∞)．
答案：(1)(1,4)　(2)(－∞，－5)∪(3，＋∞)
10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商品一天的营业额为y元，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
解：(1)由题意得y＝100·100＝40(10－x)(25＋4x)．因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，解得0≤x≤2.所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为{x|0≤x≤2}．
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.又由(1)知，0≤x≤2，所以≤x≤2，故x的取值范围是.
二、重点难点培优训练
1．已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)≥f(－3－x2)对 x∈(0,3]恒成立，则a的取值范围为(　 )
A．[－1，＋∞) B．(3，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选D　因为函数f(x)在R上为增函数，则原不等式可化为－4x＋a≥－3－x2对 x∈(0,3]恒成立，所以a≥－x2＋4x－3对 x∈(0,3]恒成立，令g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，由x∈(0,3]，得g(x)∈(－3,1]，所以a≥1，故a的取值范围为[1，＋∞)．
2．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为(　 )
A．(－5,3)∪(4,5) B．[－5,3)∪(4,5]
C．(－5,3]∪[4,5) D．[－5,3]∪[4,5]
解析：选B　解不等式x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.解方程2x2＋(2k＋7)x＋7k＝0，得x1＝－，x2＝－k.显然，当k＝时，不等式组的解集为空集，不符合题意．
①当k>，即－k<－时，由2x2＋(2k＋7)x＋7k<0得，－k－时，由2x2＋(2k＋7)x＋7k<0得，－3．若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．
解析：令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，其对称轴方程为x＝，
由题意得，即
解得－5答案：(－5，－4]
4．设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)解不等式f(x)<(m＋1)x－3.
解：(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0.
若m≠0，则解得－4综上，－4(2)由f(x)<(m＋1)x－3得(mx－1)(x－2)<0.
当m＝0时，原不等式为－(x－2)<0，解得x>2；当m<0时，解得x<或x>2；当02，解得2时，<2，解得综上，当m＝0时，不等式解集为{x|x>2}；当m<0时，不等式解集为；当0当m>时，不等式解集为.