课件52张PPT。第13课时 导数的实际应用重点难点
点：利用导数解决实际问题中的优化问题．
难点：如何建立数学模型，借助导数求最值．
基础梳理
1．利用导数解决实际问题的基本思路2．利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式____________；
y＝f(x)(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝______；
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最________值
0大(小)课前热身
1．函数y＝(x＋1)3当x＝－1时( )
?A．有极大值
B．有极小值
C．既无极大值，也无极小值
D．无法判断
答案：C2．函数y＝1＋3x－x3有( )
A．极小值－2，极大值2
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－1，极大值1
D．极小值－1，极大值3
答案：D
3．函数y＝4x－x4，在[－1,2]上的最大、最小值分别为( )
A．3，－5 B．3，－8
C．－5，－8 D．0，－5
答案：B
5．圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，则它的底面半径为________时，才能使饮料罐的体积最大．
考点1 用料费用最少问题
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速
度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
【思路分析】
(1)先求行驶时间再求耗油量．
(2)借助导数求解．
【名师点评】
实际问题中,只要f′(x)＝0的点存在且左右f′(x)变号,即为极值点.另外，在实际生活中的利润最大问题、面积、体积最大问题、用时最短问题等也可用此方法解答．
考点2 导数的其他应用
(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形,那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p、q万元，农民购买两种型号的电视机获得的补贴分别为
(q＋1)(m>0)万元
已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号电视机投放市场，且A、B两型号的电视机投放金额都不低于1万元．
(1)当m＝ 时，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；
(2)讨论农民得到的补贴随厂家投放B型号电视机金额的变化情况．(精确到0.1，参考数据：ln4≈1.4)
【思路分析】
由已知可建立农民获得补贴的函数关系式．
(1)将m＝ 代入后再利用导数可求其最值．
(2)先对y求导，并对y′＝0的根分段讨论，得出函数单调性即可说明问题．
【解】 设B型号电视机的价值为x万元(1≤x≤9),农民得到的补贴为y万元.则A型号电视机的价值为(10－x)万元,
当x∈[1,10m－1)时р随B型电视机投放金额x的增加，农民得到的补贴逐渐增加；
当x∈(10m－1,9]时р随B型电视机投放金额x的增加р农民得到的补贴逐渐减少．
【名师点评】
实际应用中准确地确定函数解析式，确定函数定义域是关键．
方法技巧
函数的最值与极值的辨析
最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值与最小的值，在求函数的最值时，要注意：最值与极值的区别：极值是指某一点附近函数值的比较．因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；而最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较，因而在一般情况下，两者是有区别的,极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值,极小值就是最小值．
失误防范
1．在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义,
不符合实际意义的值应舍去．2．在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大
(小)值．
3．生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题．在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中自变量的定义区间．
命题预测
从近几年的广东高考试题来看,利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点,试题大多有难度,考查时多与函数的单调性、极值结合命题．预测2013年广东高考仍将以利用导数研究函数的单调性、极值与最值结合题目为主要考向，同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题．
规范解答
(本题满分12分)(2011·高考山东卷)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位：米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,(1)写出y关于r的函数表达式，并求
该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
【名师点评】
本题以实际问题为背景考查球与圆柱的体积公式、表面积公式、不等式的解法及利用导数求最值等基础知识.考查建模思想、分类讨论思想、方程思想、最值思想以及逻辑思维、抽象概括、运算求解能力及应用意识,难度较大．
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1．函数y＝( )
A．有最大值2，无最小值 B．无最大值，有最小值－2
C．有最大值2，有最小值－2 D．无最值
解析：选C.∵y′＝＝.
令y′＝0，得x＝1或－1，f(－1)＝＝－2，f(1)＝2.故选C.
2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，则应生产( )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
解析：选A.设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．故选A.
4．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a<－4
C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4
解析：选C.∵f′(x)＝2x＋2＋，f(x)在(0,1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，
即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立，
所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．
记g(x)＝－(2x2＋2x)，0
∴a≥0或a≤－4，故选C.
5．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
解析：设场地宽为x m，则长为(8－x) m，所以场地面积为y＝x(8－x)(0＜x＜8)，y′＝8－2x.令y′＝0，得x＝4，经检验x＝4既是函数的极大值点又是函数的最大值点．所以ymax＝16(m2)．
答案：16
6．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的函数关系为P＝24200－x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x(元)．则该厂每月生产________吨产品才能使利润达到最大，最大利润是________万元．(利润＝收入－成本)
解析：每月生产x吨时的利润为
f(x)＝(24200－x2)x－(50000＋200x)
＝－x3＋24000x－50000(x≥0)．
由f′(x)＝－x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．因f(x)在[0，＋∞)内只有一个极值点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．
所以每月生产200吨产品时的利润达到最大，最大利润为315万元．
答案：200 315
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在区间[－3,1]上的最大值和最小值．
解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
当x＝1时，切线l的斜率为3，
可得2a＋b＝0.①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′()＝0，
可得4a＋3b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为x＝1，
∴f(1)＝3×1＋1＝4，
∴1＋a＋b＋c＝4，
∴c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
∴f′(x)＝3x2＋4x－4，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝.
当x变化时，y′、y的取值及变化如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2，)
(，1)
1
y′
＋
0
－
0
＋
y
8
单调递增
?
13
单调递减
?
单调递增
?
4
∴y＝f(x)在区间[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：
①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；
②f(x)的极值点有且仅有一个；
③f(x)的最大值与最小值之和等于0.
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C.∵f(0)＝0，∴c＝0，
∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∴，即.
解得a＝0，b＝－4，
∴f(x)＝x3－4x，∴f′(x)＝3x2－4.
令f′(x)＝0，得x＝±∈[－2,2]，
∴极值点有两个．
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)max＋f(x)min＝0.
∴①③正确，故选C.
2．(2012·深圳质检)已知非零向量a，b满足：|a|＝2|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，设向量a，b的夹角为θ，则cosθ的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.∵函数f(x)在R上有极值，∴f ′(x)＝x2＋|a|x＋a·b＝0有两不等实根，∴Δ＝|a|2－4|a||b|·cosθ＝4|b|2－8|b|2cosθ>0，∴cosθ<，∴选D.
3．函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是________．
解析：f ′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)有两个零点－2和1，故由题设条件知－2和1是函数f(x)的一个极大值点和一个极小值点，
∵f(x)的图象经过4个象限，∴f(－2)·f(1)<0，
∴<0，∴－答案：－4．(2011·高考福建卷)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
5．已知函数f(x)＝ax＋－3lnx.
(1)当a＝2时，求f(x)的最小值；
(2)若f(x)在[1，e]上为单调函数，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝2x＋－3lnx，
f′(x)＝2－－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－(∵x>0，∴舍去负值)．
列表：
x
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
5－3ln2
?
∴当a＝2时，函数f(x)的最小值为5－3ln2.
(2)∵f′(x)＝，
令h(x)＝ax2－3x－a＝a(x－)2－，
要使f(x)在[1，e]上为单调函数，只需f′(x)在[1，e]内满足：f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，且等号只在孤立的点取得．
∵h(1)＝－3<0，
∴h(e)＝ae2－3e－a≤0，
∴a≤.
①当0≤a≤时，f′(x)≤0恒成立．
②当a<0时，x＝?[1，e]，
∴h(x)<0(x∈[1，e])，
∴f′(x)<0，符合题意．
综上可知，当a≤时，f(x)在[1，e]上为单调函数．
6．(2011·高考重庆卷)设f＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′满足f′＝2a，f′＝－b，其中常数a，b∈R.
求曲线y＝f在点处的切线方程．
设g＝f′e－x，求函数g的极值．
解：因为f＝x3＋ax2＋bx＋1，故f′＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′＝3＋2a＋b，由已知f′＝2a，
因此3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
又令x＝2，得f′＝12＋4a＋b，由已知f′＝－b，
因此12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
因此f＝x3－x2－3x＋1，从而f＝－.
又因为f′＝2×＝－3，故曲线y＝f在点处的切线方程为y－＝－3，
即6x＋2y－1＝0.
由知g＝e－x，
从而有g′＝e－x.
令g′＝0，得－3x2＋9x＝0，解得x1＝0，x2＝3.
当x∈时，g′<0，故g在上为减函数；
当x∈时，g′>0，故g在上为增函数；
当x∈时，g′<0，故g在上为减函数．
从而函数g在x1＝0处取得极小值g＝－3，在x2＝3处取得极大值g＝15e－3.
1．函数f(x)＝x3－3x(－1A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值
D．无最大值，但有最小值
答案：C
2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大，每件定价为________元．
解析：设每件商品定价x元，依题意可得
利润为L＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000(0＜x＜200)．
L′＝－2x＋230，令－2x＋230＝0，解得x＝＝115.
因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件115元出售时利润最大．
答案：115
3．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则矩形的面积最大时，矩形的边长为________．
解析：
设矩形边长AD＝2x，则|AB|＝y＝4－x2.
则矩形面积为S＝2x(4－x2)(0＜x＜2)．
即S＝8x－2x3，所以S′＝8－6x2，
令S′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当x＜时，S′＞0；当x＞时，S′＜0，
所以当x＝时，S取得最大值，此时，
S最大值＝，y＝，即矩形的边长分别为和时，矩形的面积最大．
答案：和
4．苏南某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注．据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：
y＝
从上午6点到中午12点，若通过该路段用时最多，则进入该路段的时刻t＝________.
解析：(1)当6≤t<9时，
y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)．
令y′＝0得，t＝－12或t＝8.
当6≤t<8时，y′>0，当8所以，当t＝8时，y有最大值．
ymax＝18.75(分钟)．
(2)当9≤t≤10时，y＝t＋是增函数，
∴当t＝10时，ymax＝15(分钟)．
(3)当10∴当t＝11时，ymax＝18(分钟)．
综上所述，上午8时进入该路段，通过该路段用时最多，为18.75分钟．
答案：8
5．某工厂设计一个密闭容器，下部是圆柱体形，上部是半球形，容积为常数V，当圆柱的底半径r与高h为何值时，制造这个容器的用料最省？
解：πr3＋πr2h＝V，①
∴πr2＋2πrh＝，S＝＋，
由S′＝－＝0得，r＝ .
代入①中得h＝r＝ ，
∴当h＝r＝ 时用料最省．
