课件42张PPT。第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理重点难点
重点：两个基本原理的理解和体会．
难点：正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性．基础梳理
1．分类加法计数原理
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法…在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝_____________________种不同的方法，这一原理叫做_____________________
2．分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2m1＋m2＋m3＋…＋mn分类加法计数原理．种不同的方法…做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝_______________________种不同的方法，这一原理叫做______________________m1×m2×m3×…×mn分步乘法计数原理．思考探究
在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理？
提示：如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理．课前热身
1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( )
A．50个 B．45个
C．36个 D．35个
答案：C2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( )
A．10种 B．20种
C．25种 D．32种
答案：D3．直线方程Ax＋By＝0，若从1,2,3,6,7,8这六个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则表示不同直线的条数是________．
答案：264．三张卡片的正、反两面分别写有1,2,3,4,5,6，将这三张卡片排成一排，可以组成三位数的个数为________．
答案：485．甲厂生产的空调外壳形状有3种,颜色有4种，乙厂生产的空调外壳形状有4种，颜色有5种，均与甲厂生产的不同．这两厂生产的空调仅从外壳的形状和颜色看，共有________种不同的种类．
答案：32考点1 分类加法计数原理
分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．【思路分析】 (m，n)取值个数就是椭圆个数．【解】 以m的值为标准分类，分为五类．第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择；第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择；第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择；第四类：m＝4时，使n>m,n有3种选择；第五类：m＝5时,使n>m，n有2种选择．∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法，即有20个符合题意的椭圆．
【名师点评】 “分类”的基本原则是“不重不漏”，如何合理地进行分类是用好分类加法计数原理的关键,首先要将事件分几大类，再合理地将大类分为若干小类，最终用分类加法计数原理计算．考点2 分步乘法计数原理
运用分步乘法计数原理就是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”,先对每一个步骤进行分析，再整合为一个完整的过程．运用该原理解题的突破口也是明确什么是“完成一件事”． 已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：
(1)P可表示平面上多少个不同的点？
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？【思路分析】 这里的“完成一件事”是指利用给出的元素确定一个符合条件的点的坐标．
【解】 (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2＝6.【规律方法】 应用分步乘法计数原理要注意两点
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，必须要经过几步才能完成这件事；(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事都不可能完成．
互动探究
本例题目条件不变，P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
解：点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．由本例(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．考点3 两个计数原理的综合应用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别在于：分类加法计数原理针对的是“完成事件的方法种类不同”问题，其各种方法是相互独立的，用其中任何一种方法都能做完这件事情；分步乘法计数原理针对的是“完成事件需分几个步骤”问题，各个步骤中的方法相互联系，只有各个步骤都完成才能完成这件事情． 某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的世博会宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，两个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【思路分析】 先确定世博会宣传广告与公益广告的播放顺序，再确定商业广告的播放顺序．
【解】 用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有3类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108(种)．【误区警示】 本题易出现因分类不全而得到错误答案的现象，造成这种现象的原因是考虑顺序不全面．方法技巧
1．如果完成一件事有几类办法，这几类办法彼此之间相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数时就用分类加法计数原理，分类加法计数原理可利用“并联”电路来理解．
2．如果完成一件事情要分几个步骤,各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数时就用分步乘法计数原理，分步乘法计数原理可利用“串联”电路理解．失误防范
1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．
2．分类时要做到不重不漏．
3．对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用．命题预测
从近几年的广东高考试题来看，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是考查的热点．题型为选择题、填空题，分值在5分左右，属中档题．两个计数原理较少单独考查，一般与排列、组合的知识相结合命题．
预测2013年广东高考，分步乘法计数原理与分类加法计数原理仍是考查的重点,同时应特别重视分类加法计数原理的应用,它体现了分类讨论的思想．典例透析 (2010·高考湖北卷)现有6名同学去听同时进行的5
个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是
( )【解析】 由分步乘法计数原理得5×5×5×5×5×5＝56.【答案】 A
【名师点评】 本题与教材P13B组2题类型相同，考查了乘法计数原理，体现了分步思想，若每名同学可自由选择其中的两个讲座，不同的选法种数是多少？本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．某城市的电话号码，由七位升为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是( )
A．9×8×7×6×5×4×3 B．8×96
C．9×106 D．81×106
解析：选D.电话号码是七位数字时，该城市可安装电话9×106部，同理升为八位时为9×107.∴可增加的电话部数是9×107－9×106＝81×106.
2．某城市残运会组委会从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )
A．48种 B．12种
C．18种 D．36种
解析：选D.若小张和小赵恰有1人入选，则共有CCA＝24种方案，若小张和小赵两人都入选，则共有AA＝12种方案，故总共有24＋12＝36种方案．故选D.
3．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )
A．9 B．14
C．15 D．21
解析：选B.当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点，故选B.
4．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有( )
A．6个 B．9个
C．18个 D．36个
解析：选C.由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．
5．现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4×100 m接力赛跑．第一棒只能从甲、乙两人中安排1人，第四棒只能从甲、丙两人中安排1人，则不同的安排方法共有________种．
解析：若甲跑第一棒，则丙跑第四棒，此时不同的安排方法有4×3＝12(种)；若乙跑第一棒，则不同的安排方法有2×4×3＝24(种)，故不同的安排方法共有24＋12＝36(种)．
答案：36
6．从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于________．
解析：从5条线段中任取三条共有C＝10种不同的取法，其中(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)不能构成三角形，而(3,4,5)可以构成直角三角形，只有(2,3,4)，(2,4,5)可以构成钝角三角形．∴＝.
答案：
7．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
(1)从两个口袋里任取一封信，有多少种不同的取法？
(2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？
(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
解：(1)任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法．
用分类加法计数原理，共有5＋4＝9(种)．
(2)各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成．
由分步乘法计数原理，共有5×4＝20(种)．
(3)第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可能．由分步乘法计数原理可知，共有49＝262144种不同的投法．
1．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )
A．32个 B．34个
C．36个 D．38个
解析：选A.先把数字分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以这5个数必须各来自上面5组中的一个元素，故共可组成2×2×2×2×2＝25＝32个这样的子集．故应选A.
2．从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．( )
A．10 20 B．20 20
C．20 10 D．10 10
解析：选C.从5个数字中任取一个作为分子有5种不同的取法，从剩余的4个数字中任取一个作为分母有4种不同的取法．由分步乘法计数原理知，产生不同的分数的个数为5×4＝20.
真分数的要求为分子比分母要小，从5个数字中任取两个，共组成两种分数，其中必有一种为真分数．
所以真分数的个数为20÷2＝10.
3．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有________个．(用数字作答)
解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理，知共有二次函数3×3×2＝18(个)．若二次函数为偶函数，则b＝0.同上共有3×2＝6(个)．
答案：18 6
4．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形________个．
解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；
第二步，有两条公共边的三角形共有8(个)．
由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．
答案：40
5．设x，y∈N*，直角坐标平面中的点为P(x，y)．
(1)若x＋y≤6，这样的P点有多少个？
(2)若1≤x≤4,1≤y≤5，这样的P点又有多少个？
解：(1)当x＝1、2、3、4、5时，y值依次有5、4、3、2、1个，不同P点共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)；
(2)x有1、2、3、4这4个不同值，而y有1、2、3、4、5这5个不同值，共有不同P点4×5＝20(个)．
1
4
2
3
6.有五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．
(1)共有多少种不同的涂色方法？
(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方 法？
解：(1)由于1至4号区域各有5种不同涂法，依分步乘法计数原理知，不同的涂法共有54＝625(种)．
(2)分两类计数：第一类，1号与3号区域同色，有5×4×4＝80(种)涂法；第二类，1号区域与3号区域异色，有5×4×3×3＝180(种)涂法．
由分类加法计数原理知，
共有不同的涂色方法80＋180＝260(种)．
1．从3名女同学2名男同学中选一人，主持本班的“勤俭节约，从我做起”主题班会，则不同的选法种数为( )
A．6 B．5
C．3 D．2
答案：B
2．某商场共有4个门，购物者若从一个门进，则必须从另一个门出，则不同的走法的种数是( )
A．7 B．8
C．11 D．12
答案：D
3．(教材习题改编)5个高中毕业生报考三所重点院校，每人报且只报一所院校，则不同的报名方法有( )
A．35种 B．53种
C．5×4×3种 D．5×3种
答案：A
4.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有( )
A．180种 B．240种
C．360种 D．420种
解析：选D.本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域中的3个区域相邻)，故应先种区域1，有5种种法，再种区域2，有4种种法，接着种区域3，有3种种法，种区域4时注意：区域2与4同色时区域4有1种种法，此时区域5有3种种法，区域2与4不同色时区域4有2种种法，此时区域5有2种种法，故共有5×4×3×(3＋2×2)＝420(种)栽种方案，故选D.
5．已知a∈{0,3,4}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2表示不同的圆的个数是________．
答案：24
6．有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答)．
解析：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号有2×2＝4(种)方法；
第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作的电脑的型号有2种方法；
第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作的电脑的型号只有1种方法；
第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．
根据分类加法计数原理 ，共有4＋2＋1＋1＝8(种)选派方法．
答案：8
