课件88张PPT。第3课时 函数的单调性与最值重点难点
重点：①函数单调性的定义．②函数的最大(小)值．
难点：①函数单调性的证明．②求复合函数单调区间．
基础梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
f(x1)
f(x2)(2)单调性、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是__________或_________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，_________叫做f(x)的单调区间．增函数减函数区间D思考探究
1．函数f(x)在区间[a，b]上单调递增,与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？提示：不相同，f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间单调
递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b],意味着f(x)在其他区间不可能单调递增
2．单调性的有关结论
(1)若f(x)，g(x)均为增(减)函数，
则f(x)＋g(x)仍为________函数．
(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为__________函数,如果同时有f(x)>0,增(减)减(增)则 为________函数， 为增(减)函数．
(3)互为反函数的两个函数有________的单调性．
减(增)相同(4)奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性_______．
相反3．函数单调性的应用
(1)比较函数值或自变量值的大小
(2)求某些函数的值域或最值．
(3)解证不等式．
(4)作函数图象．
4．函数的最值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M思考探究
2．函数的最值与函数值域有何关系？
提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了闭区间上连续函数的值域也就有了函数的最值，但只有函数的最大(小)值,未必能求出函数的值域课前热身
1．函数y＝x2＋2x－3(x>0)的单调增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞,－3]
答案：A2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞,＋∞)
上是减函数，则( )
答案：D
3．下列函数f(x)中，满足“对任意
x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( )
答案：A
4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ 在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是________．
答案：(0,1]
5．函数y＝ 的单调增
区间为________．
答案：[6，＋∞)
考点1 函数单调性的判断与证明
函数的单调性用以揭示随着自变量的增大，函数值的增大与减小的规律．在定义区间上任取x1、x2，且x1f(x2)，这一过程就是实施不等式的变换过程． 已知a>0，函数f(x)＝x＋ (x>0)，证明函数f(x)在(0， ]上是减函数，在[ ，＋∞)上是增函数．
【思路分析】 利用定义进行判断，主要判定f(x2)－f(x1)的正负．【证明】设x1、x2是任意两个正数，且x1用定义证明函数单调性的一般步骤：
(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2)),并通过通分、配方、因式分解等方法,向有利于判断差的符号的方向变形．
(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论．
(4)判断：根据定义得出结论．
互动探究
本例条件“x>0”改为“x<0”，试判断f(x)的单调性．考点2 求函数的单调区间
在求函数的单调区间(即判断函数的单调性)时,一般可以应用以下方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)借助其他函数的单调性判断法；(4)利用导数法等． 求下列函数的单调区间．
(1)y＝－x2＋2|x|＋3；
【思路分析】 (1)利用图象法，
(2)利用导数法．
【解】 (1)∵y＝－x2＋2|x|＋3
由图知，单调递增区间
是(－∞，－1]和[0,1]．
单调递减区间是
(－1,0)和(1，＋∞)．
令y′≥0，即(x－3)(x＋3)≥0，
得：x≥3或x≤－3(舍去)．
∴单调递增区间为[3，＋∞)．
令y′<0，即(x－3)(x＋3)<0，
又x>0，得：0∴单调递减区间为(0,3)．【误区警示】
确定函数的单调区间时应注意：
(1)必须在定义域内研究．
(2)对于同增(减)的不连续的单调区
间不能写成并集，只能分开写．
求下列函数的单调区间,并
确定每一单调区间上的单调性．
【思路分析】
(1)换元，令t＝x2－x，先求t的单调区间，再求y的单调区间；
(2)令6＋x－2x2＝t，则y＝log2t，先求y的定义域，再求t的单调区间，
再求y的单调区间．【名师点评】
对于复合函数f[g(x)]，应遵循“同增异减”的原则判断或求其单调区间．
考点3 求函数的最值
函数的最值求法：
(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法．
(2)函数单调性的变化是求最值和值域的主要依据，函数的单调区间求出后,再判断其增减性是求最值和值域的前提，当然，函数图象是函数单调性的最直观体现．
(3)基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法．(4)导数法:当函数较复杂(如指数、对数函数与多项式结合)时,一般采用此法
(5)数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．
已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)如果x∈(0，＋∞)，f(x)＜0,并且f(1)＝－ ,试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．【解】 (1)证明：函数定义域为R，其定义域关于原点对称．
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，
∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．
令x＝y＝0，
∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.
由f(x)＋f(－x)＝0，
得f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)法一：设x，y∈(0，＋∞)，
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)．
∵x∈(0，＋∞)，f(x)＜0，
∴f(x＋y)－f(x)＜0，
∴f(x＋y)＜f(x)．
∵x＋y＞x，∴f(x)在(0，＋∞)
上是减函数．
又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．
∵f(1)＝－ ，
∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，
f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.
法二：设x1＜x2，且x1，x2∈R，
则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＜0.
∴f(x2)－f(x1)＜0，
即f(x)在R上单调递减．
∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．
∵f(1)＝－ ，
∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，
f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.
∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大
值为1，最小值为－3.【规律小结】
(1)求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域．
(2)函数的最值是函数值域中的一个取值,是自变量x取了某个值时的对应值,故函数取得最值时,一定有相应的x的值考点4 抽象函数的单调性
定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1；
(2)证明：对任意的x∈R,恒有f(x)＞0;
(3)证明：f(x)是R上的增函数；
(4)若f(x)·f(2x－x2)＞1,求x的取值范围.
【思路分析】
(1)赋值法：令a＝b＝0.
(2)借助(1)的结论．
(3)拆项变形：x2＝x2－x1＋x1.
(4)借助f(a)·f(b)＝f(a＋b),则f(x)·f(2x－x2)＝f(3x－x2)＞1,再借助(1)(3)转化求解．【解】 (1)证明：令a＝b＝0，
则f(0)＝f2(0)．
又f(0)≠0，∴f(0)＝1.
(2)证明：当x＜0时，－x＞0，
∴f(0)＝f(x)·f(－x)＝1.
∴f(－x)＝ ＞0，
又x≥0时f(x)≥1＞0，
∴x∈R时，恒有f(x)＞0.
(3)证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.
∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1).
∵x2－x1＞0， ∴f(x2－x1)＞1.
又f(x1)＞0， ∴f(x2－x1)·f(x1)＞f(x1)．
∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)是R上的增函数.
(4)由f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1
得f(3x－x2)＞f(0)．
又f(x)是R上的增函数，
∴3x－x2＞0，
∴0＜x＜3.
【名师点评】
(1)解本题的关键是灵活应用题目条件,尤其是(3)中“f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]”是证明单调性的关键,这里体现了向条件化归的策略.(3)也可以设x2＝x1＋t(t＞0)，f(x2)＝f(x1＋t)＝f(x1)·f(t)＞f(x1);或者设x1＜x2，又f(x1)、f(x2)＞0，∴f(x2)＞f(x1)．
(2)赋值法是解决抽象函数问题的有效方法，由所给函数关系式在某个范围内恒成立，结合条件和待求问题，恰当赋值是关键一步．
考点5 导数在研究函数单调性中的应用
设函数
f(x)＝ax－(a＋1)ln(x＋1),其中a≥－1.
求f(x)的单调区间．
【思路分析】
借助导数求解，f′(x)＞0，f(x)单调增；f′(x)＜0，f(x)单调减．
f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：【误区警示】
本题一定要注意f(x)的定义域是
(－1，＋∞)．
方法技巧
1．求函数的单调区间
首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法有：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质．
2．复合函数的单调性
对于复合函数y＝f[g(x)],若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数,且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或为减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称为：同增异减．
失误防范
1．对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点：
(1)函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在A∪B上不一定单调．(2)单调性是函数在某一区间上的性质,因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．
(3)由于定义都是充要性命题，因此若f(x)是增(减)函数，则f(x1)x2)．
2．在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域．
命题预测
从近几年的广东高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测2013年广东高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
规范解答
(本题满分12分)(2010·高考大纲全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.
(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．【名师点评】
此题的题型很常规，主要考查了三次函数求导，单调区间的求法，极值的概念及有关不等式的解法．
本题考生极易入手，从高考反馈信息来看，满分率很低，主要是解题不规范、不全面：本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．函数y＝1－( )
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(－1，＋∞)上单调递减
C．在(1，＋∞)上单调递增
D．在(1，＋∞)上单调递减
答案：C
2．若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的增区间是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－2)
答案：B
3．(2010·高考北京卷)给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选B.①函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，②y＝log(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故在(0,1)上也为减函数，③y＝|x－1|在(0,1)上为减函数，④y＝2x＋1在(－∞，＋∞)上为增函数，故选B.
4．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选D.∵f(x)为R上的减函数，且f(|x|)1，∴x<－1或x>1.
5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
解析：y＝－(x－3)|x|
＝
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，]．
答案：[0，]
6．y＝的递减区间是________，y＝ 的递减区间是________．
解析：y＝＝－1＋，
定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．
对于函数y＝ ，其定义域为(－1,1]，由复合函数单调性可知它的递减区间是(－1,1]．
答案：(－∞，－1)，(－1，＋∞) (－1,1]
7．判断函数f(x)＝ex＋e－x在区间(0，＋∞)上的单调性．
解：法一：设0f(x1)－f(x2)＝ex1＋e－x1－ex2－e－x2
＝(ex2－ex1)(－1)，
∵00，又e>1，x1＋x2>0，
∴ex1＋x2>1，故－1<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，由单调函数的定义知函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．
法二：对f(x)＝ex＋e－x求导得：
f′(x)＝ex－e－x＝e－x(e2x－1)．
当x∈(0，＋∞)时，有e－x>0，e2x－1>0，
此时f′(x)>0，
∴函数f(x)＝ex＋e－x在区间(0，＋∞)上为增函数．
1．若f(x)＝，g(x)＝－，则有( )
A．f(2)C．f(2)解析：选D.因为y＝ex和y＝－e－x在R上均为递增函数，
∴f(x)在R上单调递增，所以0＝f(0)又g(0)＝－1<0，所以g(0)2．函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f的单调减区间是( )
A．[1，] B．[，1]
C．(0,1]和[，＋∞) D．(－∞，1]和[，＋∞)
解析：选C.令t＝logx，则此函数为减函数，由图知y＝f(t)在和[0，＋∞)上都是增函数，当t∈时，x∈[，＋∞)，当t∈[0，＋∞)时，x∈(0,1]，∴函数g(x)＝f(logx)在(0,1]和[，＋∞)上都是减函数，故选C.
3．已知函数f(x)＝，满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．
解析：由已知f(x)在R上为减函数，
∴应有，
解得0答案：(0，]
4．(2012·韶关质检)对于函数f(x)，在使f(x)≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数f(x)的“下确界”，则函数f(x)＝的下确界为________．
解析：由题意知，f(x)＝＝≥＝(当且仅当x2＝1且x≠－1时等号成立，即x＝1时取等号)，所以f(x)的下确界为.
答案：
5．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝时，f(x)＝x2＋2x＋，
其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，
又∵x∈[1，＋∞)，
∴f(x)的最小值是f(1)＝.
(2)由(1)知f(x)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝a＋3.
∵f(x)＞0在[1，＋∞)上恒成立，
故只需a＋3＞0即可，解得a＞－3.
∴实数a的取值范围是{a|a＞－3}．
6．f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f＜2.
解：(1)f(1)＝f＝f(x)－f(x)＝0，x＞0.
(2)证明：设0＜x1＜x2，
则由f＝f(x)－f(y)，
得f(x2)－f(x1)＝f，
∵＞1，∴f＞0.
∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)∵f(6)＝f＝f(36)－f(6)，
∴f(36)＝2，
原不等式化为：f(x2＋3x)＜f(36)，
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴
解得0＜x＜.
∴原不等式的解集为{x|0
1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”的是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ D．f(x)＝ln(x－1)
答案：A
2．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )
A. B.
C．2 D．4
解析：选B.a＞1时，f(x)在[0,1]上为增函数，最小值f(0)，最大值f(1)；
0＜a＜1时，f(x)在[0,1]上为减函数，最小值为f(1)，最大值为f(0)，
据题设有f(0)＋f(1)＝a，
即1＋a＋loga2＝a，∴a＝.
3．函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．
答案： 1
4．已知f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，则不等式f(x)≤f(3)的解集是________．
解析：
如图，因为f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则在[－3,3]范围内f(x)≤f(3)．
答案：[－3,3]
5．如果存在直线y＝k，使得函数y＝x2＋x＋的图象与函数y＝ax2－x－1的图象分别位于直线y＝k的上方和下方，求实数a的取值范围．
解：依题意，存在直线y＝k，使得函数y＝x2＋x＋的图象与函数y＝ax2－x－1的图象分别位于直线y＝k的上方和下方，即使得函数y＝x2＋x＋有最小值，函数y＝ax2－x－1有最大值，且函数y＝x2＋x＋的最小值大于函数y＝ax2－x－1的最大值，故应有，解得实数a的取值范围是{a|－1＜a＜－}．
