课件58张PPT。第4课时 随机变量的概率重点难点
重点：①随机事件的概念，事件的交、并,互斥事件及对立事件．②频率、概率的概念和概率的基本性质.
难点：①概率的理解及频率与概率的区别、联系．②互斥事件、对立事件的联系和判断．基础梳理
1．试验
为了探索随机现象发生的规律，对随机现象进行观察和模拟，或为了某种目的而进行实验，这种观察和模拟实验的过程叫做试验．每让其条件实现一次，就称进行了一次试验. 随机试验：一个试验，如果试验结果事先无法确定，并且可以重复进行,这种试验就叫做随机试验.
2．事件
(1)在条件S下，一定会发生的事件,叫做相对于条件S的_______事件．必然(2)在条件S下，一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的_________事件．
(3)在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的________事件．
(4)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．不可能随机(5)基本事件：在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件(除不可能事件外)可以用它们来表示，这样的事件称为基本事件．
3．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频
数，称事件A出现的比例fn(A)＝____为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．思考探究
1．频率和概率有什么区别？
提示：频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时,频率向概率靠近，只要次数足够多,所得频率就近似地看作随机事件的概率．4．事件的关系与运算一定发生B?AA?BA?BA＝BA∪BA＋BA∩BAB不可能不可能必然事件思考探究
2．互斥事件与对立事件有什么区别与联系？
提示：在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件．5．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：_____________.
(2)必然事件的概率P(E)＝___.
(3)不可能事件的概率P(F)＝___.
(4)概率的加法公式0≤P(A)≤110如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝____________
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝____,P(A)＝__________P(A)＋P(B)．11－P(B)．思考探究
3．应用概率加法公式时应注意哪些问题？
提示：应用互斥事件的概率加法公式,一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率，再求和．课前热身
1．下列事件：
①当x是实数时，x－|x|＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；④体育彩票某期的特等奖号码．
其中是随机事件的是( )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
答案：C
答案：A答案：D4．12件瓷器中，有10件正品，2件次品,从中任意取出3件，有以下事件：
①3件都是正品；②至少有1件是次品；③3件都是次品；④至少有1件是正品．
其中随机事件是________；必然事件是________；不可能事件是________(填上相应的序号)．
答案：①② ④ ③5．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除了标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________．考点1 事件、事件的关系的判断
事件的判断需要对三种事件即不可能事件、必然事件和随机事件的概念充分理解，特别是随机事件要看它是否可能发生，并且是在一定条件下的，它不同于判断命题的真假． 一口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任取两球．记“取到一白一黑”为事件A1，“取到两白球”为事件A2，“取到两黑球”为事件A3.
解答下列问题：(1)记“取到2个黄球”为事件M，判断事件M是什么事件？
(2)记“取到至少1个白球”为事件A,试分析A与A1、A2、A3的关系．
【思路分析】 按事件的分类和事件关系的定义解答．【解】 (1)事件M不可能发生，故为不可能事件．
(2)事件A1或A2发生，则事件A必发生,故A1?A，A2?A，且A＝A1＋A2.又A∩A3为不可能事件，A∪A3为必然事件，故A与A3互斥且对立．【规律方法】 准确掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题的关键，应用时要特别注意看清条件,在给定的条件下判断是一定发生,还是不一定发生，还是一定不发生,来确定某一事件属于哪一类事件．考点2 互斥事件的概率
应用互斥事件的概率加法公式的一般步骤是：
(1)确定诸事件彼此互斥；
(2)诸事件中有一个发生；
(3)先求诸事件有一个发生的概率，再求其和．提醒：加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)的条件是A，B为两个互斥事件．若事件A与事件B不是互斥事件，则加法公式不成立． 从分别写有0,1,2,3,4,5的六张卡片中，任取三张，并组成三位数，计算：
(1)这个三位数是偶数的概率；
(2)这个三位数比340小的概率．【思路分析】 理清每一个互斥事件是什么．
【误区警示】 对有无零及零位置不能正确计算而致误．互动探究
本例题条件不变，求在三位数中，各位数字之和为3的倍数的概率．
解：分别记由“1,2,3；2,3,4；3,4,5；1,3,5；0,2,4；0,1,5；0,1,2；0,4,5排成的三位数”为事件A2，B2，C2，D2,E2,F2，G2，H2，则它们的概率.考点3 对立事件的概率
明确对立事件的概率，即事件A、B互斥，A、B中必有一个发生，其中一个易求、另一个不易求时用P(A)＋P(B)＝1即可迎刃而解．提醒：应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏，该公式常用于“至多”、“至少”型问题的探求． 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛：
(1)求所选3人都是男生的概率；
(2)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(3)求所选3人中至少有1名女生的概率．【解】 将4名男生和2名女生分别按1,2,3,4和5,6编号，从这六人中任选3人的基本事件有：123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456共20个．【规律方法】 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率．方法技巧
1．必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，因此，任何事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1.含结果组成的集合的交集为空集，即A∩B＝?.失误防范
1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．准确把握互斥事件与对立事件的概念及相应概率公式：
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生.
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．3．需准确理解题意，特别留心“至多…”，“至少…”，“不少于…”等语句的含义．命题预测
从近几年的高考试题来看，对于随机事件的概率未作独立的考查，重点考查互斥事件、对立事件的概率，有时涉及函数、方程的根、向量等一些基本知识,属容易题．预测2013年广东高考对随机事件的概率可能有所考查，注重基本概念的理解及随机事件概率的求法．典例透析 (2011·高考上海卷)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．【答案】 0.985
【名师点评】 本题考查排列问题的解法及对立事件的概率计算，考查学生分析实际问题的能力，难度适中．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析：选B.根据对立事件与互斥事件的关系知，甲是乙的必要条件但不是充分条件．
2．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )
A．0.45 B．0.67
C．0.64 D．0.32
解析：选D.P＝1－0.45－0.23＝0.32.
3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是( )
A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是
C．乙输了的概率是 D．乙不输的概率是
解析：选A.“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P＝1－－＝；
设事件A为“甲不输”，则A是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝；
乙输了即甲胜了，所以乙输了的概率为；
乙不输的概率为1－＝.
4．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是( )
A．P(M)＝，P(N)＝
B．P(M)＝，P(N)＝
C．P(M)＝，P(N)＝
D．P(M)＝，P(N)＝
解析：选D.I＝{(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)}，M＝{(正，反)、(反，正)}，N＝{(正，正)、(正，反)、(反，正)}，故P(M)＝，P(N)＝.
5．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，一学生到达该路口时，恰为红灯的概率是________．
解析：因为红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间40秒，故整个区域的时间长度为75秒，∴P＝＝.
答案：
6．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率之和为________．
解析：“出现奇数点”是事件A，“出现2点”是事件B，A、B互斥，则“出现奇数点或2点”的概率之和为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
7．我国已经正式加入WTO，包括汽车在内的进口商品将最多把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内达到要求，求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率．
解：法一：设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为事件A，“不到4年达到要求”为事件B，则“进口汽车不超过4年的时间内关税达到要求”就是事件A＋B，显然A与B是互斥事件，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.
法二：设“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”为事件M，则为“进口汽车5年关税达到要求”，
所以P(M)＝1－P()＝1－0.21＝0.79.
1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2XY＝1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由log2XY＝1得Y＝2X，满足条件的X、Y有3对，而骰子朝上的点数X、Y共有36对，∴概率为＝.
2．从一个如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点中任取四点，这四点不共面的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.从6个顶点中选4个，共有15种选法，其中共面的情况有三个侧面，∴概率P＝＝.
3.向三个相邻的军火库各投一枚炸弹．击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为________．
解析：设A、B、C分别表示击中第一、二、三个军火库，易知事件A、B、C彼此互斥，且P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.
设D表示军火库爆炸，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
所以军火库爆炸的概率为0.225.
答案：0.225
4．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为________．
解析：将喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊依次编号为1、2、3、4、5，从中任取两个的所有可能取法为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中喜羊羊与美羊羊恰好只有一只被选中的有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)．∴所求概率P＝＝.
答案：
5．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？说明理由．
解：(1)甲、乙各出1到5根手指头，
共有5×5＝25种可能结果，和为6有5种可能结果．
∴P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件，理由如下：
B与C都包含“甲赢一次，乙赢两次”，事件B与事件C可能同时发生，故不是互斥事件．
(3)和为偶数有13种可能结果，其概率为P＝>，
故这种游戏规则不公平．
6．(2012·广州质检)已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}．
(1)求直线l1∥l2的概率；
(2)求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率．
解：(1)由题知，直线l1的斜率为k1＝，直线l2的概率为k2＝.
记事件A为“直线l1∩l2＝?”．
a，b∈{1,2,3,4,5,6}的总事件数为(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，…，(5,6)，(6,6)，共36种．
若l1∥l2，即k1＝k2，则有b＝2a.
满足条件的实数对(a，b)有(1,2)、(2,4)、(3,6)，共3种情形．
所以P(A)＝＝.
即直线l1∥l2的概率为.
(2)设事件B为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，所以b≠2a.
联立方程，解得，
因为直线l1与l2的交点位于第一象限，所以，即，解得b>2a.
∵a，b∈{1,2,3,4,5,6}，
∴基本事件总数共有36种．
满足b>2a的有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，
∴P＝＝，
即直线l1与l2交点在第一象限的概率为.
1．随机事件A的频率满足( )
A.＝0 B.＝1
C．0<<1 D．0≤≤1
答案：D
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是( )
A．两次都中靶 B．至多有一次中靶
C．恰有一次中靶 D．至少有一次中靶
答案：D
3．已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是( )
A．合格产品少于9件
B．合格产品多于9件
C．合格产品正好是9件
D．合格产品可能是9件
答案：D
4．从1至100中随机选取1个数字，事件A＝“取出的数字能被3整除”，B＝“取出的数字能被5整除”，则事件C＝“取出的数字是15的倍数”为( )
A．A B．B
C．A∩B D．A∪B
解析：选C.∵C中元素既能被3整除，也能被5整除，
∴C＝A∩B.
5．若事件A，B互斥，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________.
答案：0.3
6．若一元二次方程x2＋mx＋n＝0中m，n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率为________．
解析：∵方程有实根，∴m2－4n≥0，∴(m，n)的允许取值情形有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共19种，
∴p＝.
答案：
