课件65张PPT。第7课时 二项分布及其应用重点难点
重点：二项分布、条件概率、独立重复试验等概念的理解及有关公式运用.
难点：二项分布的判断及应用.基础梳理
1．条件概率的定义和性质
(1)定义：设A，B为两个事件，且
___________，称P(B|A)＝__________为在____________的条件下，__________的条件概率，一般把P(B|A)读作_____________________________P(A)＞0事件A发生事件B发生A发生的条件下B发生的概率．(2)性质：①条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即___________________.
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．0≤P(B|A)≤1思考探究
1．在什么条件下，P(B|A)＝P(B)成立？
提示：若事件A、B是相互独立事件,则有P(B|A)＝P(B)．2．事件的相互独立性
(1)设A、B为两个事件，如果P(AB)＝___________，则称事件___与事件___相互独立．
(2)如果A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B),即事件A的发生与否不影响事件B的发生.P(A)P(B)AB (3)对于n个事件A1、A2、…、An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件的影响，则这n个事件A1、A2、…、An相互独立．如果A1、A2、…、An相互独立，那么P(A1A2…An)＝_________________________P(A1)·P(A2)·…·P(An)．思考探究
2．“相互独立”与“事件互斥”有何不同？
提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥． 3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
①在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验．各次试验的结果不受其他试验的影响．②在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则
P(A1A2A3…An)＝________________________________P(A1)P(A2)P(A3)·…·P(An)．课前热身答案：C答案：B3．甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8，0.6,0.5,则三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________．
答案：0.24 0.964．在一个盒中有大小相同的6个红球、4个白球，现在不放回地从盒中摸两个球，若第一次摸到白球，则第二次也摸到白球的概率是________．5．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝__________，P(A|B)＝__________.
答案：0.65 0.3考点1 条件概率 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次,每次任取一件．试求：
(1)第一次取到不合格品的概率；
(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．【思路分析】 (1)问是随机事件的概率；(2)问是条件概率．考点2 相互独立事件
(1)相互独立事件是指两次试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生．
(2)求用“至少”表述的事件的概率时,先求其对立事件的概率往往比较简便.(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
【思路分析】 (1)第一、二轮均通过,第三轮被淘汰．【规律方法】 相互独立事件同时发生的概率的求法．
(1)利用相互独立事件的概率算法公式.
(2)对立事件的概率公式在求相互独立事件概率中的应用．
①若事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)．互动探究
在本题条件不变的情况下，该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列．考点3 独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生,要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件
①每次试验中，事件发生的概率是相同的．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数． 某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：根据上表：
(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ,求随机变量ξ的分布列．【思路分析】 (1)数学在周一、周三、周五是否满座是相互独立的,故将其概率相乘即可求解．
(2)前四个科目看作四次独立重复试验，数学与它们也是独立的，对数学分类讨论即可求解．【规律方法】 (1)判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点：
①在同样的条件下重复、相互独立地进行．
②试验结果要么发生，要么不发生．方法技巧失误防范
1．独立重复试验中，每一次试验中只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件．2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．已知两个事件A、B，则
A、B中至少有一个发生的事件为A∪B；命题预测
从近几年的广东高考试题来看，相互独立事件的概率、n次独立重复试验的概率是考查的热点，题型为解答题，属中档题,主要考查对基本知识的应用及运算能力．
预测2013年广东高考，相互独立事件的概率，n次独立重复试验仍然是考查的重点,同时应注意二项分布的应用．规范解答 (本题满分12分)(2011·高考重庆卷)某市公租房的房源位于A、B、C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．【名师点评】 本题考查用排列组合知识求事件的概率、独立重复试验、离散型随机变量的分布列，考查抽象概括能力，概率思想在生活中的应用意识和创新意识．题目难度中等．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝，则P(EF)的值等于( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B.因为事件E与事件F相互独立，
故P(EF)＝P(E)P(F)＝×＝.
2．已知随机变量X服从二项分布X～B(6，)，则P(X＝2)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.P(X＝2)＝C()2(1－)4＝.
3．抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A：“甲骰子的点数小于3”，事件B：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于6”，则P(B|A)的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意知P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
4．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，那么k的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由C()k()5－k＝C()k＋1·()5－k－1，即C＝C，故k＋(k＋1)＝5，即k＝2.
5．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．
解析：由独立重复试验的概率计算公式得
P＝C×0.93×(1－0.9)1＋C×0.94＝0.9477.
答案：0.9477
6．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.
解析：∵X～B(2，p)，
∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，
解得p＝.又Y～B(3，p)，
∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.
答案：
7．(2010·高考四川卷)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
(1)求三位同学都没有中奖的概率；
(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．
解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，
那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝.
P( )＝P()P()P()＝()3＝.
即三位同学都没有中奖的概率是.
(2)法一：1－P(BC＋AC＋AB＋ABC)＝1－3×()2×－()3＝.
法二：P( ＋A ＋B＋ C)＝.
所以三位同学中至少有两位没有中奖的概率为.
1．已知随机变量ξ满足条件ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝12，D(ξ)＝，则n与p的值分别为( )
A．16与 B．20与
C．15与 D．12与
解析：选C.∵ξ～B(n，p)，∴E(ξ)＝np＝12，
D(ξ)＝np(1－p)＝，∴n＝15，p＝.
2．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，.
因此，他们不去北京旅游的概率分别为，，，
所以，至少有1人去北京旅游的概率为
P＝1－××＝.
故选B.
3．(2010·高考安徽卷)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝；②P(B|A1)＝；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
解析：P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝＋＋＝，故①⑤错误；
②P(B|A1)＝＝，正确；
③事件B与A1的发生有关系，故错误；
④A1，A2，A3不可能同时发生，是互斥事件，正确．
答案：②④
4．设随机变量X～B(n,0.5)，且D(X)＝2，则事件“X＝1”的概率为________(用数字作答)．
解析：∵X～B(n,0.5)，∴D(X)＝n×0.5×(1－0.5)＝2，
∴n＝8.∴事件“X＝1”的概率为P(X＝1)＝C×0.5×0.58－1＝.
答案：
5．甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为P(P>)，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.
(1)求P的值；
(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列．
解：(1)当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故P2＋(1－P)2＝，解得P＝或P＝，又P>，故P＝.
(2)依题意知ξ的所有可能取值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则第一轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝(1－)×＝，P(ξ＝6)＝(1－)×(1－)×1＝，则随机变量ξ的分布列为：
ξ
2
4
6
P
6．(2010·高考湖南卷)如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．
解：(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
(2)由题意知，X～B(3,0.1)．
因此P(X＝0)＝C×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C×0.13＝0.001.
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001
X的数学期望为E(X)＝0×0.729＋1×0.243＋2×0.027＋3×0.001＝0.3.
1．(教材习题改编)设随机变量ξ～B(6，)，则P(ξ＝3)的值是( )
A. B.
C. D.
答案：B
2．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
答案：B
3.如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率均是，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：C
4．从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，则概率等于的是( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰好有1个红球的概率
解析：选C.两袋中各摸出一个球：
①甲红，乙红，P1＝×＝；
②甲红，乙不是红，P2＝×＝；
③甲不是红，乙红，P3＝×＝；
④甲、乙都非红，P4＝＝.
因此A的概率为，B的概率为，C的概率为，D的概率为，故选C.
5．甲、乙两名同学通过英语听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，恰有一人通过的概率是________．
答案：
6．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．
解：(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)＝(1－)×(1－)×＝.
(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk(k＝0,1,2)．
由题意得P(B0)＝()4＝.
P(B1)＝C()1()3＝，
P(B2)＝C()2()2＝.
由于事件B等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B的概率为
P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝.
