课件80张PPT。第2课时 一元二次不等式及其解法重点难点
重点：一元二次不等式的解法．
难点：含参数不等式的解法．基础梳理2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系{x|x
x2}{x|x1当a<0时，ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集如何？提示：当a<0时，可利用不等式的性质将二次项系数化为正数，注意不等号的变化，而后求得方程两根，再利用“大于号取两边，小于号取中间”求解．B≠0(2)高次不等式的解法
只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的不等式，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶不过”．(3)含绝对值不等式的解法：一是分段讨论法，即令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点；二是平方法．
(4)解含参数的不等式时，要对参数分类讨论(常见的有一次项系数含字母、二次项系数含字母、指对不等式中的底数含参数等)．课前热身
1．设0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数恰有3个，则( )
A．－1＜a＜0 B．0＜a＜1
C．1＜a＜3 D．3＜a＜6
答案：C2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x＞0}，则?UA等于( )
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|x＜0或x＞2}
D．{x|x≤0或x≥2}
答案：A答案：C答案：(－1， －1)5．已知(ax－1)(x－1)>0的解集是{x|x<1或x>2}，则实数a的值为________．考点1 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的一般步骤：
(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的判别式．
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集． 解下列不等式．
(1)2x2＋4x＋3>0；
(2)－3x2－2x＋8≥0；
(3)12x2－ax>a2(a∈R)．【思路分析】首先将二次项系数转化为正数，再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得方程的两根，大于号取两边，小于号取中间；若不能，则再看“Δ”，利用求根公式求解方程的根，而后写出解集，(3)小题中对a要分类讨论．【解】 (1)∵Δ＝42－4×2×3<0，
∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根，
二次函数y＝2x2＋4x＋3的图象开口向上，与x轴没有交点，即2x2＋4x＋3>0恒成立，
所以不等式2x2＋4x＋3>0的解集为R.【规律方法】 解含参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．互动探究
本例中(3)若变为ax2－(2a＋1)x＋2<0,试解该不等式．考点2 一元二次不等式恒成立问题
(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方． 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．【思路分析】本题(1)可讨论m的取值,利用判别式来解决．对于(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：法一是利用二次函数在区间上的最值来处理．法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般法二比较简单．【误区警示】 本题中易出现漏“m＝0”的情况，原因是对于二次项系数为参数的函数直觉上认定其为二次函数．考点3 一元二次不等式的实际
应用
实际应用问题是新课标中考查的重点，突出了对应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现．解题时要理清题意，准确找出其中的不等关系再利用不等式的解法求解． 某产品按质量可分成6种不同的档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件，如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．(1)若最低档次的产品每件利润为16元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？
(2)若最低档次的产品每件利润为22元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？【思路分析】 生产第x档次产品时，产品的利润＝生产数量×每件利润，表示出产品利润后求利润最大时对应的x值．【解】 (1)设生产第x档次产品时，所获利润最大，则生产第x档次产品时，每件利润为16＋(x－1)×1(元)，
生产第x档次产品时，每天生产[40－2(x－1)]件，所以生产第x档次产品时，每天所获利润为：
y＝[40－2(x－1)][16＋(x－1)]
＝－2(x－3)2＋648(元)．
当x＝3时，y最大，即生产第三档次产品利润最大．(2)若最低档次产品每件利润为22元，
则生产第x档次产品时，每天所获利润为：
y＝[40－2(x－1)][22＋(x－1)]＝－2x2＋882.
因为x∈[1,6]，且x∈N，
所以当x＝1时，y最大，即生产第一档次产品利润最大．【规律方法】 不等式应用题一般可按如下四步进行：
(1)认真审题、把握关键量，找准不等关系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；
(3)解不等式；
(4)回归实际问题．考点4 其他不等式的解法
(1)解高次不等式的主要策略是降次，将含未知数的一端分解成若干个一次式二次因式乘积的形式，然后用穿根法求解．(2)解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式的形式，另一边为0的形式，再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解．【思路分析】 分式化整式→因式分解→穿根→求解．【答案】 {x|－2＜x＜－1或x＞2}【名师点评】 简单分式不等式，一般先等价转化为整式不等式，简单高次不等式求解时，一般用穿根法求解．考点5 绝对值不等式的解法
解绝对值不等式的方法有四种：
(1)零点分类讨论法．
(2)平方法．
(3)图象法．
(4)根据绝对值的几何意义．【思路分析】 可采取平方法，也可零点分类讨论．法二：(分类讨论法)将原不等式变形为：|x＋1|＜|x－1|
当x＜－1时，原不等式可化为－x－1＜－x＋1，∴x＜－1，
当－1≤x＜1时，原不等式可化为：x＋1＜1－x，∴x＜0，当x≥1时，原不等式可化为x＋1＜x－1，无解．
∴原不等式的解集为{x|x＜0}．
法三：(几何意义法)将原不等式变形为|x＋1|＜|x－1|.
由绝对值的几何意义可知：x轴上到点－1的距离小于到点1的距离的点应在原点的左侧(如图)，所以原不等式的解集为{x|x＜0}．法四：(排除法)取x＝－2，不等式成立，排除A、B、C，故选D.
【答案】 D【名师点评】 (1)关于不等式解集的选择题，大多能用检验排除法求解．
(2)去掉绝对值号时可以用绝对值的定义．方法技巧
1．解一元二次不等式时，首先要将一元二次不等式化成标准型，即ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的形式，其中a>0.2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系．
(1)知道一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根可以写出对应不等式的解集；(2)知道一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集也可以写出对应方程的根．
3．数形结合：利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以一目了然地写出一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集．失误防范
1．一元二次不等式的界定．对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别．如：解不等式(x－a)(ax－1)>0，如果a＝0它实际上是一个一元一次不等式；
只有当a≠0时它才是一个一元二次不等式．2．当判别式Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为?.二者不要混为一谈．命题预测
从近几年高考试题分析，不等式的解法是每年高考的必考内容，特别是一元二次不等式，它与一元二次方程、二次函数相联系，三者构成一个统一的整体，贯穿于高中数学的始终．解不等式的题目，有时会单独出现在选择题或填空题中，以求定义域或考查集合间关系或直接求解不等式的形式出现，难度不大，属于中低档题，有时会与函数、三角、解析几何、向量等知识相交汇，作为解题工具出现在解答题中．预测2013年广东高考，不等式仍将与其他知识交汇进行考查，重点考查学生的计算能力．典例透析 (2011·高考广东卷)不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________．【解析】 法一：不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，两边平方得(x＋1)2≥(x－3)2，解得x≥1，故不等式的解集为[1，＋∞)．法二：不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x＝1，故不等式的解集为[1，＋∞)．【答案】 [1，＋∞)
【名师点评】 本题考查绝对值不等式的解法，考查学生的转化与化归能力，难度较小．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．(2011·高考广东卷)不等式2x2－x－1＞0的解集是( )
A. B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.∪(1，＋∞)
解析：选D.∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1＞0得(2x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－，∴不等式的解集为∪(1，＋∞)．
2．(2010·高考江西卷)不等式||>的解集是( )
A．(0,2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：选A.由题得>或<－，
即0>0或2x(x－2)<0，解得03．已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.∵p：Δ＝4a2＋4a<0，即－1又∵q：－14．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2解析：选B.由根与系数的关系＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2.f(－x)＝－x2＋x＋2的图象开口向下，与x轴的两个交点为(－1,0)，(2,0)．故选B.
5．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
解析：x2＋ax＋4<0的解集不是空集．
只需Δ＝a2－16>0，
∴a<－4或a>4.
答案：a<－4或a>4
6．不等式0解析：原不等式相当于不等式组
不等式①的解集为{x|－2不等式②的解集为{x|x<－1或x>2}．
因此原不等式的解集为{x|x<－1或x>2}∩{x|－2答案：{x|－27．解下列不等式．
(1)19x－3x2≥6；
(2)x＋1≥.
解：(1)法一：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0，
方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝，x2＝6.
函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点(，0)和(6,0)．
所以原不等式的解集为{x|≤x≤6}．
法二：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0
?(3x－1)(x－6)≤0?(x－)(x－6)≤0.
∴原不等式的解集为{x|≤x≤6}．
(2)原不等式可化为x＋1－≥0?≥0
?≥0?
如图所示，原不等式的解集为{x|－2≤x<0，或x≥1}．
1．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围是( )
A．{a|0C．{a|0解析：选D.由题意知，a＝0时，满足条件；a≠0时，由题意知a>0且Δ＝a2－4a≤0得02．已知函数f(x)＝，g(x)＝，若g[f(x)]≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[0,1] D．[－1,1]
解析：选B.①当x≥0时，f(x)＝－x≤0，
∴g[f(x)]＝g(－x)＝1－(－x)＝1＋x；
②当x<0时，f(x)＝x2>0，
∴g[f(x)]＝g(x2)＝1＋x2；
∴g[f(x)]min＝g[f(0)]＝1，
由g[f(x)]≥a恒成立得a≤1.
3．当a>0时，不等式组的解集为________．
解析：由画数轴讨论可得．
答案：当a>时为?；当a＝时为{}；
当04．(2012·芜湖调研)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)是单调递增的，则不等式f(x＋1)>f(1－2x)的解集是________．
解析：∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)是偶函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵f(x)为偶函数，∴不等式f(x＋1)>f(1－2x)化为f(|x＋1|)>f(|1－2x|)，
∴|x＋1|<|1－2x|，∴(x＋1)2<(1－2x)2，
∴x<0或x>2.
答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)
5．当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是全体实数？
解：①当a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立；
若a＝－1，原不等式为2x－1<0，即x<，不符合题目要求，舍去．
②当a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式的解集是全体实数的条件是
解得－综上所述，当－6．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总和小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？
解：假设该同学一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x 元，
公司B收取的费用为元．
若能够保证选择A比选择B费用少，则
>1.5x(0整理得x2－5x<0，解得0所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少．
1．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B是( )
A．{1,2,3} B．{1,2}
C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案：B
2．不等式组的解集为( )
A．{x|－1C．{x|0答案：C
3．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解是( )
A．x>5a或x<－a B．x>－a或x<5a
C．5a答案：B
4．(2010·高考课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
解析：选B.∵x≥0时，f(x)＝2x－4，令f(x)>0得，x>2，
又∵f(x)为偶函数且f(x－2)>0，∴f(|x－2|)>0，
∴|x－2|>2，∴x>4或x<0.
5．(教材习题改编)已知函数f(x)＝－3x2＋5x－2，则使函数值大于0的x的取值范围是________．
答案：{x|6．已知符号函数sgnx＝，则不等式(x＋1)sgnx>2的解集是________．
解析：当x>0时，x＋1>2，所以x>1；当x＝0时，无解；当x<0时，－x－1>2，所以x<－3，综上可知原不等式的解集是{x|x>1或x<－3}．
答案：{x|x>1或x<－3}
